Всего: 132 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что среди них есть хотя бы два одинаковых.
Треугольник с периметром 40 был разбит отрезками, как показано на рисунке, на 11 треугольников, сумма периметров которых равна 147, и 6 четырехугольников, сумма периметров которых равна 63. Какова сумма длин отрезков, проведенных внутри треугольника?
На диаметре AB полуокружности взяты точки K и L, а на полуокружности — точки M, N и C так, что четырехугольник KLMN является квадратом, площадь которого равна площади треугольника ABС. Доказать, что центр вписанной в треугольник ABС окружности совпадает с точкой пересечения одной из сторон квадрата и одной из прямых, соединяющих вершину N или M с вершиной A или B.
и 
Тогда 
Из равенства площадей квадрата и треугольника ABC получаем, что высота последнего равна 
Докажем, что ON биссектриса угла AOC. Действительно, так как 
(откуда следует, что 
то имеем 
Следовательно, 
и 
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а 
На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что 
(точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите площадь треугольника ACF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
и 
Тогда 
и по теореме синусов 
и 
Заметим, что 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
а) Две окружности одинакового радиуса 13 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а 
= 90^\circ . На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что BC = 10. Найдите площадь треугольника ACF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите площадь треугольника ACF.
и 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
б) 
а) Две окружности одинакового радиуса 13 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что Найдите площадь треугольника ACF.
б) 
Две окружности одинакового радиуса 9 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй – точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
Две окружности одинакового радиуса 7 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC — параллельны, AD > BC). Окружность 
вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E так, что 
Найдите радиус окружности и площадь трапеции ABCD.
Пусть 
Тогда 
(касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны), а в силу того, что трапеция равнобедренная, 
Отсюда получаем, что сумма оснований есть 
Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC — параллельны, 
Окружность вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E так, что 
Найдите радиус окружности и площадь трапеции ABCD.
Пусть 
Тогда 
Отсюда получаем, что сумма оснований есть 
На плоскости по клеточкам нарисовали три прямоугольника (не являющиеся квадратами) и один квадрат QRSC так, что в итоге получилась фигура, схематически изображенная на рисунке.
Известно, что площадь прямоугольника ABCD равна 35 клеткам. Найдите, чему равна площадь закрашенной фигуры, если известно, что AP < QR.
откуда либо 
либо наоборот 
(варианты 
и 
не подходят, так как AB хотя бы две клетки, а BC хотя бы три). Вариант 
также невозможен, потому что 
значит, в этом случае 
и 
Тогда 
следовательно, опять полу чаем 2 случая: либо 
либо 
Рассмотрим первый из этих случаев. 
иначе левый верхний прямоугольник является квадратом; с другой стороны, 
значит, 
Тогда площадь закрашенной фигуры равна 
с другой стороны, 
значит, длина BR составляет 1 или 3 клетки, а SC соответственно наоборот, 3 или 1. В первом из вариантов нижний правый прямоугольник оказывается квадратом, во втором 
На плоскости по клеточкам нарисовали три прямоугольника (не являющиеся квадратами) и один квадрат QRSC так, что в итоге получилась фигура, схематически изображенная на рисунке. Стороны всех четырех прямоугольников меньше 7.
Известно, что площадь прямоугольника ABCD равна 33 клеткам. Найдите, чему равна площадь закрашенной фигуры, если известно, что AP < QR.
откуда либо 
либо наоборот 
(варианты 
и 
не подходят, так как AB хотя бы две клетки, а BC хотя бы три). Вариант 
также невозможен, потому что получается, что 
откуда 
что противоречит условию. 
и 
Опять получаем 2 случая: либо 
иначе левый верхний прямоугольник является квадратом. 
следовательно, 
Кроме того, 
Значит, либо 
либо 
Тогда площадь закрашенной фигуры равна либо 
иначе левый верхний прямоугольник является квадратом. 
следовательно, 
Кроме того, 
значит, 
Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC — параллельны, 
Окружность вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E, так что 
Найдите радиус окружности и площадь
находим, что 
Отсюда получаем, что сумма оснований есть 
Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC — параллельны, Окружность вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E, так что 
Найдите радиус окружности и площадь
В окружность вписан четырехугольник KLMN с диагоналями KM и LN, которые пересекаются в точке T. Основания перпендикуляров, опущенных из точки T на стороны четырехугольника, лежат на этих сторонах. Расстояния от точки T до сторон KL, LM, MN, NK равны 
и 
соответственно.
а) Найдите отношение KT : TM.
б) Найдите длину диагонали LN, если дополнительно известно, что KM = 10.
и 
Следовательно, треугольники 
и 
подобны. Аналогично доказывается, что 
Соответствующие элементы подобных фигур относятся как коэффициент подобия. В данном случае в качестве соответствующих элементов выступают высоты, проведённые из вершины T. Отсюда находим, что коэффициент подобия 
Тогда 
то 
В окружность вписан четырехугольник KLMN с диагоналями KM и LN, которые пересекаются в точке T. Основания перпендикуляров, опущенных из точки T на стороны четырехугольника, лежат на этих сторонах. Расстояния от точки T до сторон KL, LM, MN, NK равны 
и 
соответственно.
а) Найдите отношение 
б) Найдите длину диагонали LN, если дополнительно известно, что 
Следовательно, треугольники TKL и TNM подобны. Аналогично доказывается, что 
для первой пары и 
для второй пары. Пусть 
Тогда 
то
В треугольник ABC вписаны два равных прямоугольника PQRS и P1Q1R1S1 (при этом точки P и P1 лежат на стороне AB, точки Q и Q1 лежат на стороне BC, а точки R, S, R1 и S1 — на стороне AC). Известно, что 
Найдите площадь треугольника ABC.
и 
в точках H и M соответственно. Заметим, что 
Из подобия треугольников BPQ и 
следует, что 
следовательно, площадь треугольника ABC равна 
В треугольник ABC вписаны два равных прямоугольника PQRS и P1Q1R1S1 (при этом точки P и P1 лежат на стороне AB, точки Q и Q1 лежат на стороне BC, а точки R, S, R1 и S1 — на стороне AC). Известно, что PS = 3, P1S1 = 9. Найдите площадь треугольника ABC.
Из подобия треугольников BPQ и 
следовательно, площадь треугольнике ABC (коэффициент подобия равен 
следовательно, площадь треугольника ABC равна 