Всего: 51 1–20 | 21–40 | 41–51
Добавить в вариант
Числа P1, . . . , Pn являются перестановкой набора чисел {1, . . . , n} (то есть каждое Pi равно одному из 1, . . . , n, и все Pi различны). Докажите неравенство:
По неравенству о среднем арифметическом и среднем гармоническом имеем:
В нашем случае слагаемых 
Сумма в знаменателе содержит каждое из чисел 1, . . . , n по два раза, кроме двух чисел, которые в ней участвуют по одному разу. Тогда эта сумма меньше 
Отсюда:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Неравенство полностью доказано. | 20 |
| Доказано нестрогое неравенство. | 17 |
| Рассмотрена идея использования неравенства между средним арифметическим и среднем гармоническим. | 6 |
| Неверный переход в доказательстве по индукции ИЛИ решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |
Числа P1, . . . , Pn являются перестановкой набора чисел {1, . . . , n} (то есть каждое Pi равно одному из 1, . . . , n, и все Pi различны). Докажите неравенство:
По неравенству о среднем арифметическом и среднем гармоническом имеем:
В нашем случае слагаемых Сумма в знаменателе содержит каждое из чисел 1, . . . , n по два раза, кроме двух чисел, которые в ней участвуют по одному разу. Тогда эта сумма меньше Отсюда:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Неравенство полностью доказано. | 20 |
| Доказано нестрогое неравенство. | 17 |
| Рассмотрена идея использования неравенства между средним арифметическим и среднем гармоническим. | 6 |
| Неверный переход в доказательстве по индукции ИЛИ решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |
а) Квадрат размера 1 на 1 разбит на 25 не обязательно одинаковых прямоугольников, каждый из которых имеет одинаковый периметр p. Найти минимальное и максимальное возможное значение p. б) Можно ли разбить единичный квадрат на 30 не обязательно одинаковых прямоугольников периметра 2?
а) Один из прямоугольников разбиения должен иметь площадь не меньше, чем 
обозначим его стороны за x и y. По неравенству о среднем арифметическом и средним геометрическом имеем 
значит, периметр этого прямоугольника, равный 
не меньше 
Это значение достигается для разбиения квадрата на 25 одинаковых квадратиков со стороной 0,2.
С другой стороны, разбиение квадрата на 25 равных прямоугольников со сторонами 1 и 
даёт пример 
поэтому p максимальное точно больше 2. В любом разбиении единичного квадрата на 25 прямоугольников найдётся прямоугольник площади не больше обозначим его стороны за 
и 
при этом 
и 
Следовательно, должен найтись такой x из интервала 
для которого 
Данная функция является квадратичной с отрицательным старшим коэффициентом, поэтому её минимум на отрезке принимается в одном из концов этого отрезка. Соответствующие значения на концах равны 
Следовательно, 
и 
Ответ: а) Минимальное значение p равно 
максимальное значение p равно 
б) Да, можно, способ указан в решении.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Каждая из оценок в пункте а). | 2 |
| Не приводятся точные примеры (один или оба) достижимости оценок. | 6 |
| Пункт б). | 3 |
| Приведены верные примеры разбиений для правильных минимального и максимального значений "р" (обоих!). | 1 |
| Попытки обосновать минимальность и максимальность этих значений с применением соображений типа: "максимальная площадь прямоугольника с фиксированным периметром достигается для квадрата" и "минимальная площадь прямоугольника с фиксированным периметром достигается для максимально вытянутого прямоугольника, когда одна из его сторон равна 1". | 1 |
| По принципу Дирихле в разбиении были найдены прямоугольники площадей не меньше и не больше и к ним уже верно применены предыдущие соображения для оценки минимального и максимального значений "р". | 2 |
| Неточности. | 5-6 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
максимальное значение p равно б) Да, можно, способ указан в решении.Даны m подмножеств n-элементного множества: A1, . . . , Am. Обозначим через |Ai| число элементов множества Ai. Рассмотрим неравенство
в котором индексы i, j, k пробегают все значения от 1 до m, то есть в сумме всего m3 слагаемых.
а) Докажите это неравенство при m = 3.
б) Докажите это неравенство при произвольном натуральном m.
Посчитаем левую часть иным образом. Для каждого элемента множества из n элементов посчитаем, в какое количество пересечений троек Ai ∩ Aj ∩ Ak он входит, и просуммируем эти количества по всем элементам. Легко видеть, что если элемент входит в ai множеств, то он входит ровно в ai3 пересечений троек множеств (в качестве первого множества тройки годятся ai множеств, в качестве второй и третьей — тоже ai). Таким образом, левая часть это n2(a13 + a23 + . . . + an3). Теперь заметим, что a1 + a2 + . . . + an = |A1| + · · · + |Am|, так как обе суммы подсчитывают двумя способами одну и ту же величину: количество пар (множество; элемент множества). Итого, надо доказать:
Последнее неравенство равносильно неравенству между средним кубическим и средним арифметическим:
Замечание. Это одна из лемм (Lemma 6) в статье: https://arxiv.org/pdf/1808.08363.pdf.
Обратите внимание! Любой положительный знак по задаче 7б автоматически дублируется в задачу 7а, кроме случая, когда по 7а написан отдельный текст, получающий более высокую оченку, чем текст за 7б. Если в вашей работе дублирование не произошло – это техническая ошибка, на которую следует подать апелляцию.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное решение. | 40 |
| Арифметическая ошибка при идеальной канве решения, если оно не является чисто вычислительным. | 36 |
| Сведено к неравенству между средним кубическим и средним арифметическим. | 28 |
| в пункте а) вводятся переменные и явным образом выписываются полиномиальные неравенства, для которых предъявляется работоспособный план доказательства, который не реализован (возможно из-за арифметической ошибки). | 14 |
| Решение не соответствует критериям, описанным выше ИЛИ решение основано на неправильной формуле включения-исключения. | 0 |
| Максимальный балл | 40 |
Даны m подмножеств n-элементного множества: A1, . . . , Am. Обозначим через |Ai| число элементов множества Ai. Рассмотрим неравенство
в котором индексы i, j, k пробегают все значения от 1 до m, то есть в сумме всего m3 слагаемых.
а) Докажите это неравенство при m = 3.
б) Докажите это неравенство при произвольном натуральном m.
Посчитаем левую часть иным образом. Для каждого элемента множества из n элементов посчитаем, в какое количество пересечений троек Ai ∩ Aj ∩ Ak он входит, и просуммируем эти количества по всем элементам. Легко видеть, что если элемент входит в ai множеств, то он входит ровно в ai3 пересечений троек множеств (в качестве первого множества тройки годятся ai множеств, в качестве второй и третьей — тоже ai). Таким образом, левая часть это n2(a13 + a23 + . . . + an3). Теперь заметим, что a1 + a2 + . . . + an = |A1| + · · · + |Am|, так как обе суммы подсчитывают двумя способами одну и ту же величину: количество пар (множество; элемент множества). Итого, надо доказать:
Последнее неравенство равносильно неравенству между средним кубическим и средним арифметическим:
Замечание. Это одна из лемм (Lemma 6) в статье: https://arxiv.org/pdf/1808.08363.pdf.
Обратите внимание! Любой положительный знак по задаче 7б автоматически дублируется в задачу 7а, кроме случая, когда по 7а написан отдельный текст, получающий более высокую оченку, чем текст за 7б. Если в вашей работе дублирование не произошло – это техническая ошибка, на которую следует подать апелляцию.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное решение. | 40 |
| Арифметическая ошибка при идеальной канве решения, если оно не является чисто вычислительным. | 36 |
| Сведено к неравенству между средним кубическим и средним арифметическим. | 28 |
| в пункте а) вводятся переменные и явным образом выписываются полиномиальные неравенства, для которых предъявляется работоспособный план доказательства, который не реализован (возможно из-за арифметической ошибки). | 14 |
| Решение не соответствует критериям, описанным выше ИЛИ решение основано на неправильной формуле включения-исключения. | 0 |
| Максимальный балл | 40 |
Произведение положительных чисел a и b больше 1. Докажите, что для любого натурального 
верно неравенство
Имеем:
где tk — целые числа, зависящие от n и k, но не зависящие от a и b, и при этом
При 
имеем: 
Воспользуемся неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом: для любых положительных чисел x и y справедливо неравенство
Тогда
Учитывая эти неравенства, симметрию коэффициентов 
и равенство 
получим требуемое.
Докажите, что для 
выполняется неравенство
Так как то 
Используя известное неравенство о средних, получим
при условии, что 
то есть
Возведем в квадрат последнее неравенство и получим требуемое неравенство
Таким образом, неравенство доказано.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Докажите, что для 
выполняется неравенство
Так как то 
Используя известное неравенство о средних, получим
при условии, что 
то есть
Возведем в квадрат последнее неравенство и получим требуемое неравенство
Таким образом, неравенство доказано.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Докажите, что для 
выполняется неравенство
Так как 
то 
Используя известное неравенство о средних, получим
при условии, что 
Следовательно, получили
Возведем в куб последнее неравенство и получим требуемое неравенство. Таким образом, неравенство доказано.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Докажите, что для 
выполняется неравенство
Так как то 
Используя известное неравенство о средних, получим
при условии, что 
Следовательно, получили
Возведем в куб последнее неравенство и получим требуемое неравенство. Таким образом, неравенство доказано.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Известно, что x, y, z, t неотрицательные числа такие, что xyz = 1, y + z + t = 2. Докажите, что 
Преобразуем исходное выражение:
что хотя бы 3 по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трёх чисел.
Известно, что x, y, z, t неотрицательные числа такие, что 
Докажите, что 
Преобразуем исходное выражение:
а 
по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трёх чисел.
Найдите наименьшее возможное значение выражения
где x, y, z — ненулевые вещественные числа.
Заметим, что знаки всех шести чисел 
и т. д. одинаковы. Если все они отрицательны, то заменим числа x, y, z на их модули, тогда все слагаемые 
и т. д.)
При положительных значениях x, y, z воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Получим:
Очевидно, значение 9 достигается, например, при 
Ответ: 9.
Не приведён пример, когда достигается 9, — минус 1 балл. Рассмотрен только случай положительных x, y, z — минус 2 балла.
Для положительных чисел x и y докажите неравенство
Левое неравенство равносильно неравенству
которое после раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и деления на 
сводится к неравенству 
Домножим обе части правого неравенства на 
Получим неравенство
Раскроем скобки в 
и сократим на 
Тогда получим неравенство
Оно непосредственно следует из неравенства о средних для двух чисел.
Найдите наименьшее возможное значение выражения
где x, y, z — ненулевые вещественные числа.
Заметим, что знаки всех шести чисел и т. д. одинаковы. Если все они отрицательны, то заменим числа x, y, z на их модули, тогда все слагаемые и т. д.)
При положительных значениях x, y, z воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Получим:
Очевидно, значение 9 достигается, например, при
Ответ: 9.
----------
Дублирует задание 1929.
Не приведён пример, когда достигается 9, — минус 1 балл. Рассмотрен только случай положительных x, y, z — минус 2 балла.
Для любых чисел x, y и z докажите неравенство
Решим задачу несколькими способами.
Способ I. С помощью раскрытия скобок легко проверить, что
Способ II. Заметим, что
Следовательно,
Способ III. Положим 
и 
Тогда 
и 
Следовательно,
Положительные числа a, b и c удовлетворяют условию 
Докажите неравенство 
Достаточно проверить неравенство
или, что то же самое,
Последнее очевидно, поскольку по неравенству о средних для двух чисел
Приведем другое решение. Можно считать, что 
Нам надо доказать неравенство
Рассмотрим выражение слева как квадратный трехчлен относительно c. Он неотрицателен, тогда и только тогда, когда c лежит между его корнями a и b. Таким образом, достаточно проверить, что 
Это уже совсем просто:
и
Произведение положительных чисел a, b, c и d равно 1. Докажите неравенство
Поскольку
справедливо неравенство
Сложив его с тремя аналогичными неравенствами, получим, что левая часть доказываемого неравенства не меньше, чем
Приведем другое решение. Заметим, что
Действительно, это неравенство после домножения на знаменатель превращается в неравенство
Но в таком виде оно очевидно, поскольку скобки в левой части имеют одинаковый знак, и их произведение неотрицательно.
Следовательно,
В последнем неравенстве мы дважды воспользовались неравенством о средних для двух чисел:
и
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Положительные числа a, b и c удовлетворяют условию 
Докажите неравенство
Заметим, что 
поэтому
Следовательно, достаточно доказать, что выражение в скобках не меньше 
Это равносильно неравенству
или, что тоже самое, неравенству
Но левая часть после раскрытия скобок имеет вид
где каждая скобка не меньше двух, поскольку является суммой взаимно обратных чисел.
Таким образом, достаточно доказать, что
то есть 
Но это неравенство справедливо, поскольку
Замечание. Неравенство (*) можно объяснить и другими способами. Например, по неравенству о средних
и
поэтому левая часть не меньше 9. Правая часть не больше 9, поскольку
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Для положительных чисел a, b и c докажите неравенство
Решение. По неравенству о средних для двух чисел
и
Сложив эти неравенства и сократив на 
получим
Просуммируем это неравенство с двумя аналогичными:
поскольку
После сокращения на 
получим требуемое.
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Наверх