Всего: 143 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Решить уравнение 
Переписав уравнение в следующем виде
и перемножив первую скобку с четвертой, вторую с третьей, получим
Сделав замену 
получим квадратное уравнение
решая которое, находим корни 
Уравнение
корней не имеет. Решая второе уравнение
находим корни 
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 8 баллов. Исходное уравнение верно сведено к квадратному уравнению, возможно, отличному от приведенного в решении, при решении которого получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 4 балла.
Для любой пары чисел определена некоторая операция «*», удовлетворяющая следующим свойствам: 
и 
где операция «⋅» — операция умножения. Найдите корень x уравнения: 
Учитывая условие задачи, имеем 
Тогда
1) 
2) 
Следовательно, 
Ответ: 4036.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Для любой пары чисел определена некоторая операция «*», удовлетворяющая следующим свойствам: и 
где операция «⋅» — операция умножения. Найдите корень xуравнения: 
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 662.
Ответ: 6057.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите уравнение 
Пусть 
тогда исходное уравнение перепишется в виде 
Следовательно, 
или 
Покажем, что других корней нет:
1) если предположить, что 
то 
и 
2) если предположить, что 
то 
и 
И в 1) и 2) случаях уравнение не станет тождеством. Если 
то 
если 
то 
или 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите все значения переменной x, при каждом из которых оба выражения 
и 
определены, причем 
Обе функции определены при
Заметим, что следующие два утверждения равносильны: «меньшее из двух чисел больше A» и «оба числа больше A». Поэтому данное неравенство равносильно системе неравенств
Поскольку функции 
и 
неотрицательны на области определения, оба неравенства системы выполняются 
а с учётом ОДЗ — при 
Если 
то у обоих неравенств левые и правые части неотрицательны, и их возведение в квадрат является равносильным преобразованием. Получаем
Учитывая рассматриваемый промежуток 
получаем 
Объединяя результаты, окончательно находим, что 
Ответ: 
Выполнен переход от неравенства с минимумом к системе двух неравенств 2 балла.
Решено иррациональное неравенство — 2 балла.
Решено неравенство с модулем — 1 балл.
Получен окончательный ответ (пересечены множества решений двух неравенств) — 1 балл.
Не учтена область определения квадратного корня — не более 4 баллов за задачу: снимается 1 балл за решение иррационального неравенства и 1 балл за пересечение множеств.
При решении иррационального неравенства обе его части возведены в квадрат без учёта знака правой части — не более 3 баллов за задачу: не ставятся баллы за решение иррационального неравенства и за пересечение множеств.
При другом способе решения.
Исследовано, при каких значениях x какая из функций больше 1 балл.
Решено иррациональное неравенство — 2 балла.
Решено неравенство с модулем — 1 балл.
Получен окончательный ответ — 2 балла.
Не учтена область определения квадратного корня — не более 3 баллов за задачу: снимается 1 балл за решение иррационального неравенства и 2 балла за пересечение множеств.
При решении иррационального неравенства обе его части возведены в квадрат без учёта знака правой части — не более 2 баллов за задачу: не ставятся баллы за решение иррационального неравенства и за пересечение множеств.
Найдите все значения переменной x, при каждом из которых оба выражения 
и 
определены, причем 
Обе функции определены при
Заметим, что следующие два утверждения равносильны: «меньшее из двух чисел больше A» и «оба числа больше A». Поэтому данное неравенство равносильно системе неравенств
Поскольку функции и неотрицательны на области определения, оба неравенства системы выполняются 
а с учётом ОДЗ — при 
Если 
то у обоих неравенств левые и правые части неотрицательны, и их возведение в квадрат является равносильным преобразованием. Получаем
Учитывая рассматриваемый промежуток 
получаем 
Объединяя результаты, окончательно находим, что 
Ответ: 
Выполнен переход от неравенства с минимумом к системе двух неравенств 2 балла.
Решено иррациональное неравенство — 2 балла.
Решено неравенство с модулем — 1 балл.
Получен окончательный ответ (пересечены множества решений двух неравенств) — 1 балл.
Не учтена область определения квадратного корня — не более 4 баллов за задачу: снимается 1 балл за решение иррационального неравенства и 1 балл за пересечение множеств.
При решении иррационального неравенства обе его части возведены в квадрат без учёта знака правой части — не более 3 баллов за задачу: не ставятся баллы за решение иррационального неравенства и за пересечение множеств.
При другом способе решения.
Исследовано, при каких значениях x какая из функций больше 1 балл.
Решено иррациональное неравенство — 2 балла.
Решено неравенство с модулем — 1 балл.
Получен окончательный ответ — 2 балла.
Не учтена область определения квадратного корня — не более 3 баллов за задачу: снимается 1 балл за решение иррационального неравенства и 2 балла за пересечение множеств.
При решении иррационального неравенства обе его части возведены в квадрат без учёта знака правой части — не более 2 баллов за задачу: не ставятся баллы за решение иррационального неравенства и за пересечение множеств.
Решите неравенства:
а) 
б) 
в) Докажите, что уравнение 
имеет решения при любых целых k.
а) Сделав замену
получим неравенство 
которое можно решить стандартным методом, однако с некоторой целью построим график функции, заданной формулой 
(см. рисунок). Ясно, что неравенство 
выполняется при 
значит, 
Ответ: 
б) Замена 
приводит к неравенству 
или 
где 
(см. пункт а)). Из графика функции f (см. рисунок) получаем, что 
или 
или 
откуда и следует ответ.
Ответ: 
в) Аналогично предыдущим пунктам, сделав замену 
получим уравнение 
или 
Множеством значений 
при 
является объединение лучей 
(см. рис.), которое содержит все целые числа.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) Замена приводит к неравенству или где (см. пункт а)). Из графика функции f (см. рисунок) получаем, что или или откуда и следует ответ.
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Внутри угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 от нее расположена точка M. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны этого угла.
г) Сколько сторон имеет сечение куба 
плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
а) После стандартных преобразований получим неравенство
Ответ: 
б) При 
получаем уравнение 
т. е. 
При 
имеем 
т. е. 
Вообще, 
есть решение только при 
Поэтому в дальнейшем будем считать, что 
После 
откуда 
Случай уже исследован, так что 
Из условий 
получаем, что 
Таким образом, 
при 
Ответ: 
при 
при 
при 
при
в) Имеем: 
так что 
Ответ: 
г) Если расположить начало системы координат в вершине C куба, а ее оси направить по его ребрам, то из условий на точки K, L, M следует, что их координаты равны 
Для определения коэффициентов уравнения 
плоскости 
получаем систему
откуда 
и 
Найдем координаты точки P пересечения прямой 
и плоскости KLM: 
так 
Ответ: Пять сторон.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при при при при Пять сторон.а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) На сторонах угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
а) Решите неравенство
Ясно что 
и 
не подходят в неравенство. При прочих x можно домножить неравенство на 
и получить
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
У второго множителя левой части есть корень 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Дискриминант последнего множителя равен 
поэтому он всегда положителен. Сократив его, получим 
откуда 
или 
Окончательно, учитывая условия 
и 
получаем 
Ответ: 
б) Решите уравнение
Обозначим 
Тогда 
и уравнение примет вид
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, получим
При подходит любое 
При прочих a можно сократить на 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
поэтому такой корень подходит.
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, отсюда
Можно сократить на 
тогда 
При 
это невозможно (правая часть неположительная, а левая положительна). При 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
при условии 
то есть 
Итак, такой корень подходит при 
при прочих отрицательных a нет корней.
Наконец при уравнение сводится к 
то есть
Теперь можно записать ответ, дорешав уравнения 
в случаях 
Во всех случаях 
при нет корней; при 
и 
при 
при 
нет корней; при 
при 
и 
при 
Ответ: 
при 
при 
при 
при 
в) На сторонах угла величиной с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
Обозначим 
тогда
Тогда по теореме синусов для треугольника KAL получаем 
откуда 
Аналогично по теореме синусов для треугольника MKL получаем 
Тогда по теореме Пифагора получаем
Ответ: 
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки и которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях и (считая от вершины, указанной первой)?
Обозначим ребро куба за 
тогда 
и 
Отметим кроме того точку 
для которой 
Тогда 
и 
- параллелограмм (его стороны 
и AK равны и параллельны), поэтому 
и 
Далее, 
и 
поэтому 
—
и 
Из этого получаем, что 
и 
поэтому точки K, L, M, D лежат в одной плоскости (и образуют там вершины параллелограмма). Этот параллелограмм и будет сечением куба, поэтому сечение имеет 4 стороны.
(не сошлось с ответом!)
Ответ: Пять сторон.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при при при при Пять сторон.Найдите значение выражения 
где a и b — соответственно наибольший и наименьший корни уравнения 
Данное уравнение равносильно следующему
откуда или 
Наибольший корень — это 
наименьший — 
Тогда
Ответ: 34.
Уравнение приведено к виду 
— 1 балл.
Найдены все корни уравнения и других продвижений нет — 2 балла за всю задачу.
При решении использована теорема Виета для уравнения 
и не доказано, что его корни являются наибольшим и наименьшим корнями исходного уравнения — снять 1 балл.
Найдите значение выражения 
где p и q — соответственно наибольший и наименьший корни уравнения 
Данное уравнение равносильно следующему
откуда 
или 
Наибольший корень — это 
наименьший — 
Тогда
Ответ: 23.
Уравнение приведено к виду — 1 балл.
Найдены все корни уравнения и других продвижений нет — 2 балла за всю задачу.
При решении использована теорема Виета для уравнения и не доказано, что его корни являются наибольшим и наименьшим корнями исходного уравнения — снять 1 балл.
Решите систему
Преобразуем уравнение системы:
В каждом из четырёх случаев выражаем у и подставляем в неравенство. Если 
то
Тогда 
Остальные случаи разбираются аналогично. В итоге получаем 4 решения:
Ответ: 
Уравнение системы разложено на 4 линейных множителя.
Найдено решение (для каждого из четырех случаев) — 4 балла.
Если далее при поиске решений неравенство заменяется уравнением, то добавляется не более 1 балла за все случаи.
Уравнение системы разложено на два квадратичных множителя и других продвижений нет — 2 балла за задачу.
Неравенство системы заменено уравнением и при этом второе уравнение не разложено на множители — не более 1 балла за задачу.
Решите систему
Преобразуем уравнение системы:
В каждом из четырёх случаев выражаем y и подставляем в неравенство. Если 
то
Toгда 
Остальные случаи разбираются аналогично. В итоге получаем 4 решения:
Ответ: 
Уравнение системы разложено на 4 линейных множителя.
Найдено решение (для каждого из четырех случаев) — 4 балла.
Если далее при поиске решений неравенство заменяется уравнением, то добавляется не более 1 балла за все случаи.
Уравнение системы разложено на два квадратичных множителя и других продвижений нет — 2 балла за задачу.
Неравенство системы заменено уравнением и при этом второе уравнение не разложено на множители — не более 1 балла за задачу.
Решите уравнение: 
Решим исходное выражение:
Ответ: 
Найдите все пары целых чисел (x; y), являющиеся решениями уравнения
В ответе укажите сумму найденных значений x.
Домножив обе части уравнения на 7, получим
Перепишем это уравнение в виде
Если x и y целые, то числа 
и 
тоже целые и делятся на 7 с остатком 
Всевозможные разложения числа 64 в произведение двух целых множителей выглядят так:
Из имеющихся среди этих множителей чисел на 7 с остатком 1 делятся 1, 8 и 64. Поэтому возможны варианты
Таким образом, сумма возможных значений x равна 
Ответ: 4.
Решите уравнение: 
Найдите все пары целых чисел (x; y), являющиеся решениями уравнения
В ответе укажите сумму найденных значений x.
Решите систему
Преобразуем уравнение системы (добавляем к обеим частям 
Получаем две окружности радиуса 
с центрами в точках (3; 3) и (−3; −3). Неравенство системы задаёт полуплоскость. Рассмотрим взаимное расположение каждой из окружностей с прямой 
являющейся границей этой полуплоскости.
При этом центры рассматриваемых окружностей — точки (−3; −3) и (3; 3) — не лежат в полуплоскости, так как их координаты не удовлетворяют неравенству. Поэтому вторая окружность не имеет общих точек с полуплоскостью, а первая имеет единственную общую точку
Ответ:
Второе уравнение системы разложено на множители — 5 баллов.
За каждый верно разобранный случай — 2 балла.
Решите систему
Преобразуем уравнение системы (добавляем к обеим частям 
Получаем две окружности радиуса 
с центрами в точках (4; 4) и (−4; −4). Неравенство системы задаёт полуплоскость. Рассмотрим взаимное расположение каждой из окружностей с прямой 
являющейся границей этой полуплоскости.
a) 
б) 
При этом центры рассматриваемых окружностей — точки (4; 4) и (−4; −4) — не лежат в полуплоскости, так как их координаты не удовлетворяют неравенству. Поэтому вторая окружность не имеет общих точек с полуплоскостью, а первая имеет единственную общую точку (8; 2).
Ответ: (8; 2).
Второе уравнение системы разложено на множители — 5 баллов.
За каждый верно разобранный случай — 2 балла.
Решите систему
Преобразуем уравнение системы:
В каждом из четырёх случаев выражаем y и подставляем в неравенство. Если то
Тогда Остальные случаи разбираются аналогично. В итоге получаем 4 решения:
Ответ: 
Уравнение системы разложено на 4 линейных множителя — 4 балла.
Найдено решение (для каждого из четырех случаев) — 1 балл.
Если далее при поиске решений неравенство заменяется уравнением, то добавляется не более 1 балла за все случаи.
Уравнение системы разложено на два квадратичных множителя и других продвижений нет — 2 балла за задачу.
Неравенство системы заменено уравнением и при этом второе уравнение не разложено на множители — не более
Наверх