Пусть со­бы­тие A  — «у вто­ро­го вы­па­ло боль­ше орлов, чем у пер­во­го», со­бы­тие B  — «у пер­во­го вы­па­ло боль­ше орлов, чем у пер­во­го». По­сколь­ку вы­па­де­ние орла и решки рав­но­ве­ро­ят­но. То со­бы­тия A и B рав­но­ве­ро­ят­ны. Так как вто­рой бро­сал мо­не­ту ровно на один раз боль­ше пер­во­го, то либо орлов, либо решек у него вы­па­ло боль­ше, но не од­но­вре­мен­но. По­это­му со­бы­тия A и B до­пол­ня­ют друг друга.

Таким об­ра­зом, P(A) = P(B) и P(A) + P(B) = 1. Сле­до­ва­тель­но, P(A) = 0,5.

Ответ: 0,5.

Обо­зна­чим через A ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный со­труд­ник даст пра­виль­ный ответ. Ве­ро­ят­ность сов­па­де­ния от­ве­та со­труд­ни­ка с от­ве­том ро­бо­та равна сумме ве­ро­ят­но­стей пра­виль­но­го от­ве­та обоих и не­пра­виль­но­го от­ве­та обоих. По усло­вию за­да­чи по­лу­ча­ем 4/5A+(1-4/5)(1-A)=1/2, сле­до­ва­тель­но, A=1/2. Обо­зна­чим через x и y со­от­вет­ствен­но ко­ли­че­ство муж­чин и жен­щин в ком­па­нии. Ве­ро­ят­ность A пра­виль­но­го от­ве­та слу­чай­но вы­бран­но­го со­труд­ни­ка ком­па­нии равна сумме ве­ро­ят­но­сти того, что будет вы­бран муж­чи­на и он от­ве­тит пра­виль­но, и ве­ро­ят­но­сти того, что будет вы­бра­на жен­щи­на и она даст пра­виль­ный ответ.

Таким об­ра­зом, или 7x = 3y.

Ответ: 3/7.

а)  Если пе­ре­став­лять буквы в слове «АЛлах», то будет пе­ре­ста­но­вок. Если те­перь за­ме­нить боль­шие буквы на ма­лень­кие, по­лу­чит­ся один из ва­ри­ан­тов пе­ре­ста­но­вок для слова «аллах», при этом каж­дый ва­ри­ант по­лу­чит­ся по 4 раза (есть два ва­ри­ан­та, какая из букв "`а"' была боль­шой, а в каж­дом из них - два ва­ри­ан­та, какая из букв «л» была боль­шой). По­это­му ответ 30.

б)  За­ме­тим, что

Зна­чит,

в)  Из трех воз­мож­ных ва­ри­ан­тов: пра­виль­ная мо­не­та лежит гер­бом вверх, фаль­ши­вая мо­не­та лежит вверх одной или же дру­гой сто­ро­ной  — нам под­хо­дят два по­след­них. Воз­мож­ны три со­бы­тия, да­ю­щие дан­ный исход  — фаль­ши­вая лежит пер­вой сто­ро­ной вверх, фаль­ши­вая лежит вто­рой сто­ро­ной вверх или на­сто­я­щая лежит вверх гер­бом. В двух из этих ва­ри­ан­тов мо­не­та ока­зы­ва­ет­ся фаль­ши­вой, по­это­му ответ

Ответ:

а) Ко­неч­но, этот ответ сле­ду­ет из общей фор­му­лы для числа пе­ре­ста­но­вок с по­вто­ре­ни­я­ми: Од­на­ко для ре­ше­ния за­да­чи знать эту фор­му­лу со­всем не обя­за­тель­но, до­ста­точ­но про­сто на­вы­ка в ис­поль­зо­ва­нии «пра­ви­ла про­из­ве­де­ния» и зна­ком­ства с опре­де­ле­ни­ем чисел со­че­та­ний. Дей­стви­тель­но: буква «о» может сто­ять на любом из шести мест, для буквы «а» (когда «о» уже по­став­ле­на) име­ет­ся ва­ри­ан­тов, на остав­ших­ся трех ме­стах рас­по­ла­га­ют­ся буквы «б». Кста­ти го­во­ря, тот, кто про­ве­дет по­доб­ное рас­суж­де­ние, может уви­деть, что если вна­ча­ле вы­би­рать три места для букв «б», то всего ва­ри­ан­тов так что По­лу­чен­ное ра­вен­ство яв­ля­ет­ся част­ным слу­ча­ем до­ка­зы­ва­е­мо­го ана­ло­гич­ным об­ра­зом тож­де­ства ис­поль­зу­е­мо­го в сле­ду­ю­щем пунк­те.

Ответ: 60.

б)  Имеем:

Дру­гое рас­суж­де­ние ос­но­ва­но на идее про­из­во­дя­щих функ­ций. Пусть тогда так что С дру­гой сто­ро­ны, по­это­му !

в)  В ре­ше­нии ис­поль­зу­ют­ся лишь про­стей­шие по­ня­тия тео­рии ве­ро­ят­но­сти. Ве­ро­ят­ность того, что оба раза выпал герб, равна ве­ро­ят­ность вы­па­да­ния двух решек Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что пер­вый игрок вы­иг­ра­ет, равна

тем самым при любых чаще будет вы­иг­ры­вать он.

Ответ:

а)  Дей­стви­тель­но, если и то т. e. что не­воз­мож­но.

Ответ: Нет, не су­ще­ству­ет.

б)  Так как левая часть урав­не­ния может при­ни­мать лишь зна­че­ния то осу­ще­ствим пе­ре­бор.

Пусть Тогда от­ку­да Имеем так что и этот слу­чай не­воз­мо­жен.

Пусть или В пер­вом слу­чае Из зна­че­ний нам под­хо­дит толь­ко (), по­это­му число k долж­но быть чет­ным. Во вто­ром слу­чае, на­о­бо­рот, n  — не­чет­но. По­это­му или

Пусть Таким об­ра­зом,

Пусть или В этом слу­чае так что ре­ше­ний нет.

На­ко­нец, пусть Тогда а число k долж­но быть четно. Таким об­ра­зом,

Ответ:

в)  Имеем: Так как числа x + y и x − y, бу­дучи це­лы­ми, имеют оди­на­ко­вую чет­ность, то и где Таким об­ра­зом, ко­ли­че­ство ре­ше­ний дан­но­го урав­не­ния сов­па­да­ет с ко­ли­че­ством чисел вида где s  =  0, 1, 2, и t  =  0, 1, 2, 3.

Ответ: 24 точки.

г)  Ве­ро­ят­ность того, что все 40 пар­тий за­кон­чат­ся вни­чью, равна по­это­му будем счи­тать, что матч про­дол­жа­ет­ся до пер­вой по­бе­ды. Ве­ро­ят­ность по­бе­ды иг­ро­ка, ко­то­рый в пер­вой пар­тии иг­ра­ет бе­лы­ми фи­гу­ра­ми, равна сумме ряда

здесь   — ве­ро­ят­но­сти его по­бе­ды при игре бе­лы­ми, со­от­вет­ствен­но, чер­ны­ми фи­гу­ра­ми,   — ве­ро­ят­ность ничьи.

Дру­гое ре­ше­ние: Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния

Ответ: шансы пер­во­го иг­ро­ка  — так как ве­ро­ят­ность его по­бе­ды почти равна

а)  Су­ще­ству­ет ли гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, среди чле­нов a ко­то­рой име­ют­ся числа 3, 7 и 10?

До­пу­стим, что такая про­грес­сия есть. Будем счи­тать ее воз­рас­та­ю­щей (иначе пе­ре­пи­шем не­сколь­ко ее пер­вых чле­нов, среди ко­то­рых есть 3, 7, 10, в об­рат­ном по­ряд­ке). Пусть ее пер­вый член равен b, а зна­ме­на­тель равен q, тогда при не­ко­то­рых по­лу­чим при­чем Из пер­вых двух урав­не­ний по­лу­ча­ем а из по­след­них двух

Но при воз­ве­де­нии ра­ци­о­наль­но­го числа q (за­пи­сан­но­го в виде не­со­кра­ти­мой дроби) в на­ту­раль­ную сте­пень по­лу­ча­ют­ся снова не­со­кра­ти­мые дроби, зна­ме­на­те­ли ко­то­рых  — сте­пе­ни из­на­чаль­но­го зна­ме­на­те­ля. А числа 3 и 7 не яв­ля­ют­ся сте­пе­ня­ми од­но­го и того же на­ту­раль­но­го числа.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние (здесь [.]  — это целая часть числа, т. е. наи­боль­шее целое число, его не пре­вос­хо­дя­щее).

Ясно, что по­сколь­ку По­это­му левая часть может при­ни­мать толь­ко зна­че­ния −2, −1, 0, 1, 2. Решим все по­лу­чен­ные урав­не­ния-след­ствия, а потом про­ве­рим, для каких из их кор­ней целая часть ока­зы­ва­ет­ся пра­виль­ной. Во всех ва­ри­ан­тах ниже Най­дем

Тогда

что равно −2 при вы­бо­ре знака минус. Зна­чит, нужно, чтобы было не­чет­ным или, что то же, k было не­чет­ным, тогда

Тогда

или

что равно −2 при вы­бо­ре знака минус и равно 1 при вы­бо­ре знака плюс. Зна­чит, по­лу­чить −1 нель­зя и таких ре­ше­ний не будет. Най­дем

Тогда

что равно 0 при чет­ных k и равно при не­чет­ном k. Зна­чит, нужно, чтобы k было чет­ным по­лу­чим

Тогда

или

что равно 1 при вы­бо­ре знака плюс. По­это­му надо вы­би­рать не­чет­ные k для пер­во­го слу­чая и чет­ные для вто­ро­го. Най­дем

Тогда

что равно −2 при вы­бо­ре знака ми­ну­са равно 1 при вы­бо­ре знака плюс . Зна­чит, по­лу­чить 2 нель­зя и таких ре­ше­ний не будет.

Окон­ча­тель­но

в)  Най­ди­те ко­ли­че­ство ле­жа­щих на кри­вой точек плос­ко­сти, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых суть целые числа.

За­пи­шем урав­не­ние в виде от­ку­да видно, что и   — два целых де­ли­те­ля числа 1944, да­ю­щие его в про­из­ве­де­нии. Сумма их что четно, по­это­му и сами они оба четны (или оба не­чет­ны, но тогда и их про­из­ве­де­ние было бы не­чет­но). Обо­зна­чая и по­лу­чим при­чем по любым целым a и b можно од­но­знач­но по­стро­ить и ко­то­рые по­дой­дут в из­на­чаль­ное урав­не­ние.

Оста­лось вы­яс­нить, сколь­ко всего целых де­ли­те­лей у числа Все они имеют вид где и l =0, 1, 2, 3, 4, 5, что дает ва­ри­ан­та для a и каж­дый из них од­но­знач­но опре­де­лит b.

г)  Два шах­ма­ти­ста иг­ра­ют матч до пер­вой по­бе­ды. Из­вест­но, что во встре­чах друг с дру­гом каж­дый из них, играя бе­лы­ми фи­гу­ра­ми, по­беж­да­ет с ве­ро­ят­но­стью а про­иг­ры­ва­ет с ве­ро­ят­но­стью (тем самым с ве­ро­ят­но­стью в каж­дой из пар­тий фик­си­ру­ет­ся ничья). Если в 80 пар­ти­ях матча будет за­фик­си­ро­ва­на ничья, то для опре­де­ле­ния по­бе­ди­те­ля ки­да­ют жре­бий. Оце­ни­те (с ра­зум­ной точ­но­стью) шансы на вы­иг­рыш того иг­ро­ка, с хода ко­то­ро­го нач­нет­ся этот матч.

Пер­вый игрок может вы­иг­рать в сле­ду­ю­щих слу­ча­ях:

1) Вы­иг­рать первую пар­тию. Ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна

2) Сыг­рать первую пар­тию вни­чью и вы­иг­рать вто­рую. Ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна

3) Сыг­рать вни­чью пер­вые две пар­тии и вы­иг­рать тре­тью. Ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна

И так далее. По­это­му ве­ро­ят­ность его ито­го­вой по­бе­ды за 80 игр равна

по­сколь­ку

Ответ:

а) нет, не су­ще­ству­ет;

б)

в) 24 точки;

г) шансы пер­во­го иг­ро­ка  — ве­ро­ят­ность его по­бе­ды почти равна

Най­дем:

Ответ:

Всего ис­хо­дов: ис­хо­дов, в ко­то­рых ни один номер не сов­па­да­ет: Тогда ве­ро­ят­ность

Ответ: 0,695.

На пер­вых двух по­зи­ци­ях цифра 0 встре­ча­ет­ся в 00−09, 10, 20 часов  — всего 12 раз, при любом числе минут, а в те­че­ние каж­до­го из 12 остав­ших­ся часов на по­след­них двух по­зи­ци­ях цифра 0 встре­ча­ет­ся в 00−09, 10, 20, ..., 50 минут всего 15 раз. По­это­му среди всех (рав­но­ве­ро­ят­ных) по­ка­за­ний часов цифра 0 встре­тит­ся с ве­ро­ят­но­стью

Ответ: 0,63.

Ре­ше­ние ана­ло­гич­но за­да­нию 3315.

Ответ: 0,63.

Всего раз­лич­ных би­ле­тов 10⁶ из них у цифры идут в по­ряд­ке воз­рас­та­ния (убы­ва­ния) (любые 6 цифр из 10 об­ра­зу­ют ровно одно нуж­ное нам число). Тогда ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,00021.

Всего раз­лич­ных би­ле­тов 10⁶ из них у би­ле­тов все цифры раз­лич­ны (на пер­вое место цифру можно вы­брать 10 спо­со­ба­ми, на вто­рую  — 9 спо­со­ба­ми и т. д.). Тогда ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,1512.

Всего раз­лич­ных би­ле­тов 10⁶ из них у а) б) в) любые а) две; б) три; в) че­ты­ре по­сле­до­ва­тель­ны цифры раз­лич­ны. Тогда ве­ро­ят­ность равна

а)  

б)  

в)  

Ответ: а) 0,59049; б) 0,36864; в) 0,24696.

Ко­ли­че­ство би­ле­тов, у ко­то­рых най­дут­ся хотя бы две оди­на­ко­вые цифры, равно

(из всех би­ле­тов нужно от­нять те, у ко­то­рых все цифры раз­лич­ны). Тогда ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,8488.

Ко­ли­че­ство би­ле­тов, у ко­то­рых хотя бы одна цифра а) боль­ше 5; б) мень­ше 3, равно а) б) (из всех би­ле­тов нужно от­нять те, у ко­то­рых все цифры а) не пре­вос­хо­дят 5; б) не мень­ше 3). Тогда ве­ро­ят­ность равна

а)  

б)  

Ответ: а) 0,953344; б) 0,882351.

Ко­ли­че­ство би­ле­тов, у ко­то­рых ровно одна цифра мень­ше 3, равно (6 спо­со­ба­ми можно вы­брать по­зи­цию, в ко­то­рой будет сто­ять цифра мень­шая 3, а на осталь­ных 5 по­зи­ци­ях цифры не мень­шие 3). Тогда ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,302526.

Ко­ли­че­ство би­ле­тов, у ко­то­рых хотя бы одна цифра чет­ная, равно (из всех би­ле­тов вы­чи­та­ем те, у ко­то­рых все цифры не­чет­ные). Тогда ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,96875.

Ве­ро­ят­ность вы­бо­ра от­лич­ни­цы среди де­во­чек равна

Учи­ты­вая, что ко­ли­че­ство де­во­чек  — число на­ту­раль­ное и их мень­ше 30, на­хо­дим, что в клас­се либо 13 де­во­чек (3 от­лич­ни­цы), либо 26 (6 от­лич­ниц). При­ме­няя те же рас­суж­де­ния к маль­чи­кам, на­хо­дим, что

Сле­до­ва­тель­но, в клас­се либо 11 маль­чи­ков (4 от­лич­ни­ка), либо 22 маль­чи­ка (8 от­лич­ни­ков). Так как в клас­се мень­ше 30 че­ло­век, опре­де­ля­ем, что в клас­се 13 де­во­чек (3 от­лич­ни­цы) и 11 маль­чи­ков (4 от­лич­ни­ка). Зна­чит, в клас­се ко­ли­че­ство от­лич­ни­ков

Ответ: 7.

Нужно найти сколь­ки­ми спо­со­ба­ми можно ре­шить урав­не­ние

где Вы­пи­шем в ряд де­сять еди­ниц и по­ста­вим между ними две пе­ре­го­род­ки (в раз­ные места). Тогда x₁ это число еди­ниц до левой пе­ре­го­род­ки, x₂  — между левой и пра­вой, x₃  — после пра­вой. Так как еди­ниц всего 10, то За­ме­тим, что мест для рас­по­ло­же­ния пе­ре­го­ро­док всего 9, а нам нужно вы­брать толь­ко 2. По­это­му число ре­ше­ний урав­не­ния равно Тогда ито­го­вая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,036.

Ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но, но воз­ни­ка­ют слож­но­сти с тем, что может быть равно 0. Со­по­ста­вим каж­до­му ре­ше­нию

ре­ше­ние

где и

Ре­ше­ний вто­ро­го урав­не­ния ровно Тогда ито­го­вая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,022.