сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 8 9

Всего: 94    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Тип 0 № 6790
i

Может ли про­из­ве­де­ние каких-то 9 по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся сумме (может быть, дру­гих) 9 по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел?

 

(Борис Френ­кин)


В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ты AX и BZ, а также бис­сек­три­сы AY и BT. Из­вест­но, что углы XAY и ZBT равны. Обя­за­тель­но ли тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный?

 

(Жюри)


Тип 0 № 6792
i

У Тани есть 4 оди­на­ко­вые с виду гири, массы ко­то­рых равны 1001, 1002, 1004 и 1005 г (не­из­вест­но, где какая), и ча­шеч­ные весы (по­ка­зы­ва­ю­щие, какая из двух чаш пе­ре­ве­си­ла или что имеет место ра­вен­ство). Может ли Таня за 4 взве­ши­ва­ния га­ран­ти­ро­ван­но опре­де­лить, где какая гиря? (Сле­ду­ю­щее взве­ши­ва­ние вы­би­ра­ет­ся по ре­зуль­та­там про­шед­ших.)

 

(Жюри)


Тип 0 № 6793
i

а)  Можно ли раз­ре­зать квад­рат на 4 рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка, среди ко­то­рых нет рав­ных?

б) А можно ли раз­ре­зать рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник на 4 рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка, среди ко­то­рых нет рав­ных?

 

(Вла­ди­мир Рас­тор­гу­ев)


На клет­ча­той доске лежат до­ми­нош­ки, не ка­са­ясь даже уг­ла­ми. Каж­дая до­ми­нош­ка за­ни­ма­ет две со­сед­ние (по сто­ро­не) клет­ки доски. Ниж­няя левая и пра­вая верх­няя клет­ки доски сво­бод­ны. Все­гда ли можно прой­ти из левой ниж­ней клет­ки в пра­вую верх­нюю, делая ходы толь­ко вверх и впра­во на со­сед­ние по сто­ро­не клет­ки и не на­сту­пая на до­ми­нош­ки, если доска имеет раз­ме­ры

а) 100 \times 101 кле­ток;

б) 100 \times 100 кле­ток?

 

(Ни­ко­лай Чер­ня­тьев)


а)  Вы­пук­лый пя­ти­уголь­ник раз­би­ли не­пе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся диа­го­на­ля­ми на три тре­уголь­ни­ка. Могут ли точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан этих тре­уголь­ни­ков ле­жать на одной пря­мой?

б)  Тот же во­прос для не­вы­пук­ло­го пя­ти­уголь­ни­ка.

 

(Алек­сандр Гри­бал­ко)


Тип 0 № 6796
i

а)  У Тани есть 4 оди­на­ко­вые с виду гири, массы ко­то­рых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (не­из­вест­но, где какая), и ча­шеч­ные весы (по­ка­зы­ва­ю­щие, какая из двух чаш пе­ре­ве­си­ла или что имеет место ра­вен­ство). Может ли Таня за 4 взве­ши­ва­ния га­ран­ти­ро­ван­но опре­де­лить, где какая гиря? (Сле­ду­ю­щее взве­ши­ва­ние вы­би­ра­ет­ся по ре­зуль­та­там про­шед­ших).

б)  Тот же во­прос, если у весов левая чашка на 1 г легче пра­вой, так что весы по­ка­зы­ва­ют ра­вен­ство, если масса на левой чашке на 1 г боль­ше, чем на пра­вой.

 

(Алек­сей Тол­пы­го)


Тип 0 № 6797
i

При каких на­ту­раль­ных n най­дут­ся n по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние ко­то­рых равно сумме (может быть, дру­гих) n по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел?

 

(Борис Френ­кин)


Как из­вест­но, квад­рат­ное урав­не­ние имеет не более двух кор­ней. А может ли урав­не­ние  левая квад­рат­ная скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс px плюс q=0 при p не равно 0 иметь более 100 кор­ней?  левая круг­лая скоб­ка левая квад­рат­ная скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка обо­зна­ча­ет наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее x2).

 

(Алек­сей Тол­пы­го)


Пусть O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AC. Пря­мая BO пе­ре­се­ка­ет вы­со­ты AA1 и CC1 в точ­ках Ha и Hc со­от­вет­ствен­но. Опи­сан­ные окруж­но­сти тре­уголь­ни­ков BHaA и BHcC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что K лежит на пря­мой BM.

 

(Ми­ха­ил Ев­до­ки­мов)


Тип 21 № 6800
i

Число 2021=43 умно­жить на 47 со­став­ное. До­ка­жи­те, что если впи­сать в числе 2021 сколь­ко угод­но восьмёрок между 20 и 21, тоже по­лу­чит­ся со­став­ное число.

 

(Ми­ха­ил Ев­до­ки­мов)


Тип 0 № 6801
i

В ком­на­те на­хо­дит­ся не­сколь­ко детей и куча из 1000 кон­фет. Дети по оче­ре­ди под­хо­дят к куче. Каж­дый по­до­шед­ший делит ко­ли­че­ство кон­фет в куче на ко­ли­че­ство детей в ком­на­те, округ­ля­ет (если по­лу­чи­лось не­це­лое), за­би­ра­ет по­лу­чен­ное число кон­фет и вы­хо­дит из ком­на­ты. При этом маль­чи­ки округ­ля­ют вверх, а де­воч­ки  — вниз. До­ка­жи­те, что сум­мар­ное ко­ли­че­ство кон­фет у маль­чи­ков, когда все вый­дут из ком­на­ты, не за­ви­сит от по­ряд­ка детей в оче­ре­ди.

 

(Мак­сим Дидин)


Тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний. На сто­ро­нах AB и AC вы­бра­ли точки E и F, а на про­дол­же­нии сто­ро­ны AB  — точку K так, что AE=CF=BK. Точка P  — се­ре­ди­на EF. До­ка­жи­те, что угол KPC пря­мой.

 

(Вла­ди­мир Рас­тор­гу­ев)


Тип 0 № 6803
i

Пу­те­ше­ствен­ник при­был на ост­ров, где живут 50 або­ри­ге­нов, каж­дый из ко­то­рых либо ры­царь, либо лжец. Все або­ри­ге­ны вста­ли в круг, и каж­дый на­звал сна­ча­ла воз­раст сво­е­го со­се­да слева, а потом воз­раст со­се­да спра­ва. Из­вест­но, что каж­дый ры­царь на­звал оба числа верно, а каж­дый лжец какой-то из воз­рас­тов (по сво­е­му вы­бо­ру) уве­ли­чил на 1, а дру­гой  — умень­шил на 1. Все­гда ли пу­те­ше­ствен­ник по вы­ска­зы­ва­ни­ям або­ри­ге­нов смо­жет опре­де­лить, кто из них ры­царь, а кто лжец?

 

(Алек­сандр Гри­бал­ко)


Тип 0 № 6804
i

В цен­тре каж­дой клет­ки клет­ча­то­го пря­мо­уголь­ни­ка M рас­по­ло­же­на то­чеч­ная лам­поч­ка, из­на­чаль­но все они по­га­ше­ны. За ход раз­ре­ша­ет­ся про­ве­сти любую пря­мую, не за­де­ва­ю­щую лам­по­чек, и за­жечь все лам­поч­ки по какую-то одну сто­ро­ну от этой пря­мой, если все они по­га­ше­ны. Каж­дым ходом долж­на за­жи­гать­ся хотя бы одна лам­поч­ка. Тре­бу­ет­ся за­жечь все лам­поч­ки, сде­лав как можно боль­ше ходов. Какое мак­си­маль­ное число ходов удаст­ся сде­лать, если

а)  M  — квад­рат 21 \times 21;

б)  M  — пря­мо­уголь­ник 20 \times 21?

 

(Алек­сандр Ша­по­ва­лов)


В отель ночью при­е­ха­ли 100 ту­ри­стов. Они знают, что в отеле есть од­но­мест­ные но­ме­ра 1, 2, ... , n, из ко­то­рых k на ре­мон­те (но не­из­вест­но какие), а осталь­ные сво­бод­ны. Ту­ри­сты могут за­ра­нее до­го­во­рить­ся о своих дей­стви­ях, после чего по оче­ре­ди ухо­дят за­се­лять­ся: каж­дый про­ве­ря­ет но­ме­ра в любом по­ряд­ке, на­хо­дит пер­вый сво­бод­ный номер не на ре­мон­те и остаётся там но­че­вать. Но ту­ри­сты не хотят бес­по­ко­ить друг друга: нель­зя про­ве­рять номер, куда уже кто-то за­се­лил­ся. Для каж­до­го k ука­жи­те наи­мень­шее n, при ко­то­ром ту­ри­сты га­ран­ти­ро­ван­но смо­гут за­се­лить­ся, не по­тре­во­жив друг друга.

 

(Фёдор Ивлев)


Пусть p и q  — вза­им­но про­стые на­ту­раль­ные числа. Ля­гуш­ка пры­га­ет по чис­ло­вой пря­мой, на­чи­ная в точке 0. Каж­дый раз она пры­га­ет либо на p впра­во, либо на q влево. Од­на­ж­ды ля­гуш­ка вер­ну­лась в 0. До­ка­жи­те, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го d мень­ше p плюс q най­дут­ся два числа, посещённые ля­гуш­кой и от­ли­ча­ю­щи­е­ся ровно на d.

 

(Ни­ко­лай Бе­лу­хов)


Тип 0 № 6808
i

В ком­на­те на­хо­дит­ся не­сколь­ко детей и куча из 1000 кон­фет. Дети по оче­ре­ди под­хо­дят к куче. Каж­дый по­до­шед­ший делит ко­ли­че­ство кон­фет в куче на ко­ли­че­ство детей в ком­на­те, округ­ля­ет (если по­лу­чи­лось не­це­лое), за­би­ра­ет по­лу­чен­ное число кон­фет и вы­хо­дит из ком­на­ты. При этом маль­чи­ки округ­ля­ют вверх, а де­воч­ки  — вниз. До­ка­жи­те, что сум­мар­ное ко­ли­че­ство кон­фет у маль­чи­ков, когда все вый­дут из ком­на­ты, не за­ви­сит от по­ряд­ка детей в оче­ре­ди.

 

(Мак­сим Дидин)


Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное n, что для любых ве­ще­ствен­ных чисел x и y най­дут­ся ве­ще­ствен­ные числа a_1, ..., an, удо­вле­тво­ря­ю­щие ра­вен­ствам

x=a_1 плюс ... плюс a_n и y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a_1 конец дроби плюс ... плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a_n конец дроби ?

 

(Ар­те­мий Со­ко­лов)


Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC тре­уголь­ни­ка ABC. Окруж­ность ω про­хо­дит через точку A, ка­са­ет­ся пря­мой BC в точке M и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке D, а сто­ро­ну AC  — в точке E. Пусть X и Y  — се­ре­ди­ны от­рез­ков BE и CD со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что опи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка MXY ка­са­ет­ся ω.

 

(Алек­сей До­ле­де­нок)

Всего: 94    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80