РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 6 7 8 9
Атрибут

Всего: 164 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Тип 21 № 88 Добавить в вариант

Запишем подряд все натуральные числа, кратные девяти:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …

У каждого из этих чисел подсчитаем сумму цифр. В результате, получим последовательность:

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 9, …

Найдите сумму первых 400 членов этой последовательности.

Аналоги к заданию № 88: 111 Все

Решение · Помощь

Тип 21 № 96 Добавить в вариант

Конечная последовательность чисел $x_1, x_2 ... x_N$ обладает следующим свойством:

$x_n плюс 2=x_n минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x_n плюс 1 конец дроби$ для всех $1 меньше или равно n меньше или равно N минус 2.$

Найдите максимально возможное число членов данной последовательности, если x₁ = 20; x₂ = 16.

Решение · Помощь

Тип 21 № 111 Добавить в вариант

Запишем подряд все натуральные числа, кратные девяти:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …

У каждого из этих чисел подсчитаем сумму цифр. В результате, получим последовательность:

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 9, …

Найдите сумму первых 550 членов этой последовательности.

Решение.

У натуральных чисел, кратных девяти, от 9 до 4950 надо подсчитать суммы цифр, а затем эти суммы сложить. Пусть $c_9$   — количество чисел в этом диапазоне, у которых сумма цифр равна 9, c₁₈  — количество чисел с суммой цифр 18, $c_27$   — количество чисел с суммой цифр 27.

Вычислим c₉. Будем все числа трактовать как четырехзначные: 9  =  0009, 18  =  0018, … Рассмотрим сначала числа вида $0m_1m_2m_3,$ т. е. те, у которых первая цифра ноль. Выясним, сколькими способами число 9 может быть представлено в виде суммы трех целых неотрицательных слагаемых:

$9=m_1 плюс m_2 плюс m_3.$

Прибавим к обеим частям число 3:

$12= левая круглая скобка m_1 плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка m_2 плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка m_3 плюс 1 правая круглая скобка .$

Получается, что надо найти количество способов представить число 12 в виде суммы трех натуральных слагаемых. Это количество равно $C_11 в квадрате .$

Действительно, представим себе на числовой прямой числа 1, 2, …, 12. Между ними имеется 11 промежутков. Выбрав два промежутка, мы разобьем 12 на три ненулевых слагаемых. Аналогично, имеется $C_10 в квадрате$ чисел с суммой цифр 9 вида 1m₁m₂m₃, $C_9 в квадрате$ чисел 2m₁m₂m₃, $C_8 в квадрате$ чисел 3m₁m₂m₃, и, наконец, $C_7 в квадрате$ чисел 4m₁m₂m₃. В итоге,

$c_9=C_11 в квадрате плюс C_10 в квадрате плюс C_9 в квадрате плюс C_8 в квадрате плюс C_7 в квадрате =185.$

Затем нетрудно найти $c_27=30,$ и, следовательно, $c_18=335.$ Для получения ответа остается вычислить $9c_9 плюс 18c_18 плюс 27c_27.$

Ответ: 8505.

Аналоги к заданию № 88: 111 Все

Решение · Прототип задания · Помощь

Тип 21 № 178 Добавить в вариант

Рассматривается последовательность чисел x₁, x₂, ..., x₂₀₁₅. При этом

$x_n= система выражений 7,еслиnделитсяна9и32,9,еслиnделитсяна7и32, 32,еслиnделитсяна7и9, 0,востальныхслучаях. конец системы .$

Найдите сумму членов данной последовательности.

Решение · Помощь

Тип 21 № 201 Добавить в вариант

Числовая последовательность такова, что $x_n= дробь: числитель: x_n минус 1, знаменатель: 5 конец дроби плюс 4$ для всех $n больше или равно 2.$ Найдите x₂₀₁₇, если x₁ = 6.

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	12
Выписаны несколько первых членов последовательности. Дополнительных обоснований не приведено или приведенные обоснования неверные. Ответ верный.	+/2	6
Выписаны несколько первых членов последовательности в виде суммы 5 и дроби. Ответ отсутствует или неверный.	∓	2
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл	12

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 244 Добавить в вариант

Последовательность чисел τ (1), τ (2), ..., τ (n) называется перестановкой длины n, если каждое из чисел 1, 2, ..., n встречается в этой последовательности ровно один раз. Например, τ (1)  =  3, τ (2)  =  2, τ (3)  =  1  — перестановка длины 3. Найдите все n, для которых найдётся перестановка τ (1), τ (2), ..., τ (n), удовлетворяющая четырём условиям:

• Числа τ (i) − i для всех i от 1 до n включительно имеют попарно различные остатки от деления на n.

• Числа τ (i) − 2i для всех i от 1 до n включительно имеют попарно различные остатки от деления на n.

• Числа τ (i) − 3i для всех i от 1 до n включительно имеют попарно различные остатки от деления на n.

• Числа τ (i) − 4i для всех i от 1 до n включительно имеют попарно различные остатки от деления на n.

Решение.

Будем решать чуть обобщённую задачу, а именно: зафиксируем натуральное m и будем искать все n, для которых в любом из m множеств $левая фигурная скобка \tau левая круглая скобка i правая круглая скобка минус j i | 1 меньше или равно i меньше или равно n правая фигурная скобка$ все остатки различны. Индекс j пробегает значения $1 меньше или равно j меньше или равно m.$

Для начала докажем, что все n, не делящиеся на простые числа меньшие либо равные m + 1, подходят. Рассмотрим перестановку τ: i → (m + 1)i mod n (здесь мы позволим себе вольность считать, что остатки идут от 1 до n, а не от 0 до n – 1 как обычно). Поскольку n взаимно просто с m + 1, остатки не повторяются. Значит, по принципу Дирихле, каждый остаток встречается ровно один раз. Аналогично, каждый остаток встречается ровно один раз и в каждом из множеств

$левая фигурная скобка \tau левая круглая скобка i правая круглая скобка минус i \mid 1 меньше или равно i меньше или равно n правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка \tau левая круглая скобка i правая круглая скобка минус 2 i \mid 1 меньше или равно i меньше или равно n правая фигурная скобка ,$ $\ldots,$ $левая фигурная скобка \tau левая круглая скобка i правая круглая скобка минус m i \mid 1 меньше или равно i меньше или равно n правая фигурная скобка .$

Докажем, что перестановки с требуемыми свойствами не существует если $n \vdots p$ и $p меньше или равно m плюс 1.$ Предположим обратное, зафиксируем наименьшее такое p и обозначим через k максимальную степень p, на которую делится n.

Сперва рассмотрим случай p  =  2. Заметим что

$1 плюс 2 плюс умножить на s плюс n = дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$

формула легко доказывается по индукции. Тогда сумма n чисел, дающих остатки 1, 2, ..., n, сравнима с $дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби$ по модулю n. Посчитаем двумя способами остаток суммы $\sum_i=1 в степени n \tau левая круглая скобка i правая круглая скобка минус i$ по модулю n. С одной стороны, все слагаемые дают разные остатки, значит, сумма $дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$ С другой стороны, по тем же соображениям у суммы отдельно $\sum_i=1 в степени n \tau левая круглая скобка i правая круглая скобка$ такой остаток, и у суммы $\sum_i=1 в степени n i$ такой же, значит, их разность имеет остаток 0. Заметим, что

$дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби \not \equiv 0 mod n,$

поскольку n + 1 нечетное а $дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби$ не делится на 2^k. Предположение приведено к противоречию.

Попробуем получить решение в том же духе для произвольного p. Небольшой догадкой, которую нужно сделать на этом этапе решения, будет то, что считать надо сумму p  — 1-х степеней. Слабой подсказкой в эту сторону является то, что p – 1  =  1 для двойки p  =  2, и в этом же случае сработал подсчет суммы первых степеней. Гораздо более сильной  — то что p  — 1-е степени по модулю p ведут себя просто  — это 1 если число не равно нулю, 0, если равно.

Итак, далее считаем что $p больше 2,$ обозначим

$S левая круглая скобка m правая круглая скобка =\sum_i=1 в степени m i в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка .$

Лемма 1. Заметим, что $S левая круглая скобка n правая круглая скобка \vdots p в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка$ и $S левая круглая скобка n правая круглая скобка / \vdots p в степени k .$ Достаточно доказать этот факт для $n = p в степени k ,$ поскольку

$S левая круглая скобка n правая круглая скобка \equiv дробь: числитель: n, знаменатель: p в степени k конец дроби S левая круглая скобка p в степени k правая круглая скобка mod p в степени k .$

Для S(p^k) проведем индукцию по k. При k  =  1 утверждение следует из Малой теоремы Ферма: среди слагаемых p – 1 единица и один ноль. Пусть доказано для k, докажем для k + 1. Тогда

$S левая круглая скобка p в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =\sum_i=1 в степени левая круглая скобка p в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка i в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка =\sum_i=1 в степени левая круглая скобка p в степени k правая круглая скобка \sum_j=0 в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка i плюс jp в степени k правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка \equiv \sum_i=1 в степени левая круглая скобка p в степени k правая круглая скобка \sum_j=0 в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка i в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка jp в степени k i в степени левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка \equiv$ $S левая круглая скобка p в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =\sum_i=1 в степени левая круглая скобка p в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка i в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка =$
$=\sum_i=1 в степени левая круглая скобка p в степени k правая круглая скобка \sum_j=0 в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка i плюс jp в степени k правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка \equiv \sum_i=1 в степени левая круглая скобка p в степени k правая круглая скобка \sum_j=0 в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка i в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка jp в степени k i в степени левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка \equiv$

$\equiv \sum_i=1 в степени левая круглая скобка p в степени k правая круглая скобка левая круглая скобка i в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка p плюс дробь: числитель: p левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби p в степени k i в степени левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка \equiv pS левая круглая скобка p в степени k правая круглая скобка .$

Все сравнения по модулю p^k+1.

Теперь для каждого j: $1 меньше или равно j меньше или равно p минус 1$ рассмотрим сумму

$S_j левая круглая скобка n правая круглая скобка =\sum_1 меньше или равно i меньше или равно n левая круглая скобка \tau левая круглая скобка i правая круглая скобка минус ij правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка .$

Раскроем все степени по биному Ньютона, получим слагаемые вида

$левая круглая скобка \begin{align p минус 1s \endalign правая круглая скобка левая круглая скобка минус j правая круглая скобка в степени s \sum_1 меньше или равно i меньше или равно n\tau левая круглая скобка i правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 минус s правая круглая скобка умножить на i в степени s .$

С другой стороны, все члены в S_j(n)  — это переставленные в каком-то порядке остатки по модулю n членов суммы S(n), то есть $S_j левая круглая скобка n правая круглая скобка \equiv S левая круглая скобка n правая круглая скобка mod n.$ Итак, мы хотим найти такой набор α_j, чтобы домножив на него сравнимости $S_j левая круглая скобка n правая круглая скобка \equiv S левая круглая скобка n правая круглая скобка$ и сложив мы смогли бы прийти к противоречию. Сделать это поможет вторая лемма.

Лемма 2. Существуют такие целые числа α₁, ..., α_p – 1, что

$альфа _11 плюс альфа _22 плюс \ldots плюс альфа _p минус 1 левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка \equiv 0 mod p в степени k ;$

$альфа _11 в квадрате плюс альфа _22 в квадрате плюс \ldots плюс альфа _p минус 1 левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка в квадрате \equiv 0 mod p в степени k ;$

$\ldots$

$альфа _11 в степени левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка плюс альфа _22 в степени левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс альфа _p минус 1 левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка \equiv 0 mod p в степени k ;$

$альфа _11 в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс альфа _22 в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс альфа _p минус 1 левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка не равно 0 mod p в степени k .$

Сначала покажем, как из этой леммы вывести оставшуюся часть утверждения задачи. Рассмотрим сравнимость

$альфа _1S_1n плюс альфа _1S_1n плюс \ldots плюс альфа _p минус 1S_p минус 1n \equiv левая круглая скобка альфа _1 плюс альфа _2 плюс \ldots плюс альфа _p минус 1 правая круглая скобка S левая круглая скобка n правая круглая скобка mod p в степени k .$ $альфа _1S_1n плюс альфа _1S_1n плюс \ldots плюс$
$плюс альфа _p минус 1S_p минус 1n \equiv левая круглая скобка альфа _1 плюс альфа _2 плюс \ldots плюс альфа _p минус 1 правая круглая скобка S левая круглая скобка n правая круглая скобка mod p в степени k .$

С одной стороны, если раскрыть все S_j по биному Ньютона, и собрать вместе члены вида $\tau левая круглая скобка i правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 минус s правая круглая скобка умножить на i в степени s ,$ $1 меньше или равно s меньше или равно p минус 2,$ то по Лемме 2 перед каждым членом коэффициент, равный нулю по модулю p^k. Тогда:

$альфа _1 левая круглая скобка \sum_i=0 в степени n плюс \tau левая круглая скобка i правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка i в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс альфа _2 левая круглая скобка \sum_i=0 в степени n \tau левая круглая скобка i правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2i правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс \ldots плюс альфа _p минус 1 левая круглая скобка \sum_i=0 в степени n \tau левая круглая скобка i правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка i правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка альфа _1 плюс альфа _2 плюс \ldots плюс альфа _p минус 1 правая круглая скобка S левая круглая скобка n правая круглая скобка .$

Вспомнив, что $\sum_i=1 в степени n \tau левая круглая скобка i правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка =S левая круглая скобка n правая круглая скобка$ видим, что все члены вида $\tau левая круглая скобка i правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка$ сократились с правой частью, итак

$альфа _1 \sum_i=0 в степени n i в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс альфа _2 \sum_i=0 в степени n левая круглая скобка 2i правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс альфа _p минус 1 \sum_i=0 в степени n левая круглая скобка левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка i правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка \equiv 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка альфа _1 1 в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс альфа _2 2 в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс альфа _p минус 1 левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка S левая круглая скобка n правая круглая скобка \equiv 0.$

Но первая скобка не делится на p по Лемме 2, а S(n) не делится на p^k по Лемме 1. Осталось доказать лемму 2. Сперва отметим, что если вместо набора целых чисел α_j удалось подобрать набор рациональных чисел β_j, таких что их знаменатели не делятся на p, все сравнимости из условия леммы заменились на равенства, а последнее выражение равно целому числу, не делящемуся на p  — то лемма доказана, достаточно все β_j заменить на сравнимые с ними по модулю p^k целые числа. Сравнимость определена корректно поскольку знаменатели не делятся на p.

Теперь осталось взять

$бета _j = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени j дробь: числитель: 1, знаменатель: j конец дроби левая круглая скобка \begin{align p минус 2j минус 1 \endalign правая круглая скобка .$

Читателю остается упражнение доказать (например, по индукции, поскольку простота p здесь уже не важна), что во всех условиях Леммы 2, кроме последнего, получается 0, а в последнем $\pm левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка !.$

Ответ: все n, не делящиеся ни на 2, ни на 3, ни на 5.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Приведено полное решение	20
Найден пример, работающий для всех n, не делящихся на 2, 3 и 5	12
Доказано, что n — нечётное	8
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев	0
Максимальный балл	20

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 346 Добавить в вариант

Числовая последовательность такова, что $x_n= дробь: числитель: n плюс 2, знаменатель: n умножить на x_n минус 1 конец дроби$ для всех $n больше или равно 2.$ Найдите произведение $x_1 умножить на x_2 умножить на x_3 умножить на ... умножить на x_2016 умножить на x_2017,$ если $x_1=1.$

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	12
В результате вычислительной ошибки или описки получен неверный ответ.	±	9
Показано в общем случае, что $x_n умножить на x_n минус 1= дробь: числитель: n плюс 2, знаменатель: n конец дроби .$ Ответ неверный или отсутствует.	+/2	6
Показано при некоторых n, что $x_n умножить на x_n минус 1= дробь: числитель: n плюс 2, знаменатель: n конец дроби .$ Ответ неверный или отсутствует.	∓	2
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл	12

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 428 Добавить в вариант

Вычислите сумму

$1 умножить на 2 плюс 2 умножить на 3 плюс 3 умножить на 4 плюс \ldots плюс 2015 умножить на 2016.$

Решение · Помощь

Тип 0 № 430 Добавить в вариант

Заяц прыгает в одном направлении по разделенной на клетки полосе. За один прыжок он может сместиться либо на одну, либо на две клетки. Сколькими способами может заяц добраться с 1-й клетки на 12-ю?

Решение · Помощь

Тип 0 № 436 Добавить в вариант

Дана последовательность чисел x₁, x₂, ... , такая, что x₁ = 79 и $x_n= дробь: числитель: n, знаменатель: x_n минус 1 конец дроби$ для всех n > 1. На сколько нулей оканчивается число, равное произведению $x_1 умножить на x_2 умножить на ... умножить на x_2018$ ?

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	10
Обосновано приведены все основные логические шаги решения. В результате вычислительной ошибки или описки получен неверный ответ.	+.	8
Приведены все основные логические шаги решения. Отсутствует строгое обоснование отдельных выводов. Ответ верный. ИЛИ Обосновано приведены все основные логические шаги решения, в том числе показывается, что нужно учитывать делимость на степень 5. В результате неправильного учета отдельного случая делимости на степень 5 получен неверный ответ.	±	7
Отсутствует строгое обоснование отдельных выводов. В результате вычислительной ошибки или описки может быть получен неверный ответ. ИЛИ Отсутствует строгое обоснование отдельных выводов. Показывается, что нужно учитывать делимость на степень 5, но в результате ошибки получен неверный ответ.	+/2	5
Ответ верный. Решение отсутствует или неверное. ИЛИ Найдена основная идея решения. Не учтены числа, которые делятся на 25, 125, 625.	∓	2
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл		10

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 446 Добавить в вариант

Последовательность a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... такова, что $a_2n= дробь: числитель: 1, знаменатель: a_2n минус 1 конец дроби ,$ а $a_2n плюс 1=1 минус a_2n.$ Найдите a₁, если a₂₀₁₈  =  2.

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	12
Найдена основная идея решения. Отсутствует необходимая строгость в получении ответа. Ответ верный.	±	9
Найдена основная идея решения. Отсутствует необходимая строгость в получении ответа и/или допущена вычислительная ошибка. Может быть получен неверный ответ.	+/2	6
Показана идея периодичности. Период не найден или найден неверно.	∓	2
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл	12

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 462 Добавить в вариант

Дана бесконечная последовательность −1, 2, −3, 4, −5, 6, …, (−1)ⁿn … . Между первым и вторым членом вписали одну единицу, между вторым и третьим членом две единицы, между третьим и четвертым членом три единицы и т. д. В итоге получили последовательность −1, 1, 2, 1, 1, −3, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, −5 … . Найдите сумму первых 2018 членов полученной последовательности.

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	12
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования или в результате описки или арифметической ошибки найден неверный ответ.	±	8
Решение задачи, содержит верную общую схему решения. Ошибочно сделан вывод, что сумма чисел в четных строках равна номеру соответствующей строки. ИЛИ Решение задачи, содержит верную общую схему решения. В результате неверных рассуждений неправильно найдено наибольшее по модулю число в рассматриваемой сумме. В остальном решение полное и доведено до ответа.	+/2	6
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 466 Добавить в вариант

Дана такая числовая последовательность x₀, x₁, x₂, ..., x_n, ..., что x₀ = 8 и $x_n плюс 1=x_n плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x_n конец дроби$ для всех $n больше или равно 0.$ Докажите, что 64 < x₂₀₁₉ < 64,1.

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	14
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые незначительные обоснования. Доказано правая часть двойного неравенства.	±	10
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. ИЛИ Доказана только левая часть двойного неравенства.	∓	3
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 487 Добавить в вариант

Последовательность действительных чисел a_n такова, что a_{n + 1} = a_n(a_n + 4) + 2 для всех натуральных n. Найдите минимальное возможное значение числа a₂₀₂₀.

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	12
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. Ответ верный. ИЛИ Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования или в результате описки или арифметической ошибки найден неверный ответ.	±	8
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Дана верная оценка снизу для a₂₀₂₀. Не показано, что данная оценка достигается.	+/2	6
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении	∓	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 548 Добавить в вариант

Последовательность {a_n} задана условиями a₁  =  −1 и $a_n плюс 1=\sum\limits_k=1 в степени n левая круглая скобка a_k плюс 1 правая круглая скобка$ при $n\geqslant1.$ Найдите явную формулу этой последовательности.

Аналоги к заданию № 548: 591 Все

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 591 Добавить в вариант

Последовательность a_n задана условиями a₁  =  1 и a_n  =  a₁ + a₂ + ... + a_n − 1 + n, при $n\geqslant2.$ Найдите явную формулу этой последовательности.

Аналоги к заданию № 548: 591 Все

Решение · Прототип задания · Критерии · Помощь

Тип 0 № 624 Добавить в вариант

Вычислите сумму $S_2018=x_1 плюс x_2 плюс ... плюс x_2018,$ если

$x_n= дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: n конец аргумента плюс n корень из: начало аргумента: n плюс 1 конец аргумента конец дроби$

для $n=1, 2, ..., 2018.$ В ответе укажите число $1 минус S_2018.$

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 712 Добавить в вариант

Числовая последовательность задана условием $x_n плюс 1 = 3x_n плюс 4x_n минус 1.$ Может ли она быть периодической, но не постоянной?

Аналоги к заданию № 712: 720 Все

Решение · Помощь

Тип 0 № 765 Добавить в вариант

Последовaтельность зaдaнa следующими соотношениями: $x_1 = 5, x_n плюс 1 = x_n плюс синус x_n.$ Докaжите, что $x_n больше Пи .$

Решение · Помощь

Тип 28 № 989 Добавить в вариант

Последовательности $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка b_n правая фигурная скобка$ и $левая фигурная скобка c_n правая фигурная скобка$ связаны соотношениями $a_n плюс 1=\dfracb_n плюс c_n2,$ $b_n плюс 1=\dfracc_n плюс a_n2$ и $c_n плюс 1=\dfraca_n плюс b_n2.$

а)  Найдите пределы этих последовательностей, если $a_1=0,$ $b_1=1$ и $c_1=2.$

б)  Пусть

$\xi=\dfraca_1 плюс b_1 плюс c_13.$

Докажите, что число ξ является общим пределом данных последовательностей.

в)  Дан треугольник ABC с углами $дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби Пи ,$ $дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби Пи ,$ $дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби Пи ;$ $A_1, B_1, C_1$   — точки пересечения биссектрис его углов с описанной около него окружностью, A₂, B₂, C₂  — точки пересечения биссектрис углов треугольника $A_1B_1C_1$ с этой же окружностью, и т. д. Вычислите углы треугольника A₄₀B₄₀C₄₀ с точностью до 0,01.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Решение · Критерии · Помощь

Всего: 164 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …