Всего: 34 1–20 | 21–34
Добавить в вариант
Через вершину правильного тетраэдра с ребром a проведена плоскость так, что линия её пересечения с плоскостью основания параллельная стороне и делит основание на две равновеликие части. С помощью циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий площади сечения тетраэдра указанной плоскости.
следует, что
следовательно,
DN. 
—Основанием пирамиды TABC служит треугольник ABC, все стороны которого равны 
а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через середину стороны основания AC, параллельна медиане AM боковой грани ATB и пересекает ребро AT в точке N, так что TN = 3AN, а расстояние от AM до секущей плоскости равно 
Пусть H — середина AB, 
и 
то 
следовательно, 
или 
прямую CE параллельную SF. Поскольку 
и 
отсюда 
Основанием пирамиды TABC служит треугольник ABC, все стороны которого равны 8, а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через середину стороны основания AC, параллельна медиане AM боковой грани ATB и пересекает ребро AT в точке N, так что TN = 3AN, а расстояние от AM до секущей плоскости равно 
Основанием пирамиды TABC служит треугольник ABC, все стороны которого равны 
а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины стороны основания AC и бокового ребра TB и параллельной медиане TD боковой грани ATB, если расстояние между TD и секущей плоскостью равно 1.
Поскольку 
то 
Пусть 
Проведем через точки Z, D, F, B, W прямые, параллельные FE; X, G, E, H, Y — соответственно их точки пересечения со стороной AB. Очевидно,
то EFMN — искомое сечение. Поскольку прямые TG и SE параллельны, 
и 
то 
прямую SK перпендикулярную FE, 
прямую AP перпендикулярную SK, 
Поскольку 
прямая AP перпендикулярна плоскости (SFE), то длина PQ равна заданному в условии задачи расстоянию d между TD и секущей плоскостью. Тогда 
В треугольнике AFE имеем 
отсюда
Основанием пирамиды TABC служит треугольник ABC, все стороны которого равны 4, а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины стороны основания AC и бокового ребра TB и параллельной медиане TD боковой грани ATB, если расстояние между TD и секущей плоскостью равно 
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, которая параллельна диагонали AC1 боковой грани AA1C1С, проходит через середину стороны AB основания ABC и точку M, лежащую на стороне B1C1, 
и прямую ME параллельную AC1, ME лежит в плоскости сечения. В плоскости основания ABC проводим прямую, соединяющую точку E с серединой D стороны AB, точка K — точка пересечения этой прямой со стороной BC. В плоскости основания A1B1C1 проводим прямую MN, параллельную DK. Точка N — точка пересечения прямой MN со стороной A1B1. Трапеция DKMN — искомое сечение.
Пусть Q — проекция точки M на основание ABC, 
Пусть G — проекция точки N на основание ABC. Поскольку GQ и DK параллельны, то 
и 
Проекцией сечения на плоскость основания ABC является трапеция DKQG, ее площадь 
где D — принадлежит плоскости сечения). 
Найдите объемы частей, на которые делит правильную треугольную призму ABCA1B1C1 плоскость, которая параллельна диагонали AC1 боковой грани AA1C1С, проходящая через середину стороны AB основания ABC и точку M, лежащую на стороне B1C1, если, расстояние от точки C до секущей плоскости равно 
а сторона основания призмы равна 
и 
Пусть Q — проекция точки M на основание ABC, 
Следовательно, 
где точка K принадлежит плоскости сечения).
Дана правильная четырехугольная пирамида TABCD с основанием ABCD, причем AB = 
На ее высоте TO выбрана точка 
так, что 
= 
Точки 
и 
делят отрезки OA, OB, OC и OD, соответственно, в отношении 1 : 2, считая от точки O. Найдите площадь сечения пирамиды 
плоскостью, параллельной медиане AK боковой грани TAB, проходящей через середину ребра TC и точку F отрезка TA такую, что AF : FT=1 : 2, если известно, что расcтояние от точки C до этой плоскости сечения равно 
Результат округлите до сотых по правилам округления.
— плоскость сечения, ρ — расстояние от точки C до этой плоскости сечения, a — сторона основания 
—
и 
и 
тогда
и 
следовательно
Дана правильная четырехугольная пирамида TABCD с основанием ABCD, причем AB = На ее высоте TO выбрана точка так, что = Точки и делят отрезки OA, OB, OC и OD, соответственно, в отношении 1 : 2, считая от точки O. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной медиане AK боковой грани TAB, проходящей через середину ребра TC и точку F отрезка TA такую, что AF : FT=1 : 2, если известно, что расcтояние от точки C до этой плоскости сечения равно 
Результат округлите до сотых по правилам округления.
—
где 
следовательно
Дана правильная четырехугольная пирамида TABCD с основанием ABCD, причем AB = На ее высоте TO выбрана точка так, что = Точки и делят отрезки OA, OB, OC и OD, соответственно, в отношении 1 : 2, считая от точки O. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной медиане AK боковой грани TAB, проходящей через середину ребра TC и точку F отрезка TA такую, что AF : FT = 1 : 2, если известно, что расcтояние от точки C до этой плоскости сечения равно 
Результат округлите до сотых по правилам округления.
следовательно
Найдите площадь сечения правильной треугольной пирамиды TABC плоскостью, проходящей через центр сферы описанной около пирамиды, и через середины бокового ребра TA и стороны основания BC и параллельной апофеме TF боковой грани ATB, если радиус сферы равен 3.
основания ABC точкой H делится в отношении 
считая от вершины A, причем 
и 
Пусть R — радиус описанной около пирамиды сферы.
треугольники GTO и DHO подобны, и 
По теореме Пифагора для треугольника AOH имеем 
и 
отсюда 
и 
Пусть прямая QM пересекает ребро TC в точке N. Треугольники TPN и CQN подобны, 
Тогда 
Рассмотрим треугольник QKA. Имеем 
По теореме косинусов получаем 
Сечение куба ABCDA1B1C1D1 представляет собой шестиугольник EFGHIJ, диагонали которого EH, FI и GJ пересекаются в одной точке. Найти координаты этой точки, если известны координаты вершин куба: 
Сечение куба ABCDA1B1C1D1 представляет собой шестиугольник EFGHIJ, диагонали которого EH, FI и GJ пересекаются в одной точке. Найти координаты этой точки, если известны координаты вершин куба: 
Сечение куба ABCDA1B1C1D1 представляет собой шестиугольник EFGHIJ, диагонали которого EH, FI и GJ пересекаются в одной точке. Найти координаты этой точки, если известны координаты вершин куба: 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF на диагонали основания AD выбрана точка M, делящая её в отношении 
Через точку M проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной грани SAB. Найдите отношение площади сечения к площади треугольника SAB.
раз, где α — двугранный угол между плоскостями). Проекция грани SBA это треугольник S′AB, а проекция сечения — многоугольник KLNPQR. Пусть 
и 
тогда нетрудно показать, что 
Площадь треугольника S′AB равна 
Поэтому 
от основания. В сечении будут получаться восьмиугольники, все углы которых равны 135°. Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть точки пересечения плоскости сечения с ребрами куба (см. рисунок). Найдем значение h, при котором соседние стороны получающегося в сечении восьмиугольника равны, тогда он окажется правильным. Длина x стороны, которая лежит в грани куба, находится из пропорции 
Поэтому достаточно потребовать, чтобы выполнялось равенство 
Тогда вершины этого