сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 6 7 8 9

Всего: 981    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Во­круг тре­уголь­ни­ка ABC с углом ∠B = 60° опи­са­на окруж­ность. Ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, про­ведённые в точ­ках A и C, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке B1. На лучах AB и CB от­ме­ти­ли точки A0 и C0 со­от­вет­ствен­но так, что AA0 = AC = CC0. До­ка­жи­те, что точки A0, C0, B1 лежат на одной пря­мой.


Каж­дый ход шах­мат­но­го коня  — пе­ре­ме­ще­ние на одну клет­ку по го­ри­зон­та­ли и две по вер­ти­ка­ли, либо на­о­бо­рот  — одну по вер­ти­ка­ли и две по го­ри­зон­та­ли. (На ри­сун­ке спра­ва конь, от­ме­чен­ный бук­вой К, может за один ход пе­ре­ме­стить­ся в любую из за­темнённых кле­ток.)

В про­из­воль­ной клет­ке пря­мо­уголь­ной доски раз­ме­ром 2 × 2016 кле­ток стоит шах­мат­ный конь. Пе­ре­ме­ща­ясь по опи­сан­но­му пра­ви­лу (и не вы­хо­дя при этом за края доски), он может из этой клет­ки по­пасть в не­ко­то­рые дру­гие клет­ки доски, но не во все. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство кле­ток нужно до­ба­вить к доске, чтобы конь мог из любой клет­ки доски по­пасть во все осталь­ные? (До­бав­ле­ние клет­ки про­ис­хо­дит так, чтобы она имела общую сто­ро­ну с одной из уже име­ю­щих­ся. До­бав­лять можно любое ко­ли­че­ство кле­ток, по­лу­чив­ша­я­ся при этом доска не обя­за­тель­но долж­на иметь пря­мо­уголь­ную форму).


Функ­ция f (x), опре­делённая при всех дей­стви­тель­ных x, яв­ля­ет­ся чётной. Кроме того, при любом дей­стви­тель­ном x вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 10 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 4.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой функ­ции, от­лич­ной от кон­стан­ты.

б)  До­ка­жи­те, что любая такая функ­ция яв­ля­ет­ся пе­ри­о­ди­че­ской.


Петя хочет про­ве­рить зна­ния сво­е­го брата Коли  — по­бе­ди­те­ля олим­пи­а­ды ”Выс­шая проба” по ма­те­ма­ти­ке. Для этого Петя за­ду­мал три на­ту­раль­ных числа a, b, c, и вы­чис­лил x = НОД(a, b), y = НОД(b, c), z = НОД(c, a). Затем он на­пи­сал на доске три ряда по пять чисел в каж­дом:

6, 8, 12, 18, 24

 

14, 20, 28, 44, 56

 

5, 15, 18, 27, 42

 

Петя со­об­щил Коле, что одно из чисел в пер­вом ряду равно x, одно из чисел во вто­ром ряду равно y, одно из чисел в тре­тьем ряду равно z, и по­про­сил уга­дать числа x, y, z. По­ду­мав не­сколь­ко минут, Коля спра­вил­ся с за­да­чей, пра­виль­но на­звав все три числа. На­зо­ви­те их и вы. До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет един­ствен­ная такая трой­ка (x, y, z).


Таб­ли­ца n × n за­пол­ня­ет­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми от 1 до 10 так, чтобы ни в одной стро­ке и ни в одном столб­це не было двух оди­на­ко­вых чисел. Сов­па­де­ние чисел, сто­я­щих в раз­ных стро­ках и столб­цах, до­пус­ка­ет­ся. Пусть f (n)  — ко­ли­че­ство таких рас­ста­но­вок. На­при­мер f (1) = 10, f (11) = 0.

а)  Что боль­ше, f (9) или f (10)?

б)  Что боль­ше, f (5) или f (6)?


Рас­ста­ви­те в круж­ки на кар­тин­ке числа от 2 до 9 (без по­вто­ре­ний) так, чтобы ни­ка­кое число не де­ли­ло бы на­це­ло ни од­но­го из своих со­се­дей.


Пря­мо­уголь­ник раз­ре­зан на не­сколь­ко пря­мо­уголь­ни­ков, пе­ри­метр каж­до­го из ко­то­рых – число мет­ров, де­ля­ще­е­ся на 4. Верно ли, что пе­ри­метр ис­ход­но­го пря­мо­уголь­ни­ка де­лит­ся на 4 на­це­ло?


В семье ше­сте­ро детей. Пя­те­ро из них со­от­вет­ствен­но на 2, 6, 8, 12 и 14 лет стар­ше млад­ше­го, причём воз­раст каж­до­го ребѐнка  — про­стое число. Сколь­ко лет млад­ше­му?


На ост­ро­ве живёт нечётное число людей, причём каж­дый из них либо ры­царь, ко­то­рый все­гда го­во­рит прав­ду, либо лжец, ко­то­рый все­гда лжёт. Как-то раз все ры­ца­ри за­яви­ли: "Я дружу толь­ко с 1 лже­цом", а все лжецы: "Я не дружу с ры­ца­ря­ми". Кого на ост­ро­ве боль­ше, ры­ца­рей или лже­цов?


Есть 100 ко­ро­бок, про­ну­ме­ро­ван­ных чис­ла­ми от 1 до 100. В одной ко­роб­ке лежит приз, и ве­ду­щий знает, где он на­хо­дит­ся. Зри­тель может по­слать ве­ду­ще­му пачку за­пи­сок с во­про­са­ми, тре­бу­ю­щи­ми от­ве­та "да" или "нет". Ве­ду­щий пе­ре­ме­ши­ва­ет за­пис­ки в пачке и, не огла­шая вслух во­про­сов, чест­но от­ве­ча­ет на все. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство за­пи­сок нужно по­слать, чтобы на­вер­ня­ка узнать, где на­хо­дит­ся приз?


Рас­ста­вить в круж­ки на кар­тин­ке числа от 1 до 9 (без по­вто­ре­ний), чтобы со­сед­ние числа не имели бы общих де­ли­те­лей, от­лич­ных от еди­ни­цы.


В семье 4 че­ло­ве­ка. Если Маше удво­ят сти­пен­дию, общий доход всей семьи воз­рас­тет на 5%, если вме­сто этого маме удво­ят зар­пла­ту  — на 15%, если же зар­пла­ту удво­ят папе  — на 25%. На сколь­ко про­цен­тов воз­рас­тет доход всей семьи, если де­душ­ке удво­ят пен­сию?


Най­ди­те пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма, если бис­сек­три­са од­но­го из его углов делит сто­ро­ну па­рал­ле­ло­грам­ма на от­рез­ки 7 и 14.


Квад­рат раз­би­ли на 100 пря­мо­уголь­ни­ков де­вя­тью вер­ти­каль­ны­ми и де­вя­тью го­ри­зон­таль­ны­ми пря­мы­ми (па­рал­лель­ны­ми его сто­ро­нам). Среди этих пря­мо­уголь­ни­ков ока­за­лось ровно 9 квад­ра­тов. До­ка­жи­те, что среди них есть хотя бы два оди­на­ко­вых.


Есть 100 ко­ро­бок, про­ну­ме­ро­ван­ных чис­ла­ми от 1 до 100. В одной ко­роб­ке лежит приз, и ве­ду­щий знает, где он на­хо­дит­ся. Зри­тель может по­слать ве­ду­ще­му пачку за­пи­сок с во­про­са­ми, тре­бу­ю­щи­ми от­ве­та "да" или "нет". Ве­ду­щий пе­ре­ме­ши­ва­ет за­пис­ки в пачке и, не огла­шая вслух во­про­сов, чест­но от­ве­ча­ет на все. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство за­пи­сок нужно по­слать, чтобы на­вер­ня­ка узнать, где на­хо­дит­ся приз?


Из го­ря­че­го крана ванна за­пол­ня­ет­ся за 17 минут, а из хо­лод­но­го  — за 11 минут. Через сколь­ко минут после от­кры­тия го­ря­че­го крана нужно от­крыть хо­лод­ный, чтобы к мо­мен­ту на­пол­не­ния ванны го­ря­чей воды в ней было на треть боль­ше, чем хо­лод­ной?


Можно ли пред­ста­вить число 99...99 (всего 9 де­вя­ток) в виде суммы двух на­ту­раль­ных чисел, суммы цифр ко­то­рых оди­на­ко­вы?


Найти ми­ни­маль­ное на­ту­раль­ное число n такое, что в любом мно­же­стве из n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 1000, все­гда можно вы­брать два числа, боль­шее из ко­то­рых не де­лит­ся на­це­ло на мень­шее.


Через точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми тре­уголь­ни­ка про­ве­ли пря­мые, со­от­вет­ствен­но па­рал­лель­ные бис­сек­три­сам про­ти­во­по­лож­ных углов. До­ка­жи­те, что эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.


В каж­дой клет­ке таб­ли­цы 10 на 10 за­пи­сан минус. За одну опе­ра­цию раз­ре­ша­ет­ся од­но­вре­мен­но ме­нять на про­ти­во­по­лож­ные знаки во всех клет­ках не­ко­то­ро­го столб­ца и не­ко­то­рой стро­ки (плюс на минус и на­о­бо­рот). За какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство опе­ра­ций можно до­бить­ся того, что все знаки в таб­ли­це ста­нут плю­са­ми?

Всего: 981    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80