Всего: 15 1–15
Добавить в вариант
Решите уравнение или докажите, что у него нет решений:
Преобразуем исходное выражение:
следовательно, равенство невозможно.
Ответ: решений нет.
Решите уравнение или докажите, что у него нет решений:
Преобразуем исходное выражение:
следовательно, равенство невозможно.
Решите уравнение
Данное уравнение при условии 
равносильно каждому из следующих:
Решая последнее уравнение как квадратное относительно 
получаем что 
или 
Первый случай не удовлетворяет ОДЗ (так как если 
то 
Из второго уравнения находим, что 
где 
Ответ: 
Получено уравнению относительно 
— 2 балла.
За каждый случай раскрытия модуля — 2 балла.
Не сделан (неверно сделан отбор), возникающий за счёт разбора случаев при раскрытии модуля — снять 2 балла.
Не учтено ОДЗ (нули знаменателя) — снять 1 балл.
Решите уравнение
Данное уравнение при условии равносильно каждому из следующих:
Решая последнее уравнение как квадратное относительно 
получаем что 
или 
Первый случай не удовлетворяет ОДЗ (так как если 
то 
Из второго уравнения находим, что 
где
Ответ: 
Получено уравнению относительно — 2 балла.
За каждый случай раскрытия модуля — 2 балла.
Не сделан (неверно сделан отбор), возникающий за счёт разбора случаев при раскрытии модуля — снять 2 балла.
Не учтено ОДЗ (нули знаменателя) — снять 1 балл.
Решите уравнение
На ОДЗ данное уравнение равносильно каждому из следующих:
Рассмотрим два случая.
a) Когда 
(т. е. угол x лежит в первой или третьей четверти). Тогда получаем
откуда либо 
(что невозможно, так как знаменатель в левой части исходного уравнения обращается в ноль), либо
Следовательно, 
Уравнение 
не имеет решений, так как правая часть больше единицы, а из уравнения 
учитывая ограничение, получаем
б) Когда 
(т. е. угол x лежит во второй или четвёртой четверти). Тогда получаем
откуда 
Следовательно, 
Уравнение 
не имеет решений, так как правая часть меньше минус единицы, а из уравнения 
учитывая ограничение, получаем
Ответ: 
Уравнение приведено к виду 
(вариант 1), 
(вариант 2) — 1 балл.
В каждом из двух случаев раскрытия модуля получено уравнение относительно — 2 балла (по 1 баллу за случай).
Решено одно из этих уравнений (или оба) — 1 балл.
Сделан отбор, возникающий за счёт знака модуля — 2 балла (по 1 баллу за случай).
В вариантах не отброшена серия 
—
Неэквивалентное преобразование с модулем (например, 
— не более 2 баллов за задачу.
Решите уравнение
На ОДЗ данное уравнение равносильно каждому из следующих:
Рассмотрим два случая.
а) Когда (т. е. угол x лежит в первой или третьей четверти). Тогда получаем
откуда либо 
(что невозможно, так как знаменатель в левой части исходного уравнения обращается в ноль), либо
Следовательно, 
Уравнение 
не имеет решений, так как правая часть больше единицы, а из уравнения 
учитывая ограничение, получаем
б) Когда 
(т. е. угол x лежит во второй или четвёртой четверти). Тогда получаем
откуда
Следовательно, 
Уравнение 
не имеет решений, так как правая часть меньше минус единицы, а из уравнения 
учитывая ограничение, получаем
Ответ: 
Уравнение приведено к виду, —
В каждом из двух случаев раскрытия модуля получено уравнение относительно — 2 балла (по 1 баллу за случай).
Решено одно из этих уравнений (или оба) — 1 балл.
Сделан отбор, возникающий за счёт знака модуля — 2 балла (по 1 баллу за случай).
В вариантах не отброшена серия —
Неэквивалентное преобразование с модулем (например, — не более 2 баллов за задачу.
Решите уравнение
Возможны два случая.
а) Когда 
Тогда
где 
Учитывая условие, получаем 
б) Когда 
Тогда
где Косинус отрицателен при 
и при 
Ответ: 
Разобран только один из двух случаев раскрытия модуля — 2 балла.
Разобраны оба случая раскрытия модуля — 5 баллов.
Не сделан (неверно сделан) отбор корней — (−1) балл за каждый случай.
Решите уравнение
Возможны два случая.
a) Когда 
Тогда
Учитывая условие, получаем 
б) Когда 
Тогда
Синус отрицателен при 
и при 
Ответ: 
Разобран только один из двух случаев раскрытия модуля — 2 балла.
Разобраны оба случая раскрытия модуля — 5 баллов.
Не сделан (неверно сделан) отбор корней — (−1) балл за каждый случай.
Решите уравнение
Преобразуем правую часть уравнения:
Обозначим 
Тогда уравнение принимает вид
Возможны три случая.
a) При 
является корнем уравнения.
б) При 
Получаем
Корень 
не подходит, так как 
корень 
не подходит, так как не удовлетворяет условию 
в) При 
Получаем
Подходит 
Итого: 
тогда
Ответ: 
Получено алгебраическое уравнение относительно 
—
Решено алгебраическое уравнение относительно —
При этом не сделан (неверно сделан) отбор корней — 1 балл вместо 3 баллов.
При этом потерян случай обращения в ноль подмодульного выражение — 1 балл вместо 3 баллов.
Решены элементарные тригонометрические уравнения — 1 балл.
Решите уравнение
Преобразуем правую часть уравнения:
Обозначим Тогда уравнение принимает вид
Возможны три случая.
a) При 
является корнем уравнения.
б) При 
Получаем
Подходит 
в) При 
Получаем
Корень 
не подходит, так как 
корень 
не подходит, так как не удовлетворяет условию Итого: тогда
Ответ: 
Получено алгебраическое уравнение относительно —
Решено алгебраическое уравнение относительно —
При этом не сделан (неверно сделан) отбор корней — 1 балл вместо 3 баллов.
При этом потерян случай обращения в ноль подмодульного выражение — 1 балл вместо 3 баллов.
Решены элементарные тригонометрические уравнения — 1 балл.
Найдите все решения неравенства:
Область определена входящих в неравенство функций: 
При этих значениях x, во-первых, модули раскрываются однозначно, во-вторых, входящие в неравенство косинусы — монотонно возрастающие функции, так как их аргументы находятся в интервале 
Кроме того, 
монотонно убывает. Поэтому исходное неравенство на области определения равносильно:
Ответ: 
Верное решение и верный ответ — 15 баллов.
Идейно верное решение, но ответ отличается от правильного на одну точку — 10 баллов.
Найдите наибольший корень уравнения
Очевидно, что 1 — корень уравнения (при 
обе части уравнения равны нулю). Если же 
правая часть уравнения отрицательна, в то время как левая часть уравнения всегда неотрицательна.
Ответ: 1.
Найдите наименьший корень уравнения 
Очевидно, что 0 — корень уравнения (при 
обе части уравнения равны нулю). Если же 
правая часть уравнения отрицательна, в то время как левая часть уравнения всегда неотрицательна.
Ответ: 0.
Найти вероятность того, что случайно взятое на отрезке [0; 5] число x является решением уравнения
При решение исходного уравнения, возможны два случая.
Первый случай. При 
Уравнение принимает вид:
то есть любое 
является решением уравнения, следовательно, 
Второй случай. При 
Уравнение принимает вид:
или 
Тогда 
и, следовательно, 
Ответ:
Решить неравенство: 
После преобразований получаем
Далее решаем уравнение
Вce решения удовлетворяют условию 
и могут быть объединены в одну серию
Ответ: 
Наверх