Из ри­сун­ка сле­ду­ет, что

Ответ: −2.

Пусть AC = 2x, а BC = 2y. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

от­ку­да Тогда то есть

Ответ: 26.

На­зо­вем груп­пой эко­но­ми­стов не­сколь­ко (воз­мож­но, од­но­го) эко­но­ми­ста, си­дя­щих под­ряд, слева и спра­ва от ко­то­рых сидят пред­ста­ви­те­ли дру­гих про­фес­сий. При этом если нет ме­не­дже­ра или бух­гал­те­ра, рядом с ко­то­рым сидят два эко­но­ми­ста, то каж­дый че­ло­век под­нял руку не более од­но­го раза, а тогда общее ко­ли­че­ство под­няв­ших руку людей равно удво­ен­но­му ко­ли­че­ству групп, т. е. четно. А по усло­вию их 45. Про­ти­во­ре­чие.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­ла­ми со­кра­щен­но­го умно­же­ния:

Ответ: {}.

За­пи­шем дан­ное в усло­вии ра­вен­ство в сле­ду­ю­щем виде:

А это ра­вен­ство за­пи­шем в виде где

Таким об­ра­зом, либо и числа 1 и 2 яв­ля­ют­ся кор­ня­ми дан­но­го урав­не­ния, либо эти зна­че­ния имеют раз­ные знаки, что также озна­ча­ет, что гра­фик функ­ции пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс в двух раз­лич­ных точ­ках.

Разобьём все числа на груп­пы по че­ты­ре числа:

Сумма чисел в каж­дой груп­пе по­ло­жи­тель­ная:

Сле­до­ва­тель­но, и число A по­ло­жи­тель­ное.

Ответ: A > 0.

После k уве­ли­че­ний цены и l умень­ше­ний на n% цена будет такой:

где P  — на­чаль­ная цена акций. Если пред­по­ло­жить, что цена два­жды при­ни­ма­ет одно и то же зна­че­ние, то по­лу­чит­ся

или

Пра­вая часть этого ра­вен­ства де­лит­ся на 10, по­это­му и n долж­но быть крат­но 10. Пред­по­ло­жим, что n не крат­но 4, тогда тоже не крат­но 4, по­это­му левая часть крат­на и не крат­на а пра­вая часть де­лит­ся на По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие. Сле­до­ва­тель­но, n крат­но 4. Ана­ло­гич­но, можно по­ка­зать, что n крат­но 25. По­это­му n де­лит­ся на 100, что не­воз­мож­но, по­сколь­ку цена не может умень­шит­ся более, чем на 100%.

Ответ: не су­ще­ству­ет.

Пусть p_n  — при­быль фирмы ранга n. Тогда по усло­вию за­да­чи

За­ме­тим, что для лю­бо­го n

До­ка­жем, что

Ис­поль­зу­ем метод ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции.

1)  База ин­дук­ции:

2)  Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход: пусть До­ка­жем, что

Дей­стви­тель­но,

Сле­до­ва­тель­но,

Для того, чтобы фирма имела при­быль рав­ную 2016 д. е., её ранг дол­жен удо­вле­тво­рять ра­вен­ству

По­след­нее урав­не­ние имеет на­ту­раль­ное ре­ше­ние n = 63.

Ответ: да, это ранг рав­ный 63.

Пусть a, b, c, d, e, f  — ука­зан­ные числа, за­пи­сан­ные в по­ряд­ке их сле­до­ва­ния в кру­гах при об­хо­де по ча­со­вой стрел­ке и числа a, c, e рас­по­ла­га­ют­ся в вер­ши­нах тре­уголь­ни­ка. Если S  — рас­смат­ри­ва­е­мая сумма, то имеем:

Скла­ды­вая все урав­не­ния си­сте­мы, по­лу­ча­ем: то есть

Сле­до­ва­тель­но, число S не может быть боль­ше числа

Ри­су­нок по­ка­зы­ва­ет, что число S может быть равно 39.

Ответ: 39.

За­ме­тим, что при p < 0 дан­ное урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, а при p = 0  — имеет един­ствен­ное ре­ше­ние x = 1. Сле­до­ва­тель­но, p > 0.

Дан­ное урав­не­ние будет иметь три корня, если па­ра­бо­ла имеет ровно три общие точки с гра­фи­ком функ­ции По­сколь­ку левая ветвь гра­фи­ка при p > 0 пе­ре­се­ка­ет па­ра­бо­лу ровно в двух точ­ках, то пра­вая ветвь долж­на ка­сать­ся па­ра­бо­лы.

По­след­нее вы­пол­ня­ет­ся тогда и толь­ко тогда, когда урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние, то есть когда дис­кри­ми­нант равен 0:

Ответ: при

Пусть S_n  — сумма вкла­да через n ме­ся­цев после на­чис­ле­ния про­цен­тов и после вне­се­ния до­пол­ни­тель­ных взно­сов D (15000 руб.). Так как в месяц банк на­чис­ля­ет 1%, то

При­ме­няя фор­му­лу суммы n чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но,

Ис­ко­мое число ме­ся­цев удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству:

Таким об­ра­зом, до­ста­точ­ная для по­куп­ки ав­то­мо­би­ля сумма будет на вкла­де через 29 ме­ся­цев.

Ответ: через 29 ме­ся­цев.

Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ: {-3; 1}.

Рас­смот­рим не­сколь­ко слу­ча­ев.

1.  Код со­дер­жит ком­би­на­цию цифр 216. Ее можно рас­по­ло­жить в коде тремя

спо­со­ба­ми: или В каж­дом из этих воз­мож­ных кодов каж­дую из осталь­ных цифр можно вы­брать 10 спо­со­ба­ми.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ет­ся 3 ∙ 100 = 300 ва­ри­ан­тов.

2.  Код со­дер­жит ком­би­на­ции 21 и 16, при­чем ком­би­на­ция 21 рас­по­ло­же­на левее. Тогда остав­шу­ю­ся цифру можно вы­брать 10 спо­со­ба­ми и по­ста­вить ее на одно из трех мест. То есть 30 ва­ри­ан­тов.

3.  Код со­дер­жит ком­би­на­ции 21 и 16, при­чем ком­би­на­ция 21 рас­по­ло­же­на пра­вее. Ана­ло­гич­но  — 30 ва­ри­ан­тов. За­ме­тим, что числа 21621, 21216, 21616, 16216 мы по­счи­та­ли два­жды. Таким об­ра­зом, чтобы от­крыть сейф до­ста­точ­но пе­ре­брать 300+30+30-4=356 но­ме­ров.

Ответ: 356 но­ме­ров.

По­сле­до­ва­тель­ность будет иметь мак­си­маль­ное число чле­нов, если по­след­ний её член будет равен нулю. Иначе эту по­сле­до­ва­тель­ность можно про­дол­жить.

Для всех имеем:

Пусть x_N = 0, тогда

Ответ: 322.

Пусть n  — ко­ли­че­ство биз­не­сме­нов и d₁  — при­быль i-го ди­рек­то­ра, i = 1, ..., n.

По усло­вию тогда

Таким об­ра­зом,

Пе­ре­мно­жая эти ра­вен­ства, по­лу­чим:

По усло­вию то есть от­ку­да n = 19.

Ответ: 19.

Пусть q  =  BK, p  =  AK, x  =  EK, y  =  FL (K и L  — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми AB и BC) и До­ка­жем, что не за­ви­сит от x и y.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник EBF, в ко­то­ром EB  =  q − x, BF  =  q − y, EF  =  x + y. При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов:

от­ку­да Так как по­лу­ча­ем:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Дру­гое ре­ше­ние:

За­ме­тим, что тре­уголь­ник AEO по­до­бен тре­уголь­ни­ку COF. Зна­чит, Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Чтобы по­ка­зать, что Петр не­прав, Катя долж­на найти кар­точ­ку с не­чет­ным но­ме­ром на одной сто­ро­не, и глас­ной на дру­гой сто­ро­не. Един­ствен­ная карта, ко­то­рая может иметь это свой­ство – карта номер 4, на ко­то­рой на­пи­са­на цифра 7.

Ответ: четвёртую карту.

По усло­вию за­да­чи

тогда

Ответ: 2016.

По­сколь­ку у каж­до­го школь­ни­ка в день по 5 уро­ков, то если бы в клас­се был один уче­ник, то общее число уро­ков в день было бы равно 5 · 1200 = 6000. Так как в клас­се 30 уче­ни­ков, то ко­ли­че­ство уро­ков, ко­то­рые про­во­дят­ся в школе каж­дый день равно Сле­до­ва­тель­но, число учи­те­лей в школе равно

Ответ: 50.

По­сколь­ку 7 · 9 · 32 = 2016, то

Ито­го­вая сумма равна 7 · 6 + 9 · 8 + 32 · 31 = 1106.

Ответ: 1106.