Всего: 189 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Решить в действительных числах систему уравнений: 
Рассмотрим случаи.
1) Пусть 
тогда 
откуда 
что явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.
2) Пусть 
тогда 
откуда 
что тоже явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.
3) Пусть 
Домножим первое уравнение на 
Получим 
Домножим второе уравнение на 
получим: 
Поделим второе уравнение на первое, получим 
откуда 
С учётом первого уравнения, 
Заменяя 
получаем биквадратное уравнение 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Потеря части решений или приобретение лишних решений. | 4-5 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Найдите все корни уравнения 
лежащие на интервале 
Преобразуем:
Замена: 
Тогда
Замена: 
Уравнение примет вид
Имеется корень 
и левая часть может быть разложена на множители следующим образом:
(1)
Так как 
то 
Следовательно, 
При таких z многочлен пятой степени в левой части (1) принимает только отрицательные значения, так как 
и 
Поэтому 
— единственный корень уравнения (1). Далее легко найти, что 
и 
Ответ: 
В системе из трёх линейных уравнений 
от трёх переменных x, y, z коэффициенты А, Е, I — положительны, а остальные отрицательны, и каждый из А, Е, I больше модуля суммы двух оставшихся коэффициентов того же уравнения. Докажите, что система имеет единственное решение 
Предположим, система имеет ненулевое (когда значение хотя бы одной переменной отлично от нуля) решение. Умножая его при необходимости на минус единицу, получим ненулевое решение, в котором значения хотя бы двух переменных неотрицательны. Далее рассмотрим два случая.
1) Значения всех переменных неотрицательны. Выберем переменную, значение которой максимально и рассмотрим уравнение с тем же порядковым номером, что у этой переменной. Скажем, если максимально 
то
противоречие. Остальные два случая рассматриваются аналогично.
2) Среди значений переменных есть отрицательное. Скажем, если 
то 
— противоречие. Остальные два случая рассматриваются аналогично.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Сведение к случаю, когда значения хотя бы двух переменных неотрицательны (или не положительны). | 1 |
| Рассмотрение каждого из случаев 1) и 2). | 3 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Найти все решения уравнения: 
Из рассмотрения области определения сразу следует, что 
и 
Заметим, что, при 
будет 
с одновременным превращением неравенств в строгие при 
поэтому единственной точкой области определения будет 
что, как легко убедиться подстановкой, является решением уравнения.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Угадан верный ответ. | 1 |
| Верно записана область определения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Решить в целых числах уравнение 
Так как 
и 
при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 то 
может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 20 172 018 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: целочисленных решений нет.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Рассуждения в целом верные, но правильный ответ недостаточно обоснован — 3 балла. Получен верный ответ без обоснования или с неверным обоснованием — 0 баллов.
Решите уравнение:
I способ Метод мажорант. Преобразуем исходное выражение:
Так как каждая дробь в левой части уравнения не превосходит единицы, а таких дробей всего 1009, то уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда каждая дробь обращается в единицу. Следовательно,
II способ. Замена переменной. Пусть 
тогда
Так как выражение в квадратных скобках положительно, то
Ответ: −1.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Получены некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном направлении — 3−4 балла. Ответ получен подбором, но при этом выполнена проверка — 1 балл.
Положительные числа x, y и z таковы, что xyz = 20, x + y + z = 9. Докажите, что 
Выразим 
через 
Для этого заметим, что 
а 
откуда
Это выражение при положительных x принимает отрицательные значения только если 
То же самое можно заключить про остальные переменные. При этом все три переменные не могут быть быть больше 5, так как тогда их сумма слишком велика.
Таким образом, мы доказали, что если хотя бы одна из переменных лежит в промежутке от 0 до 5, сумма попарных произведений не меньше 24, а обратный случай невозможен. На самом деле, можно убедиться, что все переменные лежат в промежутке от 0 до 5.
В ходе решения участник олимпиады может пытаться использовать метод Штурма, неравенства о средних для двух или трёх переменных и другие известные неравенства и приёмы. Известные неравенства разрешается использовать без доказательства.
Положительные числа x, y и z таковы, что xyz = 24, x + y + z = 10. Докажите, что 
Выразим через x. Для этого заметим, что 
а 
откуда
Это выражение при положительных x принимает отрицательные значения только если 
То же самое можно заключить про остальные переменные. При этом все три переменные не могут быть быть больше 6, так как тогда их сумма слишком велика.
Таким образом, мы доказали, что если хотя бы одна из переменных лежит в промежутке от 2 до 6, сумма попарных произведений не меньше 28, а обратный случай невозможен. (На самом деле, можно убедиться, что все переменные лежат в промежутке от 2 до 6).
В ходе решения участник олимпиады может пытаться использовать метод Штурма, неравенства о средних для двух или трёх переменных и другие известные неравенства и приёмы. Известные неравенства разрешается использовать без доказательства.
Решить систему уравнений:
Из третьего уравнения системы находим 
откуда 
Следовательно, 
либо 
1) Пусть 
тогда и первое, и второе уравнения сводятся к равенству 
Следовательно, 
либо 
Таким образом, решениями являются всевозможные тройки чисел вида
2) Пусть 
Вычитая из второго уравнения исходной системы удвоенное первое, подучим 
Так как то 
Учитывая условие 
После чего из первого или второго уравнения исходной системы находим 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите уравнение 
Пусть 
тогда исходное уравнение перепишется в виде 
Следовательно, 
или 
Покажем, что других корней нет:
1) если предположить, что 
то 
и 
2) если предположить, что 
то 
и 
И в 1) и 2) случаях уравнение не станет тождеством. Если 
то 
если 
то 
или 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Пусть x, y, x и t — неотрицательные числа, такие что 
Докажите, что
Рассмотрим на плоскости следующие точки:
Тогда длина ломаной ABCDEF совпадает с выражением, которое требуется оценить. По неравенству треугольника длина ломаной ABCDEF не меньше длины отрезка AF. С учетом того, что 
координаты точки F 
Решите уравнение:
Докажем сначала следующие формулы по индукции в случае, если 
Первая формула. База 
—
Получаем:
Вторая формула. База 
верное утверждение. Переход: предположим, что утверждение верно для некоторого n, докажем, что оно верно и для Получаем:
Разберём сначала случай 
В этом случае левая часть уравнения превращается в 0, а правая это 1009 или −1009, то есть числа 
при целых k не является решениями задачи. Воспользовавшись доказанными выше формулами, превратим исходное уравнение в
откуда 
или 
В первом случае получаем 
где 
откуда 
где 
При этом, так как 
число k не делится на 1009.
Во втором случае получаем 
где 
откуда 
где Для таких чисел поэтому из этого множеств а решений никакие числа исключать не приходится.
Ответ:
1) 
k не делится на 1009.
2) 
1) k не делится на 1009.
2)
Пусть x, y, x и t — неотрицательные числа, такие что 
Докажите, что
Рассмотрим на плоскости следующие точки:
Тогда длина ломаной ABCDEF совпадает с выражением, которое требуется оценить. По неравенству треугольника длина ломаной ABCDEF не меньше длины отрезка AF. С учетом того, что 
координаты точки F это 
Решите уравнение:
Докажем сначала следующие формулы по индукции в случае, если
Первая формула. База 
— Получаем:
Вторая формула. База 
—
Разберём сначала случай 
В этом случае левая часть уравнения превращается в 0, а правая это 1007 или −1007, то есть числа при целых k не являются решениями за дачи. Воспользовавшись доказанными выше формулами, превратим исходное уравнение в
откуда 
или 
В первом случае получаем 
откуда 
где 
При этом, так как число k не делится на 1007.
Во втором случае получаем 
откуда 
Для таких чисел поэтому из этого множества решений никакие числа исключать не приходится.
Ответ:
1) 
k не делится на 1007;
2) 
1) k не делится на 1007;
2)
Докажите, что для положительных x, y, z выполняется следующее неравенство:
Рассмотрим первые две скобки и заметим, что
Тогда мы можем переписать требуемое неравенство в виде
Теперь зафиксируем z и 
и будем сдвигать 
и y друг к другу. При этом 
увеличивается, и достигает максимума 
т. е.
Обозначим 
тогда неравенство превращается в
Взяв производную, можно убедиться, что минимум левой части достигается при 
и равен 0 , что доказывает требуемое неравенство. Таким образом, минимум исходного выражения достигается при 
Найдите количество пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих системе неравенств
Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.
Пусть 
и 
В силу того, что 
выпукла вниз, а 
— и могут иметь не более двух общих точек. Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно,
На промежутке 
график лежит ниже графика 
Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых 
(так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).
Заметим, что на отрезке [7; 69] графики функций и лежат выше оси Оx. Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества 
целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке [7; 69], вычтем количество 
целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке [7; 69]. При этом мы учтём, что первое неравенство системы строгое, а второе — нет.
Найдём 
Так как на отрезке [7; 69] лежат 
целочисленные точки, то
Найдём 
Имеем:
Искомое количество равно
Ответ: 
Найдены координаты точек пересечения графиков — 2 балла (по одному баллу за каждую точку).
Выпуклость вниз графика показательной функции и количество точек пересечения графиков обосновывать не обязательно.
Количество точек посчитано, но результат не представлен в требуемом виде — 2 балла.
При подсчёте неверно учтены граничные точки — снять 1 балл.
Найдите количество пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих системе неравенств
Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.
Пусть 
и 
В силу того, что выпукла вниз, а — и могут иметь не более двух общих точек. Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно,
На промежутке 
график лежит ниже графика Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых 
(так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).
Заметим, что на отрезке [5; 84] графики функций и лежат выше оси Оx. Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке [5; 84], вычтем количество целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке [5; 84]. При этом мы учтём, что второе неравенство системы строгое, а первое — нет.
Найдём Так как на отрезке [5; 84] лежат целочисленные точки, то
Найдём Имеем:
Искомое количество равно
Ответ: 
Найдены координаты точек пересечения графиков — 2 балла (по одному баллу за каждую точку).
Выпуклость вниз графика показательной функции и количество точек пересечения графиков обосновывать не обязательно.
Количество точек посчитано, но результат не представлен в требуемом виде — 2 балла.
При подсчёте неверно учтены граничные точки — снять 1 балл.
Докажите, что для положительных x, y, z выполняется следующее неравенство:
Рассмотрим первые две скобки и заметим, что
Тогда мы можем переписать требуемое неравенство в виде
Теперь зафиксируем z и 
и будем сдвигать x и 
друг к другу. При этом увеличивается, и достигает максимума при 
остальные части выражения остаются постоянными. Значит, требуемое равенство будет следовать из неравенства, полученного подстановкой в него 
т. е.
Обозначим 
тогда неравенство превращается в
Взяв производную, можно убедиться, что минимум левой части достигается при 
и равен 0, что доказывает требуемое неравенство. Таким образом, минимум и сходного выражения достигается при 
Решите неравенства:
а) 
б) 
в) Докажите, что уравнение 
имеет решения при любых целых k.
а) Сделав замену
получим неравенство 
которое можно решить стандартным методом, однако с некоторой целью построим график функции, заданной формулой 
(см. рисунок). Ясно, что неравенство 
выполняется при 
значит, 
Ответ: 
б) Замена 
приводит к неравенству 
или 
где 
(см. пункт а)). Из графика функции f (см. рисунок) получаем, что 
или 
или 
откуда и следует ответ.
Ответ: 
в) Аналогично предыдущим пунктам, сделав замену 
получим уравнение 
или 
Множеством значений 
при 
является объединение лучей 
(см. рис.), которое содержит все целые числа.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) Замена приводит к неравенству или где (см. пункт а)). Из графика функции f (см. рисунок) получаем, что или или откуда и следует ответ.
Решите неравенства:
а) 
б) 
в) Найдите все такие целые k, что уравнение 
не имеет решений.
а) Неравенство определено при 
и при таких x можно домножить его на 
и возвести потом в квадрат (обе части будут неотрицательны)
Корнями уравнения 
будут 
поэтому множеством решения неравенства будут 
Ясно, что 
поэтому учитывая условие 
получим окончательный ответ 
Ответ: 
б) Найдем область определения неравенства. Требуется выполнение следующих условий: 
и 
Последнее условие дает 
и 
Вместе с первыми получим область определения 
Теперь преобразуем неравенство и сделаем замену 
тогда 
и
Неравенство примет вид
С помощью метода интервалов получим ответ 
Отсюда 
где 
Поскольку все такие x входят в ОДЗ неравенства, это и есть окончательный ответ.
Ответ: 
в) Преобразуем уравнение
Обозначим 
тогда уравнение примет вид 
и нам нужно, чтобы это уравнение не имело корней на промежутке 
Для этого достаточно, чтобы были положительны значения в концах этого отрезка и при 
если 
то есть при 
Подставляя 
получим 
т. е. 
где 
Подставляя 
получим 
т. е. 
где 
Подставляя 
получим
Первым двум условиям удовлетворяют 
При этом для 
этих условий достаточно. Для прочих k еще нужно выполнение условий 
поэтому 
не подходит. Окончательно 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Наверх