РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 9
Атрибут

Всего: 9 1–9

Добавить в вариант

Тип 21 № 343 Добавить в вариант

Сколько существует натуральных чисел n таких, что уравнение $nx минус 12=3n$ имеет целочисленное решение?

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	10
Приведены все основные логические шаги решения. Посчитаны целые значения n. ИЛИ Приведены все основные логические шаги решения. Ответ неверный.	+/2	5
Ответ верный. Решение отсутствует или неверное.	∓	2
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл	10

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 434 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, для которых уравнение

$3x в квадрате минус 4 левая круглая скобка 3a минус 2 правая круглая скобка x плюс a в квадрате плюс 2a=0$

имеет корни $x_1$ и $x_2,$ удовлетворяющие условию $x_1 меньше a меньше x_2.$

Решение · Помощь

Тип 21 № 3380 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

$3|x плюс 3a| плюс |x плюс a в квадрате | плюс 2x = a$

не имеет решения.

Решение.

Способ I. Рассмотрим функцию

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3|x плюс 3 a| плюс \left|x плюс a в квадрате | плюс 2 x минус a.$

Отсюда

$f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 умножить на дробь: числитель: x плюс 3 a, знаменатель: |x плюс 3 a| конец дроби плюс дробь: числитель: x плюс a в квадрате , знаменатель: \left|x плюс a в квадрате | конец дроби плюс 2,$

отсюда $x_1= минус 3 a$ и $x_2= минус a в квадрате$ критические. При $x меньше x_1$ и

$x меньше x_2 f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 2 \Rightarrow f \searrow;$

при

$x больше x_1 x больше x_2 f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =6 \Rightarrow f не равно arrow.$

Сверху функция f не ограничена, она непрерывна, а наименьшее значение достигается в точке −3a: если $минус 3 a меньше x меньше минус a в квадрате ,$ то $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =4 больше 0;$ если же $минус a в квадрате меньше x меньше минус 3 a,$ то $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =0.$ Все значения функции должны быть положительны. Для этого необходимо и достаточно, чтобы $f левая круглая скобка минус 3 a правая круглая скобка больше 0.$ Получаем следующее неравенство

$\left|a в квадрате минус 3 a| больше 7 a равносильно совокупность выражений a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус 3 a больше 7 a , a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус 3 a меньше минус 7 a конец совокупности . равносильно совокупность выражений a больше 10, a меньше 0 . конец совокупности .$

Способ II. Рассмотрим функцию

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3|x плюс 3 a| плюс \left|x плюс a в квадрате | плюс 2 x минус a.$

Нам требуется найти все такие значения параметра a, что f(x) не обращается в нуль нигде на числовой оси.

Сразу заметим, что f(x) непрерывна на всей оси.

Обозначим $x_1= минус 3 a$ и $x_2= минус a в квадрате .$ Сравним эти числа: $x_1 больше x_2$ тогда и только тогда когда $a в квадрате минус 3 a больше 0,$ т. е, $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

1)  Пусть $x_1 больше x_2,$ то есть $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ На интервале $левая круглая скобка минус бесконечность ; x_1 правая квадратная скобка$ оба модуля раскрываются с минусом и f(x)  — линейная функция с угловым коэффициентом −4, следовательно, убывает. На отрезке $левая квадратная скобка x_2; x_1 правая квадратная скобка$ первый модуль раскрывается с минусом, второй  — с плюсом, следовательно, f(x)  — постоянная функция. На интервале $левая квадратная скобка x_1; плюс бесконечность правая круглая скобка$ функция f(x)  — линейная с угловым коэффициентом 6, следовательно, возрастает. Из вышеуказанного следует, что для всех x функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка .$ Следовательно, для того, чтобы уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ не имело решения, необходимо и достаточно, чтобы $f левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка больше 0 .$ Имеем

$f левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка =\left| минус 3 a плюс a в квадрате | минус 6 a минус a=a в квадрате минус 10 a.$

Решением неравенства $a в квадрате минус 10 a больше 0$ является множество $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 10; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Все оно содержится во множестве $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2)  Пусть $x_1 меньше x_2,$ то есть $a принадлежит левая круглая скобка 0,3 правая круглая скобка .$ Тогда на интервале $левая круглая скобка минус бесконечность ; x_2 правая квадратная скобка$ оба модуля раскрываются с минусом и f(x)  — линейная функция с угловым коэффициентом −4, следовательно, убывает. На отрезке $левая квадратная скобка x_1, x_2 правая квадратная скобка$ первый модуль раскрывается с плюсом, второй  — с минусом, следовательно, f(x)  — линейная с угловым коэффициентом 4. На интервале $левая квадратная скобка x_2; плюс бесконечность правая круглая скобка$ функция f(x)  — линейная с угловым коэффициент ом 6, следовательно, возpacraет на обоих этих промежутках. Тогда $x=x_1 минус$ точка минимума функции и для того, чтобы уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ не имело решения, необходимо и достаточно, чтобы $f левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка больше 0.$ В этом случае

$f левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка =\left| минус 3 a плюс a в квадрате | минус 6 a минус a=3 a минус a в квадрате минус 7 a= минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 4 a правая круглая скобка .$

Решением неравенства $минус a левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка больше 0$ служит интервал (−4; 0). Он имеет пустое пересечение с множеством (0; 3), следовательно, в этом случае ни одно значение a не является решением задачи.

3)  Пусть $x_1=x_2,$ то есть $a принадлежит левая фигурная скобка 0; 3 правая фигурная скобка .$ Заметим, что в этом случае, аналогично случаю 2) точка $x=x_1$ есть точка минимума функции, и, опять же, $f левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка =0 плюс 0 минус 7 a$ должно быть положительно, что не выполняется при $a=0$ и $a=3.$

Ответ: $левая круглая скобка – бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 10; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Решение · Помощь

Тип 11 № 3704 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное значение n такое, что при всех x выполняется неравенство

$|x – 1| плюс |x – 2| плюс … плюс |x – n| больше или равно m.$

Ответ:

n^{2}-I\{n-\text {нечетно}\} \geqslant 4 m,

где I  — индикаторная

Решение · Помощь

Тип 11 № 3708 Добавить в вариант

Найдите сумму действительных корней уравнения

$2 умножить на 3 в кубе в степени x – a умножить на 3 в квадрате в степени x – 3 левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка умножить на 3 в степени x плюс 18 = 0.$

Ответ:

x_{2}+x_{3}=1.

Аналоги к заданию № 3708: 3712 Все

Решение · Помощь

Тип 21 № 4117 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

$левая круглая скобка x в квадрате – 6x плюс 8 – a правая круглая скобка левая круглая скобка x – a в квадрате плюс 6a – 8 правая круглая скобка = 0.$

Имеет ровно два различных, действительных корня.

(Р. Алишев)

Решение.

Решать задачу будем графическим методом. Заменим a на y и нарисуем множество решений уравнения в плоскости Oxy. Исходное уравнение эквивалентно следующей системе

$совокупность выражений y=x в квадрате минус 6 x плюс 8, x=y в квадрате минус 6 y плюс 8. конец совокупности .$

График первого уравнения это парабола с ветвями направленными вверх, а график второго уравнения  — парабола повернутая на 90° (см. рис.). Причем при замене $x \leftrightarrow y$ первая парабола переходит во вторую и наоборот. Следовательно, они симметричны относительно прямой $y=x,$ а значит две точки пересечения этих парабол лежат на этой прямой.

Перейдем теперь к решению задачи. Так как исходное уравнение должно иметь ровно два различных решения, то пря мая $y=a$ должна пересекать обе наши параболы ровно в двух точках. Как видно из рисунка такое возможно только в пяти точках: когда прямая проходит через вершину первой параболы или когда пря мая проходит через одну из точек пересечения парабол. Разберем оба этих случая:

1)  прямая проходит через вершину параболы. Вершина имеет координаты

$левая круглая скобка минус дробь: числитель: b, знаменатель: 2 a конец дроби ; минус дробь: числитель: D, знаменатель: 4 a конец дроби правая круглая скобка = левая круглая скобка 3; минус 1 правая круглая скобка .$

Тогда получаем прямую $y= минус 1;$

2)  прямая проходит через одну из точек пересечения парабол. Точки пересечения находятся из системы

$система выражений y=x в квадрате минус 6 x плюс 8, x=y в квадрате минус 6 y плюс 8 конец системы . \Rightarrow y= левая круглая скобка y в квадрате минус 6 y плюс 8 правая круглая скобка в квадрате минус 6 левая круглая скобка y в квадрате минус 6 y плюс 8 правая круглая скобка плюс 8 \Rightarrow y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 12 y в кубе плюс 46 y в квадрате минус 61 y плюс 24=0.$ $система выражений y=x в квадрате минус 6 x плюс 8, x=y в квадрате минус 6 y плюс 8 конец системы . \Rightarrow y= левая круглая скобка y в квадрате минус 6 y плюс 8 правая круглая скобка в квадрате минус 6 левая круглая скобка y в квадрате минус 6 y плюс 8 правая круглая скобка плюс 8 \Rightarrow$
$\Rightarrow y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 12 y в кубе плюс 46 y в квадрате минус 61 y плюс 24=0.$ $система выражений y=x в квадрате минус 6 x плюс 8, x=y в квадрате минус 6 y плюс 8 конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow y= левая круглая скобка y в квадрате минус 6 y плюс 8 правая круглая скобка в квадрате минус 6 левая круглая скобка y в квадрате минус 6 y плюс 8 правая круглая скобка плюс 8 \Rightarrow$
$\Rightarrow y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 12 y в кубе плюс 46 y в квадрате минус 61 y плюс 24=0.$

Причем две из них можно найти из условия $y=x,$ то есть из уравнения

$y=y в квадрате минус 6 y плюс 8 \Rightarrow y в квадрате минус 7 y плюс 8=0 .$

Поделим многочлен четвертой степени на квадратный и получим

$y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 12 y в кубе плюс 46 y в квадрате минус 61 y плюс 24= левая круглая скобка y в квадрате минус 7 y плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка y в квадрате минус 5 y плюс 3 правая круглая скобка =0 .$

Теперь мы легко можем найти все четыре точки: $y= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби \pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ и $y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби \pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ Итак, мы получаем пять возможных значений параметра

$a принадлежит левая фигурная скобка –1 правая фигурная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби \pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби \pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка –1 правая фигурная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби \pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби \pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Решение · Помощь

Тип 0 № 5188 Добавить в вариант

Найти все числа a и b, для которых равенство

$|ax плюс by| плюс |bx плюс ay|=|x| плюс |y|$

выполнено при всех значениях переменных x и y.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 7701 Добавить в вариант

Найдите все натуральные a, при которых неравенство

$дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 1 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка a в квадрате минус a плюс 1 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: a в квадрате левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби$

имеет ровно а) 2016 целых решений; б) 2017 целых решений.

Решение · Помощь

Тип 0 № 8722 Добавить в вариант

Найти все значения параметра a, при которых уравнение

$левая круглая скобка a плюс x в квадрате минус x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =4 a левая круглая скобка a x в квадрате плюс x в квадрате минус x плюс 2 правая круглая скобка$

имеет единственное решение.

Баллы	Критерии выставления
15	Обоснованно получен правильный ответ
12	При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки или при правильном ответе имеются недостатки обоснования
6	Верно начато решение задачи, получены некоторые промежуточные результаты, дальнейшее решение неверно или отсутствует
0	Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий

Решение · Критерии · Помощь

Всего: 9 1–9