Всего: 19 1–19
Добавить в вариант
а) Найдите все целые k, при которых разрешимо уравнение
б) Найдите все целые решения уравнения 
в) Найдите все натуральные решения уравнения
а) Не следует пугаться присутствующих в условии обратных тригонометрических функций. Поскольку 
то после замены 
получим уравнение 
Полученное уравнение разрешимо, если число 
входит в множество значений функции 
Для его нахождения можно стандартным образом исследовать функцию при помощи производной, а можно воспользоваться оценками
(заметим, что эти неравенства обращаются в равенства, соответственно, при 
или 
и 
). Следовательно, множеством значений функции f является отрезок 
Значит, решение исходного уравнения существует тогда и только тогда, когда 
откуда и получаем ответ.
Ответ: 
б) Из равенства 
получаем, что 
откуда следует, что число 
должно быть полным квадратом, 
Аналогично, 
причем 
Ответ: 
в) Докажите вначале следующее утверждение.
Лемма. Если 
и 
то 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Сколько корней имеет уравнение 
Ввиду нечетности функций с обеих сторон уравнения, количество положительных корней равно количеству отрицательных и нулевое решение присутствует. Функция 
принимает наибольшее значение 
в точках 
прямая 
равномерно растет и достигает значения в точке 
Если
то получится 
положительных корней, а следовательно, 
всего корней. Можно было построить графики и вручную посчитать корни.
Ответ: 
Сколько корней имеет уравнение 
?
Функция 
принимает значения в промежутке 
причем максимум достигается в точках 
А функция 
равномерно возрастает, значения 
принимает на промежутке 
Когда
графики имеют 
общих точек.
Ответ: 
Существует ли такое значение x, что выполняется равенство 
Пусть 
тогда 
Наименьшее значение квадратичной функции
достигается при 
(тогда 
и равно
поэтому значения x, при котором выполнено равенство из условия задачи, не существует.
Ответ: нет.
Приведем другое решение.
Предположим, что при некотором x данное равенство выполнено. Тогда существует такое число α, что 
и
С другой стороны,
так как 
Противоречие.
Решите уравнение
Запишем уравнение в виде
Так как знаки значений функции 
совпадают со знаками ее аргумента, то с учетом ее возрастания на всей области определения заметим, что правая часть уравнения неотрицательна при 
и отрицательна при 
Знаки левой части совпадают со знаками дроби 
неотрицательной при
и отрицательной при
Учитывая, что 
имеем
Это равенство возможно лишь при тех значениях x, при которых совпадают знаки правой и левой частей (1), то есть при
Ответ:
Решите уравнение 
Область определения данного уравнения — отрезок 
Имеем 
но 
если 
и 
если 
Ответ: 
Известно, что единственным решением уравнения
Рассмотрим уравнение:
Пусть 
Теперь
и
Отсюда имеем 
Ответ: 2016.
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством
По области определения 
Так как 
то 
Ответ: 4.
Решите уравнение
Поскольку 
и
то исходное уравнение равносильно 
Ответ: 
Решите неравенство 
Функции в левой и правой частях неравенства четные, кроме того, на множестве 
они периодичные с периодом 2π. Поэтому достаточно решить неравенство на промежутке 
Имеем:
а) 
б) 
в) 
г) 
Если же 
то 
arccos 
поэтому на этом интервале данное неравенство решений не имеет. Четно-периодично продолжая полученные решения на всю числовую ось, получаем
Ответ: 
при 
при При всех значениях 
решите неравенство
При 
решений нет, так как функция справ а отрицательна, а слева неотрицательна. При 
имеем
поэтому исходное неравенство равносильно 
Откуда 
и при 
есть одно решение 
Ответ: при 
решений нет, при есть одно решение
решений нет, при есть одно решение Решите уравнение
Из условия на область определения арксинуса вытекает, что
Вычисляя синус от обеих частей уравнения и учитывая, что 
и, следовательно, 
и 
получаем
Перенося все в левую часть уравнения, упрощая и вынося общим множитель за скобки, имеем
Из данного уравнения следует, что или 
(который, очевидно, подходит), или x является корнем уравнения
Из условия (*) следует, что все подкоренные выражения положительны. Поскольку обе части уравнения положительны, то их можно возвести в квадрат
Перенося всё кроме корня в правую часть уравнения, имеем
Возводя ещё раз обе части уравнения в квадрат, получаем
Таким образом, уравнение имеет ещё два возможных корня 
Проверка. Проверяем, что левая часть уравнения при данных значениях аргумента лежит в промежутке 
Для этого вычисляем косинус левой части
Поскольку значения косинуса положительно, а левая часть лежит в промежутке 
то она лежит в промежутке Значит, все найденные числа являются решением задания.
Ответ: 
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Решите уравнение
Из условия на область определения арксинуса вытекает, что
Вычисляя синус от обеих частей уравнения и учитывая, что 
и, следовательно, 
и 
получаем
Перенося все в левую часть уравнения, упрощая и вынося общим множитель за скобки, имеем
Из данного уравнения следует, что одно решение уравнения есть 
а остальные являются корнями уравнения
Из условия на область определения арксинуса следует, что все подкоренные выражения положительны. Поскольку обе части уравнения положительны, то их можно возвести в квадрат
Перенося все кроме корня в правую часть уравнения, имеем
Возводя обе части уравнения в квадрат еще раз, получаем
Таким образом, исходное уравнение имеет еще два корня 
Проверка. Проверяем, что левая часть уравнения при данных значениях аргумента лежит в промежутке 
Для этого вычисляем косинус левой части
Поскольку значение косинуса положительно, то все найденные числа являются решением задания.
Ответ: 
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Решите уравнение 
Возьмем косинус от обеих частей и воспользуемся формулой
В результате получим
Корни этого уравнения x1 = −1; 
Проверка для x = −1 и для 
показывает, что 
и 
принимают значения в разных четвертях, т. е. эти корни посторонние. Корень же 
— истинный, т. к. 
и 
лежат в промежутке 
(поскольку 
где косинус изменяется монотонно.
Ответ: 
Решите неравенство:
В ответ запишите сумму всех целых значений x, удовлетворяющих этому неравенству.
Имеем: 
Рассмотрим 2 случая.
1. Если
Целыми решениями являются 1 и 2.
2. Если
Целыми решениями являются — 1 и 1.
Объединяя решения 1 и 2 случаев, получаем x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2. Их сумма равна 2.
Ответ: 2.
Решите уравнение 
По определению равенство 
эквивалентно соотношениям 
поэтому получаем
Ответ: 
| Неверное определение обратной тригонометрической функции или отсутствие отбора корней | 0 баллов за задачу |
| За каждый неверно найденный корень или за каждый недостающий корень | Снять 1 балл |
Если решение проводится взятием одной тригонометрической функции от обеих частей уравнения и в результате взятия синуса (косинуса) обеих частей уравнения получено уравнение-следствие вида  | Баллы не добавляются |
Решите уравнение 
По определению равенство 
эквивалентно соотношениям 
поэтому получаем
Ответ: 
| Неверное определение обратной тригонометрической функции или отсутствие отбора корней | 0 баллов за задачу |
| За каждый неверно найденный корень или за каждый недостающий корень | Снять 1 балл |
| Если решение проводится взятием одной тригонометрической функции от обеих частей уравнения и в результате взятия синуса (косинуса) обеих частей уравнения получено уравнение-следствие вида | Баллы не добавляются |
Решите уравнение 
По определению равенство 
эквивалентно соотношениям 
поэтому получаем
Ответ: 
| Неверное определение обратной тригонометрической функции или отсутствие отбора корней | 0 баллов за задачу |
| За каждый неверно найденный корень или за каждый недостающий корень | Снять 1 балл |
| Если решение проводится взятием одной тригонометрической функции от обеих частей уравнения и в результате взятия синуса (косинуса) обеих частей уравнения получено уравнение-следствие вида | Баллы не добавляются |
Решите уравнение 
По определению равенство эквивалентно соотношениям поэтому получаем
Ответ: 
| Неверное определение обратной тригонометрической функции или отсутствие отбора корней | 0 баллов за задачу |
| За каждый неверно найденный корень или за каждый недостающий корень | Снять 1 балл |
| Если решение проводится взятием одной тригонометрической функции от обеих частей уравнения и в результате взятия синуса (косинуса) обеих частей уравнения получено уравнение-следствие вида | Баллы не добавляются |
Наверх