Поиск
?
Всего: 393 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
в каждой паре чисел большее делится на меньшее, следовательно, 
С другой стороны, пусть в некотором множестве из 
чисел большее число каждой пары чисел делится на меньшее. Расположим все числа по возрастанию, из предположения следует, что каждое следующее число как минимум в 2 раза больше предыдущего. Значит, самое большое число не меньше, чем в 
раз больше первого, то есть больше 1000 — противоречие. 
с примером.
(вторая часть).
(всего 9 девяток) в виде суммы двух чисел В и С, суммы цифр которых одинаковы. Если при сложении цифр последних разрядов В и С происходит переход единицы в предыдущий разряд, то последняя цифра суммы не превосходит 8. Но в последнем разряде А стоит девятка, поэтому перехода единицы не происходит и сумма цифр последних разрядов В и С равна 9. Аналогично, рассуждая слева направо для оставшихся разрядов, видим, что в каждом разряде В и С сумма цифр равна 9 и перехода единицы не происходит. При этом мы считаем, что в первом разряде одного из них стоит 0. Тогда сумма цифр В плюс сумма цифр С, равная удвоенной сумме цифр В, должна равняться сумме цифр А, то есть 91 — нечётному числу. Противоречие.
Найти максимальное значение суммы 
Тогда при замене пары a, c на пару 
получим
При замене пары b, d на пару 
получим
имеем 
поэтому 
и разность в предыдущем предложении положительна. Следовательно, максимум выражения достигается при 
и равен 
Множество Х различных натуральных чисел, не превосходящих n таково, что сумма любых двух, в том числе и совпадающих, элементов Х, не превосходящая n, тоже принадлежит Х. Доказать, что среднее арифметическое всех чисел множества Х не меньше 
Сначала рассмотрим сумму 
она больше xm и не может лежать в Х, следовательно, по условию 
Аналогично, для произвольного 
имеем: 
Если 
то все суммы 
будут k различными членами Х, большими 
что невозможно, поскольку больше 
только 
— 
элементов Х, противоречие. Следовательно, для каждого 
имеем 
При нечётном m в частности, 
Суммируя полученные равенства, получим 
откуда следует утверждение задачи.
.
.
?
тогда 
сумма цифр равна 1 — минимально возможная.
имеет вид: 
a1, 
Следовательно, существует натуральное a такое, что 
Далее 
Остается найти минимальное натуральное n, для которого существует натуральное 
такое, что 
Следовательно, 
для некоторых простых p и q.
Из простоты p и q следует, что делителями правой части могут быть только числа 1, p, q и pq, одно из которых и должно равняться 
Ввиду того, что 1, p и q меньше 
получаем 
и 
Перепишем последнее равенство в виде 
откуда 
или 
и 
, 
, 
.
для некоторого натурального 
Заметим, что десять чисел в скобках в обеих частях равенства в условии являются всевозможными попарными суммами чисел a, b, c, d, e, то есть попарными суммами чисел 
Из равенства в условии следует, что произведение всех этих десяти попарных сумм является точным квадратом натурального числа. Выразим это произведение через x: 
оно является квадратом тогда и только тогда, когда квадратом является 
Однако последнее выражение не может быть квадратом, так как оно меньше 
но больше 
в силу того, что 
.
для некоторых 
Тогда 
поэтому 
Следовательно, добавив, при необходимости к числам a, b единицы в количестве, равном 
получим множество натуральных чисел, сумма и произведение которых равны n.
— произвольные действительные числа. Доказать, что найдётся натуральное k, 
такое, что все k средних арифметических 
не превосходят 
обозначим среднее арифметическое чисел 
через Si. Докажем, что в качестве искомого можно взять любое k такое, что Sk минимально среди всех 
Для любого 
запишем:
и 
что и требовалось доказать. 
без обоснования.
откуда 
Значит, 
что и требовалось доказать.
известно, что все они — различные простые числа. Найти все значения, которые может принимать наименьшее из этих семи чисел.
Если два из них равны, а третье имеет противоположный знак, то на 3 будет будет делиться одно из чисел 
В обоих случаях одно из семи чисел делится на 3 и по предположению больше 3, что противоречит его простоте. Следовательно, минимальное из семи чисел в условии может быть равно только 3. Пример таких чисел: 
таких, что среди всех возможных попарных сумм этих натуральных чисел ровно 7 различных. Общее количество пар из n чисел равно 
и должно быть не меньше 7, поэтому 
С другой стороны, ввиду очевидных неравенств: 
имеем 
и 
Следовательно, 
и каждая невыписанная попарная сумма чисел 
и все они больше 
и меньше 
По условию, они должны совпадать с суммами 
в указанном порядке. Отсюда: 
следовательно, числа 
образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма равна 
откуда следует, что число 4032 должно делиться на 5 — противоречие. 
.
.
тогда последнее равно 
а их сумма равна 
откуда 
— нечётно. С другой стороны, для любого нечётного n сумма n последовательныхнатуральных чисел 
равна, очевидно, 
поэтому любое нечётное n удовлетворяет условию.
откуда 
то есть 
Во-вторых, если в произведении всех цифр натурального числа заменить все цифры, кроме первой, на десятки, то произведение не уменьшится, но будет не больше самого числа, поэтому произведение всех цифр числа не превосходит самого числа, значит, 
откуда, 
то есть 
Для 
условие, очевидно, выполнено, следовательно, это единственный ответ.
Пусть x — действительное число. Обозначим символом 
расстояние на числовой прямой от x до ближайшего целого числа. (Например, 
Докажите, что найдется натуральное число k такое, что
1)
2)
Здесь фигурные скобки 
обозначают дробную часть числа. В силу того, что число 
иррационально, ни одна точка xi не может совпасть с концом подотрезка. Ясно также, что если хоть одна из этих точек попала на подотрезок, отмеченный серым, то наше утверждение доказано. Поэтому предположим, что ни одна точка на эти крайние подотрезки не попала. Тогда получается, что наши 999 точек должны разместиться на 998 оставшихся подотрезках. Значит, существует хотя бы один подотрезок, внутрь которого попадут по крайней мере две точки xm и 
Тогда 
Утверждение доказано.Источник/автор: Диана Лебедева
Пусть x — действительное число. Обозначим символом расстояние на числовой прямой от x до ближайшего целого числа. (Например, Докажите, что найдется натуральное число k такое, что
1)
2)
Источник/автор: Диана Лебедева
Всего: 393 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
и не больше 
Следовательно, разность между суммой всех цифр числа, стоящих на нечётных местах и суммой его цифр, стоящих на чётных местах, равная 
является нечётным числом из интервала от −15 до 25, делящимся на 11. 
и 
Соображения минимальности дают для них число 1526384970.