Всего: 23 1–20 | 21–23
Добавить в вариант
а) Сколькими способами можно расположить на шахматной доске квадрат из целого числа ее клеток?
б) Сколько существует n-позиционных двоичных чисел, в которых нулей не меньше, чем единиц?
в) Вася и Оля договорились о встрече между 17 и 18 часами. Вася будет ждать Олю в течение 30 минут после своего прихода, а Оля Васю — 10 минут. Какова вероятность их встречи, если каждый из них может подойти к назначенному месту в любой момент времени между 17 и 18 часами?
может находиться в 
узлах сетки, т. е. для ее расположения имеются 
вариантов. Таким образом, всего имеются 
). Если n нечетно, то наборы этих типов не совпадают, поэтому искомые наборы составляют половину всех n-позиционных двоичных чисел и их 
При четном n 
при нечетном n и 
при четном.
время прихода Васи, а 
— Оли, 
Из условия задачи следует, что они встретятся, если 
или 
а) У Танъ-Янны имеются чашечные весы и набор разновесок в 
амма (по одной каждого веса). Докажите, что ей не удастся разложить их по чашкам весов так, чтобы весы были в равновесии.
б) Вычислите интеграл 
в) Палку случайным образом сломали в двух местах. Найдите вероятность того, что длина каждого из кусков не превосходит половины ее длины.
можно представить в виде суммы членов вида 
Поскольку в рассматриваемом случае ни один из коэффициентов при x не равен нулю (и является целым числом), то интеграл от каждого такого слагаемого равен нулю.
Тогда условия на длины кусков определяют неравенства 
и 
Искомая вероятность равна отношению площади треугольника с вершинами в точках с координатами 
и треугольника, определяемого системой из трех указанных неравенств (см. рисунок).
а) У Янатты имеются чашечные весы и набор разновесок в
б) Вычислите интеграл 
в) Палку случайным образом сломали в двух местах. Найдите вероятность того, что из образовавшихся кусков можно составить треугольник.
затем преобразуем так же 
и 
и так далее. В итоге мы получим сумму синусов и косинусов от углов вида 
По доказанному в предыдущем пункте, ни одна такая сумма не дает 0. Но при 
имеем 
—
Значит, интеграл суммы любых таких синусов и косинусов с произвольными коэффициентами тоже равен нулю.
тогда третий обломок имеет длину 
Для составления треугольника необходимо и достаточно выполнение трех условий:
то 
отсюда 
то 
отсюда 
то 
отсюда 
и выясним, в какой ее части выполнены все эти условия. Любое линейное неравенство относительно x и y задает на плоскости некоторую полуплоскость. Интересующая нас область изображена на рисунке.а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если не существует треугольника с длинами сторон a, b, c, то нет и треугольника со сторонами
г) Докажите, что треугольник ABC является прямоугольным тогда и только тогда, когда 
Относительно новой переменной имеем уравнение 
и только они, 
По определению геометрической вероятности, искомая вероятность равна отношению площади множества точек единичного квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству, т. е. площади подграфика функции 
к площади самого этого квадрата. Таким образом, эта вероятность равна интегралу 
тогда 
откуда и следует, что один из углов треугольника — прямой.а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной 
также можно составить треугольник.
г) Дан треугольник ABC. Докажите, что если 
то он либо равнобедренный, либо прямоугольный.
тогда 
и уравнение примет вид
(поскольку вероятность события 
равна нулю). Тогда необходимо и достаточно выполнения условия 
то есть 
Рассмотрим на координатной плоскость с координатами 
график функции 
и вычислим площадь заштрихованной части (см рисунок)
Проверим для самой большой из сторон 
неравенство треугольника 
что очевидно — раскрывая скобки в правой части по формуле бинома Ньютона, получим 
где все не выписанные слагаемые положительны.
получим
Более того, если 
то 
а 
и равенство невозможно. Итак, 
Аналогично 
где 
и треугольник является равнобедренным; либо 
где 
На сторонах треугольника ABC отметили точки: 12 — на стороне AB, 9 — на стороне BC, 10 — на стороне AC. При этом ни одна из вершин треугольника не отмечена. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
способами. При этом треугольник образуется во всех случаях за исключением того, когда все три точки лежат на одной стороне треугольника. Итак, не подходят 
способа.
треугольник.Ваня и Дима пошли на рынок. У Вани было 1000 рублей, а у Димы — 2000 рублей. Они покупали что-то независимо друг от друга, а в какой-то момент они встретились и решили купить модель танка за 1800 рублей. Найдите вероятность того, что оставшейся у них суммы хватит на это.
у Димы — y руб, 
Рассмотрим прямоугольник 
как множество всех элементарных исходов. Область в прямоугольнике, определенная условием 
соответствует благоприятным исходам. Рассмотрим отношение площади области благоприятных исходов к площади прямоугольника и получим искомую вероятность: 
Дима посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 15 см на 20 см круглую кляксу радиусом 2 см. Сразу после этого Дима посадил ещё одну такую кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы пересекаются.
Ксюша, Ваня и Вася решили пойти в кино. Они договорились встретиться на автобусной остановке, но не знают, кто во сколько придёт. Каждый из них может прийти в случайный момент времени с 15:00 до 16:00. Вася самый терпеливый: если он придёт и на остановке не будет ни Ксюши, ни Вани, то он будет ждать кого-нибудь из них 15 минут, и если никого не дождётся, то пойдет в кино один. Ваня менее терпеливый: он будет ждать лишь 10 минут. Ксюша самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако если Ваня и Вася встретятся, то они будут ждать Ксюшу до 16:00. Определить вероятность того, что в кино они пойдут все вместе.
Ксюша, Ваня и Вася решили пойти в кино. Они договорились встретиться на автобусной остановке, но не знают, кто во сколько придёт. Каждый из них может прийти в случайный момент времени с 14:00 до 15:00. Вася самый терпеливый: если он придёт и на остановке не будет ни Ксюши, ни Вани, то он будет ждать кого-нибудь из них 20 минут, и если никого не дождётся, то пойдет в кино один. Ваня менее терпеливый: он будет ждать лишь 10 минут. Ксюша самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако если Ваня и Вася встретятся, то они будут ждать Ксюшу до 15:00. Определить вероятность того, что в кино они пойдут все вместе.
больше единицы при условии 
Будем рассматривать параметры a и b как прямоугольные декартовы координаты точки плоскости. Поскольку a и b натуральные 
и поэтому число всех возможных испытаний равно m · n (см. левый черт.).
то число исходов, не благоприятствующих рассматриваемому событию, равно 
исходов. Поэтому вероятность p находим из формулы 
(см. правый черт.), то число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, равно 
если 
если 
а другой катет и гипотенуза выражаются натуральными числами?
Отсюда получим 
Точки PQ, расположены на сторонах AB и AC треугольника ABC так, что 
Точка M выбрана на стороне BC совершенно случайно. Найти вероятность того, что площадь треугольника ABC превосходит площадь треугольника PQM не более, чем в три раза. Найти математическое ожидание случайной величины — отношения площадей треугольников PQM и ABC.
равномерно распределена на отрезке [0; 1]. Если x — значение с. в. ξ, то 
принимает вид 
Отсюда находим 
С учетом равномерности распределения 
: 
2) 
В квадрате ABCD со стороной четыре расположена точка O, отстоящая от сторон AD и CD на расстояние единицы. Через точку О совершенно случайно проведена прямая L, разделяющая квадрат на две части. Найти вероятность того, что одна из частей будет иметь площадь, не превосходящую 3.
— угол наклона прямой L к стороне AD — распределена равномерно на 
рис. 1 (трапеция). Вычисление площади трапеции AMQD:
рис. 2 (треугольник). Вычисление площади треугольника MQD:
рис. 3 (трапеция). По симметрии с первым случаем, 
(трапеция) приводит к такой же формуле 
(трапеция) приводит к формуле аналогичной первому случаю для площади меньшей части разрезанного квадрата 
Замена 
позволяет объединить случаи 1−5 и представить зависимость площади меньшей части квадрата от t: 
для всех t — минимум достигается при 
Значения 
достигаются для 
где 
и 
являются решениями уравнений: 
то есть 
и 
Случайное событие 
реализуется, если 
На нижнем рисунке изображено множество точек с координатами (x; y) на квадрате 
для которых 
(см. нижний рис.).
равна площади заштрихованной части квадрата. Тогда
На боковых ребрах DA и DB правильной треугольной пирамиды ABCD совершенно случайно взяты точки M и N. Найти вероятность того, что площадь боковой поверхности пирамиды MNCD c вершиной в точке D составляет не более половины площади боковой поверхности пирамиды ABCD.
SMNCD — площадь боковой поверхности пирамиды MNCD с вершиной в точке D, SABCD — площадь боковой поверхности пирамиды ABCD с вершиной в точке D. Имеем
а вероятность события A в этом пространстве равна площади области внутри квадрата, соответствующей этому событию. Событию 
Тогда
Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми — тоже узел этой сетки?
(А. К. Кулыгин)
и 
радиус-векторы к двум ближайшим узлам, как на верхнем рисунке. Тогда узлы сетки суть точки вида 
для целых m и n. По принципу Дирихле из пяти точек найдутся две точки 
и 
у которых одновременно совпадает чётность m1 и m2 и чётность n1 и n2. Середина отрезка, соединяющего эти две точки, есть точка 
и 
являются целыми в силу одинаковой чётности m1 и m2, n1 и n2.При входе в личный кабинет на терминале требуется ввести четырехзначный пароль из 0 и 1. Для этого на терминале имеются 4 кнопки и 4 окошка. При нажатии на кнопку в ей соответствующем окощке текущий символ заменяется на противоположный (то есть если в окошке сейчас горит цифра 1, то после нажатия на кнопку там будет 0, и наоборот). Сейчас во всех окошках выставлена 1. Какое наименьшее количество нажатий кнопок потребуется, чтобы перебрать все возможные варианты пароля?
четырехзначных паролей из 0 и 1. Один такой пароль 1111 уже набран, значит, нам остается перебрать оставшиеся 15 вариантов, для чего потребуется по крайней мере 15 нажатий кнопок. Покажем, что 15 нажатий действительно хватит. Для этого все четырехзначные наборы упорядочим так, чтобы соседние наборы отличались только в одном символе (классический код Грея). Тогда переход от одного набора к соседнему будет осуществляться нажатием одной кнопки, и всего потребуется как раз 15 нажатий.При входе в личный кабинет на терминале требуется ввести пятизначный пароль из 0 и 1. Для этого на терминале имеются 5 кнопок и 5 окошек. При нажатии на кнопку в ей соответствующем окошке текущий символ заменяется на противоположный (то есть, если в окошке сейчас горит цифра 1, то после нажатия на кнопку там будет 0, и наоборот). Сейчас во всех окошках выставлена 1. Какое наименьшее количество нажатий кнопок потребуется, чтобы перебрать все возможные варианты пароля?
пятизначных паролей из 0 и 1. Один такой пароль 11111 уже набран, значит, нам остается перебрать еще 31 вариант, для чего потребуется по крайней мере 31 нажатие кнопок. Покажем, что 31 нажатия действительно хватит. Для этого все пятизначные наборы упорядочим так, чтобы соседние наборы отличались только в одном символе (классический код Грея). Тогда переход от одного набора к соседнему будет осуществляться нажатием одной кнопки, и всего потребуется как раз 31 нажатие.При входе в личный кабинет на терминале требуется ввести трехзначный пароль x1, x2, x3, где
Для этого на терминале имеются 3 окошка, а под каждым окошком расположены три кнопки. При нажатии на кнопку в окошке над ней появляется соответствующая цифра. Сейчас в окошках выставлена комбинация 000. Какое наименьшее количество нажатий кнопок потребуется, чтобы перебрать все возможные варианты пароля?
трехзначных паролей (наборов) из 0, 1 и 2. Один такой пароль 000 уже набран, значит, нам остается перебрать оставшиеся 26 вариантов, для чего потребуется по крайней мере 26 нажатий кнопок. Покажем, что 26 нажатий действительно хватит. Для этого все трехзначные наборы упорядочим так, чтобы соседние наборы отличались только в одном символе (классический код Грея). Тогда переход от одного набора к соседнему будет осуществляться нажатием одной кнопки, и всего потребуется как раз 26 нажатий.