Тройка целых чисел (x, y, z), наибольший общий делитель которых равен 1, является решением уравнения
Докажите, что z является кубом целого числа.
Решение.
Число z единственным образом раскладывает в произведение простых: Возьмём любое простое число p и докажем, что степень его вхождения в z делится на 3. Понятно, что из этого следует, что z является кубом целого числа.
Пусть равно k, если n делится на pk и не делится на pk+1 (будем считать, что ). Сгруппируем слагаемые:
Понятно, что если z делится на p, то и x делится на p, но тогда y не делится на p, так как наибольший делитель x, y, z равен 1. Рассмотрим остаток от деления на 3.
Допустим, остаток равен 1, то есть Тогда z2 делится на p6k+2, а степень p, на которую делится x3, делится на 3. Таким образом, два слагаемых в левой части и правая часть делятся на попарно разные степени p, так как остатки этих степеней по модулю 3 различны (так как и не делятся на p). Тогда равенство не может быть выполнено. В случае ≡ аналогично равенство не может быть выполнено. Значит, остаётся только случай, где делится на 3, что и требовалось доказать.
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Приведено полное доказательство.
20
Рассмотрена идея рассмотрения остатка вхождения произвольного простого по модулю 3, но не показано, почему в этом случае равенство невозможно.
12
Рассмотрена идея разложения z на простые множители и исследования степеней простых.
5
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.
Тройка целых чисел (x, y, z), наибольший общий делитель которых равен 1, является решением уравнения
Докажите, что z является кубом целого числа.
Решение.
Число z единственным образом раскладывает в произведение простых: Возьмём любое простое число p и докажем, что степень его вхождения в z делится на 3. Понятно, что из этого следует, что z является кубом целого числа.
Пусть равно k, если n делится на pk и не делится на pk+1 (будем считать, что ). Сгруппируем слагаемые:
Понятно, что если z делится на p, то и x делится на p, но тогда y не делится на p, так как наибольший делитель x, y, z равен 1. Рассмотрим остаток от деления на 3.
Допустим, остаток равен 1, то есть Тогда z2 делится на p6k+2, а степень p, на которую делится x3, делится на 3. Таким образом, два слагаемых в левой части и правая часть делятся на попарно разные степени p, так как остатки этих степеней по модулю 3 различны (так как и не делятся на p). Тогда равенство не может быть выполнено. В случае ≡ аналогично равенство не может быть выполнено. Значит, остаётся только случай, где делится на 3, что и требовалось доказать.
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Приведено полное доказательство.
20
Рассмотрена идея рассмотрения остатка вхождения произвольного простого по модулю 3, но не показано, почему в этом случае равенство невозможно.
12
Рассмотрена идея разложения z на простые множители и исследования степеней простых.
5
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.
Найти все натуральные числа n от 400 до 600 такие, что если перемножить все делители числа n (включая 1 и n), получим число n5.
Решение.
Утверждается, что n удовлетворяет условию задачи, если и только если его разложение на простые множители имеет вид либо n = p9, либо n = p1p24. Действительно, для каждого j = 1, . . . , k1 имеется (k2 + 1) . . . (ks + 1) делителей числа n, содержащих p1 в степени j в разложении на простые множители: все эти делители имеют вид Следовательно, произведение всех делителей числа n содержит p1 в степени (k2 + 1) . . . (ks + 1)(1 + . . . + k1) = 1/2(k1 + 1) . . . (ks + 1)k1. Условие, что произведение всех делителей равно n5, эквивалентно утверждению, что каждое pj входит в их произведение в степени 5kj, и, тем самым, предыдущее выражение равно 5k1. Другими словами, 1/2(k1 + 1) . . . (ks + 1) = 5. С другой стороны, Отсюда следует, что Пусть s = 2. Тогда одно из kj, скажем, k1 равно 1, а тогда k2 = 4 (простота числа 5). В случае, когда s = 1, k1 = k, получаем уравнение 1/2(k + 1) = 5, то есть k = 9. Итак, все числа удовлетворяющие условию задачи, имеют разложение на простые множители вида либо n = p1p24, либо n = p9; p1, p2, p > 1. Перечислим те из них, которые лежат между 400 и 600.
а) Числа n = p1p24. Имеем тем самым, Итак, Следовательно, а значит,
Выписывая всевозможные произведения n = p1p24, лежащие в промежутке от 400 до 600, с вышеуказанными p1 и p2, получаем:
б) Единственное n = p9, лежащее между 400 и 600, есть 512 = 29. Итого получаем список всех возможных чисел n:
Ответ: 405, 464, 496, 512, 567, 592.
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Приведён полный список с кратким (возможно, неполным) доказательством.
20
Приведён полный список без доказательства.
16
Приведено краткое доказательство, отмечен случай n = p1p24, но забыт случай n = p9 (то есть 512).
12
отмечен случай n = p9, но забыт случай n = p1p24.
8
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.
Цена на товар повышалась в последний день каждого месяца на 5, или процентов. Сколько прошло месяцев к тому моменту, когда первоначальная цена товара увеличилась ровно на 50%?
Решение.
Пусть исходная цена товара x. При повышении цены товара на 5%, она становится равной если цена на товар повышалась в течение n месяцев, то цена станет равной:
Пусть цена на товар повышалась на 5% в течение n месяцев, на в течение m месяцев, на в течение l месяцев, на в течение p месяцев. Тогда в результате она стала равной:
значит,
так:
Согласно основной теореме арифметики каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования. В таком случае, решаем систему:
Итак,
следовательно, цена на товар выросла ровно на 50% за 9 месяцев.
Ответ: 9.
Критерии проверки:
Условия выставления
Баллы
Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи
12
При правильном ответе есть замечания с четкости его изложения и обоснования или верно составленная система решена с арифметической ошибкой
10
Верно составлено уравнение
4
Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям
Цена на товар повышалась в последний день каждого месяца на 10, или 12,5 процентов. Cколько прошло месяцев к тому моменту, когда первоначальная цена товара увеличилась ровно %?
Решение.
Пусть исходная цена товара x. При повышении цены товара на 10%, она становится равной если цена на товар повышалась в течение n месяцев, то цена станет равной:
Пусть цена на товар повышалась на 10% в течение n месяцев, на в течение m месяцев, на в течение l месяцев, на в течение p месяцев.
Тогда в результате она стала равной:
значит,
Тогда:
то есть:
Согласно основной теореме арифметики каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования. В таком случае:
Решаем систему:
Итак, следовательно, цена на товар выросла ровно за 8 месяцев.
Ответ: 8.
Критерии проверки:
Условия выставления
Баллы
Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи
12
При правильном ответе есть замечания к четкости его изложения и обоснования или верно составленная система решена с арифметической ошибкой
10
Верно составлено уравнение
4
Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям
Найдите такое наименьшее натуральное число, что его половина есть пятая степень некоторого целого числа, а пятая часть есть квадрат некоторого целого числа.
Решение.
Искомое число делится на 10, запишем его в виде Так как то Отсюда следует, что a кратно 5, пусть Тогда Левая часть будет полным квадратом при минимальном Поэтому и
Пусть четырехзначные числа n, k, m обозначают различные годы XXI века, отличающиеся друг от друга на 5 лет, причем хотя бы одно из них оканчивается нулем. Докажите, что произведение nkm делится на 750.
Решение.
Разложим делитель на множители: Согласно условию, можно представить заданные числа как и где Тогда
Произведение трех последовательных чисел делится на 3, а также на 2. поэтому заданное произведение можно представит в в виде
Возьмём любое простое число p и докажем, что степень его вхождения в z делится на 3. Понятно, что из этого следует, что z является кубом целого числа.
равно k, если n делится на pk и не делится на pk+1 (будем считать, что 
). Сгруппируем слагаемые:
на 3. 
Тогда z2 делится на p6k+2, а степень p, на которую делится x3, делится на 3. Таким образом, два слагаемых в левой части и правая часть делятся на попарно разные степени p, так как остатки этих степеней по модулю 3 различны (так как 
и 
не делятся на p). Тогда равенство не может быть выполнено. В случае 
аналогично равенство не может быть выполнено. Значит, остаётся только случай, где 
на простые множители имеет вид либо n = p9, либо n = p1p24. Действительно, для каждого j = 1, . . . , k1 имеется (k2 + 1) . . . (ks + 1) делителей числа n, содержащих p1 в степени j в разложении на простые множители: все эти делители имеют вид 
Следовательно, произведение всех делителей числа n содержит p1 в степени (k2 + 1) . . . (ks + 1)(1 + . . . + k1) = 1/2(k1 + 1) . . . (ks + 1)k1. Условие, что произведение всех делителей равно n5, эквивалентно утверждению, что каждое pj входит в их произведение в степени 5kj, и, тем самым, предыдущее выражение равно 5k1. Другими словами, 1/2(k1 + 1) . . . (ks + 1) = 5. С другой стороны, 
Отсюда следует, что 
Пусть s = 2. Тогда одно из kj, скажем, k1 равно 1, а тогда k2 = 4 (простота числа 5). В случае, когда s = 1, k1 = k, получаем уравнение 1/2(k + 1) = 5, то есть k = 9. Итак, все числа 
удовлетворяющие условию задачи, имеют разложение на простые множители вида либо n = p1p24, 
либо n = p9; p1, p2, p > 1. Перечислим те из них, которые лежат между 400 и 600.
тем самым, 
Итак, 
Следовательно, 
а значит,
то 
сумма 
постоянна. В нашем случае можно взять 
или 
процентов. Сколько прошло месяцев к тому моменту, когда первоначальная цена товара увеличилась ровно на 50%?
если цена на товар повышалась в течение n месяцев, то цена станет равной:
в течение m месяцев, на 
в течение l месяцев, на 
в течение p месяцев. Тогда в результате она стала равной: 
или 12,5 процентов. Cколько прошло месяцев к тому моменту, когда первоначальная цена товара увеличилась ровно 
%?
если цена на товар повышалась в течение n месяцев, то цена станет равной:
в течение l месяцев, на 
следовательно, цена на товар выросла ровно 
за 8 месяцев.
Так как 
то 
Отсюда следует, что a кратно 5, пусть 
Тогда 
Левая часть будет полным квадратом при минимальном 
Поэтому 
и 
Согласно условию, можно представить заданные числа как 
и 
где 
Тогда 
