Всего: 39 1–20 | 21–39
Добавить в вариант
Решить неравенство 
Вычислим:
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 7 баллов. Все действия, связанные с раскрытием модуля и решением неравенств, выполнены верно, но из-за вычислительной ошибки получен неверный ответ — 4 балла. Получен верный ответ без обоснования или с неверным обоснованием — 0 баллов.
Решите неравенство
Неравенство можно переписать в виде
или 
Чтобы разложить левую часть на множители, отметим, что она представляет собой квадратный трёхчлен относительно 
с дискриминантом, равным 
Значит, корни 
равны 
то есть 
и 
а неравенство принимает вид
В последнем неравенстве требуется сравнить произведение двух чисел с нулём, поэтому при замене каждого из множителя выражением того же знака мы получим равносильное неравенство. Достаточно отметить, что для неотрицательных чисел A и B знак разности 
совпадает со знаком разности квадратов
Отсюда получаем
Ответ: 
[3 балла] При решении рассмотрением двух случаев: по 3 балла за каждый случай.
При другом способе решения: левая часть неравенства разложена множители — 3 балла.
Решите неравенство
Неравенство можно переписать в виде
или 
Чтобы разложить левую часть на множители, отметим, что она представляет собой квадратный трёхчлен относительно 
с дискриминантом, равным
Значит, корни равны 
то есть и 
а неравенство принимает вид
В последнем неравенстве требуется сравнить произведение двух чисел с нулём, поэтому при замене каждого из множителя выражением того же знака мы получим равносильное неравенство. Достаточно отметить, что для неотрицательных чисел A и B знак разности совпадает со знаком разности квадратов
Отсюда получаем
Ответ: 
[3 балла] При решении рассмотрением двух случаев: по 3 балла за каждый случай.
При другом способе решения: левая часть неравенства разложена множители — 3 балла.
Решите неравенство
Неравенство можно переписать в виде
или 
Чтобы разложить левую часть на множители, отметим, что она представляет собой квадратный трёхчлен относительно с дискриминантом, равным Значит, корни 
равны то есть и а неравенство принимает вид
В последнем неравенстве требуется сравнить произведение двух чисел с нулём, поэтому при замене каждого из множителя выражением того же знака мы получим равносильное неравенство. Достаточно отметить, что для неотрицательных чисел A и B знак разности совпадает со знаком разности квадратов
Отсюда получаем
Ответ: 
При решении рассмотрением двух случаев — по 3 балла за каждый случай.
При другом способе решения: левая часть неравенства разложена на множители — 3 балла.
Решите неравенство
Неравенство можно переписать в виде
или 
Чтобы разложить левую часть на множители, отметим, что она представляет собой квадратный трёхчлен относительно 
с дискриминантом, равным
Значит, корни равны 
то есть 
и а неравенство принимает вид
В последнем неравенстве требуется сравнить произведение двух чисел с нулём, поэтому при замене каждого из множителя выражением того же знака мы получим равносильное неравенство. Достаточно отметить, что для неотрицательных чисел A и B знак разности совпадает со знаком разности квадратов
Отсюда получаем
Ответ: 
При решении рассмотрением двух случаев — по 3 балла за каждый случай.
При другом способе решения: левая часть неравенства разложена на множители — 3 балла.
Решите неравенство 
Данное неравенство равносильно следующей совокупности:
Ответ: 
Неравенство 
сведено к совокупности неравенств без модуля 
— 3 балла.
Решено неравенство со свободным членом, равным 0 — 1 балл.
Решено неравенство со свободным членом, отличным от нуля — 2 балла.
Если решение неравенства происходит по схеме
и при этом условия 
и 
не учтены, то не более 2 баллов за задачу.
Решите неравенство 
Данное неравенство равносильно следующей совокупности:
Ответ: 
Неравенство сведено к совокупности неравенств без модуля — 3 балла.
Решено неравенство со свободным членом, равным 0 — 1 балл.
Решено неравенство со свободным членом, отличным от нуля — 2 балла.
Если решение неравенства происходит по схеме
и при этом условия и не учтены, то не более 2 баллов за задачу.
Решите неравенство
Данное неравенство равносильно неравенству
Обозначим здесь 
и 
(заметим, что 
так как v — квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом). Тогда неравенство принимает вид
Раскладывая левую часть на множители (например, рассмотрев как квадратичную функцию относительно u и найдя корни), получаем 
Первый множитель положителен, поэтому 
Возвращаемся к переменной x:
Второй множитель положителен, поэтому остаётся 
откуда 
Ответ: 
Левая часть неравенства разложена на два множителя — 3 6алла.
Задача сведена к квадратному неравенству с модулем — 1 балл.
Решено это неравенство — 3 балла.
Найдите все решения уравнения: 
1) Пусть 
тогда 
получаем 
2) Пусть 
тогда 
получаем 
но так как то 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите все решения уравнения: 
1) Пусть 
тогда 
получаем 
2) Пусть тогда 
получаем 
но так как то
Ответ: 
| Критерии оценивания | Баллы |
|---|---|
| Полное обоснованное решение | 7 |
| Обоснованное решение с несущественными недочетами | 6 |
| Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений | 5−6 |
| Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев | 4 |
| Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи | 2−3 |
| Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении | 1 |
| Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев перечисленных выше | 0 |
Решите неравенство
Данное неравенство равносильно неравенству
Обозначим здесь 
(заметим, что 
так как v — квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом). Тогда неравенство принимает вид 
Раскладывая левую часть на множители (например, рассмотрев как квадратичную функцию относительно u и найдя корни), получаем 
Первый множитель положителен, поэтому 
Возвращаемся к переменной x:
Второй множитель положителен, поэтому остаётся 
откуда 
или 
Ответ: 
Левая часть неравенства разложена на два множителя — 3 6алла.
Задача сведена к квадратному неравенству с модулем — 1 балл.
Решено это неравенство — 3 балла.
Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих уравнению
и найдите площадь полученной фигуры.
Заметим, что равенство 
выполняется тогда и только тогда, когда числа a и b неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств
Первое неравенство задаёт круг радиуса 5 с центром (3; 0), а вся система — часть этого круга, лежащую в 
Поскольку центральный угол этого сегмента равен 
получаем, что его площадь S равна
Ответ: 
Построено множество точек — 4 балла.
Найдена его площадь — 2 балла.
Решите неравенство 
Заметим, что выражение под модулем неотрицательно на ОДЗ (это квадратный трёхчлен относительно 
и 
Значит, модуль можно опустить. Перепишем неравенство в виде
Обозначая 
получаем 
откуда 
Если 
то
Если 
то
Значит, 
Ответ: 
Обоснованно раскрыт модуль — 1 балл.
При решении с помощью замены:
а) сделана замена 
и неравенство приведено к неравенству относительно t — 1 балл;
б) решено квадратное неравенство относительно t — 1 балл;
в) за каждый из двух рассмотренных промежутков для t — по 1 баллу.
При другом способе решения:
а) неравенство приведено к виду 
— 2 балла;
б) в ответ включены отрицательные значения x — не более 3 баллов за задачу.
Решите неравенство 
Заметим, что выражение под модулем неотрицательно на ОДЗ (это квадратный трёхчлен относительно и Значит, модуль можно опустить. Перепишем неравенство в виде
Обозначая 
получаем 
откуда 
Если
то 
Если 
то
Значит, 
Ответ: 
Обоснованно раскрыт модуль — 1 балл.
При решении с помощью замены:
а) сделана замена и неравенство приведено к неравенству относительно t — 1 балл;
б) решено квадратное неравенство относительно t — 1 балл;
в) за каждый из двух рассмотренных промежутков для t — по 1 баллу.
При другом способе решения:
а) неравенство приведено к виду — 2 балла;
б) в ответ включены отрицательные значения x — не более 3 баллов за задачу.
Решите неравенство
Заметим, что выражение под модулем неотрицательно на ОДЗ (это квадратный трёхчлен относительно и Значит, модуль можно опустить. Перепишем неравенство в виде
Обозначая получаем откуда Если то
Если то
Значит,
Ответ: 
Обоснованно раскрыт модуль —1 балл.
При решении с помощью замены:
а) сделана замена 
и неравенство приведено к неравенству относительно t — 1 балл.
б) решено квадратное неравенство относительно t — 1 балл.
в) за каждый из двух рассмотренных промежутков для t — по 1 баллу.
При другом способе решения:
а) неравенство приведено к виду 
— 2 балла.
Решите неравенство
Заметим, что выражение под модулем неотрицательно на ОДЗ (это квадратный трёхчлен относительно и Значит, модуль можно опустить. Перепишем неравенство в виде
Обозначая получаем откуда 
Если то
Если то
Значит,
Ответ: 
Обоснованно раскрыт модуль —1 балл.
При решении с помощью замены:
а) сделана замена и неравенство приведено к неравенству относительно t — 1 балл;
б) решено квадратное неравенство относительно t — 1 балл;
в) за каждый из двух рассмотренных промежутков для t — по 1 баллу.
При другом способе решения:
а) неравенство приведено к виду — 2 балла.
Решить неравенство 
Варианты ответов:
| а | б | в | г | д |
| (−4,5; 4,5) | [3; 3] | [−3; 4,5] | [−4,5; 4,5] | [−4,5; 3] |
Точки −3 и 3 (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.
1) При 
выполняется
и неравенство имеет вид 
то есть 
В этом случае ответ [3; 4,5].
2) При 
выполняется
неравенство имеет вид 
то есть 
Это неравенство верно при любых значениях переменной x, и, с учетом того, что мы решаем его на множестве 
получаем ответ во втором случае [−3; 3].
3) При 
выполняется
неравенство преобразуется к 
и решение в этом случае [−4,5; −3]. Общее решение неравенства — объединение трех полученных ответов.
Ответ: [−4,5; 4,5].
Найдите все решения уравнения
Это уравнение приводится к виду
Каждое слагаемое слева неотрицательно, поэтому сумма будет нулем только для нулевых слагаемых: 
Откуда получаем ответ.
Ответ: 
Решить неравенство 
Раскроем данное неравенство по правилу 
то есть
Получим двойное неравенство. Решим каждое неравенство отдельно. Первое неравенство
Решение неравенств следует начинать с нахождения ОД3. Находим ОД3:
Далее переносим все выражения из правой части в левую и приводим к общему знаменателю:
Умножим обе части неравенства на −1, знак неравенства изменится на противоположный:
Решим данное неравенство по методу интервалов: если исключены сомножители в четной степени, то левая часть неравенства меняет знак при переходе переменной x через корни по правилу «змейки» (см. верхний рис.). С учетом ОД3 получим
Второе неравенство
Найдем ОД3: 
Решаем аналогично:
В соответствии с методом интервалов нарисуем график (см. нижний рис.). С учетом ОДЗ получим
Поскольку оба неравенства должны выполняться одновременно, учтем только общие промежутки.
Ответ: 
Решите неравенство:
В ответ запишите сумме его целочисленных решений, удовлетворяющих условию |x| < 120.
Обозначим через a и b соответственно первое и второе слагаемые в левой части неравенства. Тогда 
и
при 
откуда 
Неравенство
выполнено только при 
Остаётся решить уравнение
Если 
или 
то выражение в левой части равно 
Если 
или 
то оно равно 
При всех
уравнение обращается в верное равенство. Итак, с учётом условия 
получаем решение исходного неравенства:
Целочисленными решениями являются 2 и 4, они оба удовлетворяют условию 
их сумма равна 6.
Ответ: 6 (решение неравенства: 
Наверх