сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 9

Всего: 183    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Даны три квад­рат­ных трех­чле­на f, g, h, не име­ю­щие кор­ней. Их стар­шие ко­эф­фи­ци­ен­ты оди­на­ко­вы, а все их ко­эф­фи­ци­ен­ты при x раз­лич­ны. До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет такое число c, что урав­не­ния f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс cg левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 и f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ch левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 имеют общий ко­рень.

 

(О. Ива­но­ва)


На доске 300 × 300 рас­став­ле­но не­сколь­ко ладей, ко­то­рые бьют всю доску. При этом каж­дая ладья бьёт не более чем одну дру­гую ладью. При каком наи­мень­шем k можно за­ве­до­мо утвер­ждать, что в каж­дом квад­ра­те k × k стоит хотя бы одна ладья?

 

(А. Чух­нов)


На сто­ро­не AB не­рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC вы­бра­ны точки P и Q так, что AC= AP и BC=BQ. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку PQ пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­су угла C в точке R (внут­ри тре­уголь­ни­ка). До­ка­жи­те, что \angle ACB плюс \angle P RQ = 180 гра­ду­сов .

 

(А. Куз­не­цов)


Два раз­лич­ных про­стых числа p и q от­ли­ча­ют­ся менее чем в два раза. До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ют такие два по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных числа, что у од­но­го из них наи­боль­ший про­стой де­ли­тель равен p, а у дру­го­го  — q.

 

(А. Го­ло­ва­нов)


Костя и Сер­гей иг­ра­ют в игру на белой по­лос­ке длины 2016. Костя (он ходит пер­вым) за один ход дол­жен за­кра­сить чер­ным две со­сед­них белых клет­ки. Сер­гей своим ходом дол­жен за­кра­сить либо одну белую клет­ку, либо три со­сед­них белых клет­ки. За­пре­ща­ет­ся де­лать ход, после ко­то­ро­го об­ра­зу­ет­ся белая клет­ка, не име­ю­щая белых со­се­дей. Про­иг­ры­ва­ет не име­ю­щий хода. Од­на­ко, если все клет­ки за­кра­ше­ны, то вы­иг­ры­ва­ет Костя. Кто вы­иг­ра­ет при пра­виль­ной игре?

 

(К. Тыщук)


Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке D. От­ре­зок BD по­втор­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке E. Точки F и G на окруж­но­сти та­ко­вы, что FE || BC и GE || BA. До­ка­жи­те, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей тре­уголь­ни­ков DEF и DEG, де­лит­ся по­по­лам бис­сек­три­сой угла GDF.

 

(Ф. Ба­ха­рев)


Блок из N под­ряд иду­щих на­ту­раль­ных чисел на­зы­ва­ет­ся хо­ро­шим, если про­из­ве­де­ние каких-то двух из них де­лит­ся на сумму осталь­ных. Для каких N су­ще­ству­ет бес­ко­неч­но много хо­ро­ших бло­ков?

 

(С. Бер­лов)


Саша пе­ре­мно­жил все де­ли­те­ли на­ту­раль­но­го числа n. Федя уве­ли­чил каж­дый де­ли­тель на 1, а потом пе­ре­мно­жил ре­зуль­та­ты. Фе­ди­но про­из­ве­де­ние на­це­ло де­лит­ся на Са­ши­но. Чему может быть равно n?

 

(Ф. Пет­ров)


Даны по­ло­жи­тель­ные числа x1, x2, ..., xn, такие что x_i мень­ше или равно 2x_j при 1 мень­ше или равно i мень­ше j мень­ше или равно n. До­ка­жи­те, что най­дут­ся такие по­ло­жи­тель­ные числа y_1 мень­ше или равно y_2 мень­ше или равно . . . мень­ше или равно y_n, что x_k мень­ше или равно y_k мень­ше или равно 2x_k при всех k = 1, 2, \ldots , n.

 

(П. За­тиц­кий, Ф. Пет­ров)


Впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке B1, а сто­ро­ны BC в точке A1. На сто­ро­не AB на­шлась такая точка K, что AK = KB1, BK = KA1. До­ка­жи­те, что \angle ACB боль­ше 60 гра­ду­сов .

 

(П. За­тиц­кий, Ф. Пет­ров)


Рас­крас­ка кле­ток таб­ли­цы 100 × 100 в чёрный и белый цвета на­зы­ва­ет­ся до­пу­сти­мой, если в каж­дой стро­ке и каж­дом столб­це от 50 до 60 чёрных кле­ток. Раз­ре­ша­ет­ся из­ме­нить цвет одной из кле­ток до­пу­сти­мой рас­крас­ки, если она остаётся до­пу­сти­мой. До­ка­жи­те, что та­ки­ми опе­ра­ци­я­ми можно по­лу­чить из любой до­пу­сти­мой рас­крас­ки любую дру­гую.

 

(О. Ива­но­ва)


Точки A и P лежат вне пря­мой l. Рас­смат­ри­ва­ют­ся все­воз­мож­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABC с ги­по­те­ну­зой, ле­жа­щей на l. До­ка­жи­те, что окруж­но­сти, опи­сан­ные около тре­уголь­ни­ков PBC, имеют общую точку, от­лич­ную от P.

 

(Ф. Ба­ха­рев)


В окруж­ность впи­са­на за­мкну­тая 100-звен­ная ло­ма­ная, ни­ка­кие три звена ко­то­рой не про­хо­дят через одну точку. Все ее углы тупые, и их сумма в гра­ду­сах де­лит­ся на 720. До­ка­жи­те, что у этой ло­ма­ной не­чет­ное число точек са­мо­пе­ре­се­че­ния.

 

(С. Ива­нов)


Мно­го­член P(x) с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми и на­ту­раль­ное число a > 1 та­ко­вы, что для лю­бо­го це­ло­го x найдётся целое z, для ко­то­ро­го aP левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = P левая круг­лая скоб­ка z пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­ди­те все такие пары (P(x); a).

 

(А. Го­ло­ва­нов)


В по­сле­до­ва­тель­но­сти целых чисел (an) сумма am + an де­лит­ся на m + n при любых раз­лич­ных m и n. До­ка­жи­те, что an крат­но n при любом n.

 

(О. Ива­но­ва)


Ладья, сто­я­щая на по­верх­но­сти клет­ча­то­го куба, бьёт клет­ки, на­хо­дя­щи­е­ся с той клет­кой, где она стоит, в одном ряду, а также на про­дол­же­ни­ях этого ряда через одно или даже не­сколь­ко ребёр. (На кар­тин­ке по­ка­зан при­мер для куба 4×4×4; ви­ди­мые клет­ки, ко­то­рые бьёт ладья, за­кра­ше­ны серым.) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство не бью­щих друг друга ладей можно рас­ста­вить на по­верх­но­сти куба 50 \times 50 \times 50?

 

(А. Чух­нов)


В тет­ра­эд­ре се­ре­ди­ны всех ребер лежат на одной сфере. До­ка­жи­те, что его вы­со­ты пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

 

(Д. Мак­си­мов)


По окруж­но­сти дви­жут­ся n > 4 точек, каж­дая  — с по­сто­ян­ной ско­ро­стью. Для любых че­ты­рех из них есть мо­мент вре­ме­ни, когда они все встре­ча­ют­ся. До­ка­жи­те, что есть мо­мент, когда все точки встре­ча­ют­ся.

 

(С. Ива­нов)


Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке D. От­ре­зок BD по­втор­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке E. Точки F и G на окруж­но­сти та­ко­вы, что FE \| BC и GE \| BA. До­ка­жи­те, что пря­мая, со­еди­ня­ю­щая цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей тре­уголь­ни­ков DEF и DEG, пер­пен­ди­ку­ляр­на бис­сек­три­се угла B.

 

(Ф. Ба­ха­рев)


В стра­не 50 го­ро­дов, каж­дые два го­ро­да со­еди­не­ны (дву­сто­рон­ни­ми) авиа­ли­ни­я­ми, цены всех пе­ре­ле­тов по­пар­но раз­лич­ны (для любой пары го­ро­дов цена пе­ре­ле­та «туда» равна цене «об­рат­но»). В каж­дом го­ро­де на­хо­дит­ся ту­рист. Каж­дый вечер все ту­ри­сты пе­ре­ез­жа­ют: бо­га­тые ту­ри­сты  — по самой до­ро­гой, бед­ные  — по самой де­ше­вой линии, ве­ду­щей из со­от­вет­ству­ю­ще­го го­ро­да. Через k дней ока­за­лось, что в каж­дом го­ро­де снова по од­но­му ту­ри­сту. За это время ни один ту­рист не по­се­тил ни­ка­кой город два­жды. При каком наи­боль­шем k такое воз­мож­но?

 

(К. Ко­хась)

Всего: 183    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80