сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 6 7 8 9

Всего: 216    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Во­круг тре­уголь­ни­ка ABC с углом ∠B = 60° опи­са­на окруж­ность. Ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, про­ведённые в точ­ках A и C, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке B1. На лучах AB и CB от­ме­ти­ли точки A0 и C0 со­от­вет­ствен­но так, что AA0 = AC = CC0. До­ка­жи­те, что точки A0, C0, B1 лежат на одной пря­мой.


Через точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми тре­уголь­ни­ка про­ве­ли пря­мые, со­от­вет­ствен­но па­рал­лель­ные бис­сек­три­сам про­ти­во­по­лож­ных углов. До­ка­жи­те, что эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.


Через точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми тре­уголь­ни­ка про­ве­ли пря­мые, со­от­вет­ствен­но па­рал­лель­ные бис­сек­три­сам про­ти­во­по­лож­ных углов. До­ка­жи­те, что эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.


Во­круг тре­уголь­ни­ка ABC с углом ∠B = 60° опи­са­на окруж­ность. Ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, про­ведённые в точ­ках A и C, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке B1. На лучах AB и CB от­ме­ти­ли точки A0 и C0 со­от­вет­ствен­но так, что AA0 = AC = CC0. До­ка­жи­те, что точки A0, C0, B1 лежат на одной пря­мой.


На сколь­ко ча­стей могут де­лить плос­кость 7 раз­лич­ных ка­са­тель­ных к дан­ной окруж­но­сти? При­ве­ди­те при­ме­ры для всех от­ве­тов и до­ка­жи­те, что дру­гих не су­ще­ству­ет.


Внут­ри вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка ABCD рас­по­ло­же­ны че­ты­ре окруж­но­сти од­но­го ра­ди­у­са так, что они имеют общую точку и каж­дая из них впи­са­на в один из углов четырёхуголь­ни­ка. До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник ABCD впи­сан­ный.


Ка­са­тель­ная l к окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб, пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ны AB и BC в точ­ках E и F со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что про­из­ве­де­ние AEFC не за­ви­сит от вы­бо­ра ка­са­тель­ной l.


На плос­ко­сти дан от­ре­зок АВ и на нём про­из­воль­ная точка М. На от­рез­ках АМ и МВ как на сто­ро­нах по­стро­е­ны квад­ра­ты AMCD и MBEF , ле­жа­щие по одну сто­ро­ну от АВ, и N  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых AF и BC. До­ка­жи­те, что при любом по­ло­же­нии точки М на от­рез­ке АВ каж­дая пря­мая МN про­хо­дит через не­ко­то­рую точку S, общую для всех таких пря­мых.


В тре­уголь­ни­ке ABCB = 90°, ∠A = 30°. Впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB в точке P, а сто­ро­ны AC  — в точке Q; M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AC. До­ка­жи­те, что PM = PQ.


На плос­ко­сти задан ко­неч­ный набор рав­ных кру­гов. Из­вест­но, что для любых 4 кру­гов есть пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая не­ко­то­рые 3 из них. До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет 12 пря­мых, таких что каж­дый круг пе­ре­се­ка­ет­ся хотя бы с одной из них.


В квад­рат АВСD впи­са­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся его сто­рон АВ, ВС, СD, DA в точ­ках P, Q, R и S со­от­вет­ствен­но. На от­рез­ках АР и АS взяты точки M и N так, что от­ре­зок MN ка­са­ет­ся впи­сан­ной окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что от­рез­ки МС и NR па­рал­лель­ны.


Дан опи­сан­ный че­ты­рех­уголь­ник ABCD, у ко­то­ро­го ра­ди­у­сы впи­сан­ных окруж­но­стей тре­уголь­ни­ков ABC и ADC равны. Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми AC и BD.


Дан опи­сан­ный че­ты­рех­уголь­ник ABCD, у ко­то­ро­го ра­ди­у­сы впи­сан­ных окруж­но­стей тре­уголь­ни­ков ABC и ADC равны. Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми AC и BD.


На про­дол­же­нии диа­мет­ра АВ по­лу­кру­га за точку В взята про­из­воль­ная точка С, через ко­то­рую про­ве­де­на ка­са­тель­ная к этому по­лу­кру­гу, ка­са­ю­ща­я­ся его в точке Е. Пусть бис­сек­три­са угла ВСЕ пе­ре­се­ка­ет хорды АЕ и ВЕ по­лу­кру­га в точ­ках К и М со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник КЕМ рав­но­бед­рен­ный.


Окруж­но­сти S1 и S2 ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке X. Пря­мая AX пе­ре­се­ка­ет окруж­ность S1 в точке A, а окруж­ность S2 —  в точке C. Пря­мая BX пе­ре­се­ка­ет окруж­ность S1 в точке B, а окруж­ность S2 —  в точке D. Окруж­ность S3 ка­са­ет­ся пря­мой BD в точке B и пе­ре­се­ка­ет луч XA в точ­ках A и P. До­ка­жи­те, что точки P, B, C и D лежат на одной окруж­но­сти.


Аналоги к заданию № 519: 527 Все


Окруж­но­сти S1 и S2 ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке M. Пря­мая MC пе­ре­се­ка­ет окруж­ность S1 в точке A, а окруж­ность S2 —  в точке C. Пря­мая MD пе­ре­се­ка­ет окруж­ность S1 в точке B, а окруж­ность S2 —  в точке D. Окруж­ность S3 ка­са­ет­ся пря­мой AC в точке C и пе­ре­се­ка­ет луч MD в точ­ках K и D. До­ка­жи­те, что точки K, B, A и C лежат на одной окруж­но­сти.


Аналоги к заданию № 519: 527 Все


Около окруж­но­сти ра­ди­у­са 6 опи­са­на рав­но­боч­ная тра­пе­ция. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если из­вест­но, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го слу­жат точки ка­са­ния окруж­но­сти и тра­пе­ции, равна 48.



Рас­сто­я­ние между цен­тра­ми O_1 и  O_2 окруж­но­стей \omega _1 и \omega_2 равно 5r, а их ра­ди­у­сы равны со­от­вет­ствен­но r и 7r. Хорда окруж­но­сти \omega_2 ка­са­ет­ся окруж­но­сти \omega_1 и де­лит­ся точ­кой ка­са­ния в от­но­ше­нии 1:6. Най­ди­те длину этой хорды.


Рас­сто­я­ние между цен­тра­ми O_1 и O_2 окруж­но­стей \omega_1 и \omega_2 равно 10r, а их ра­ди­у­сы равны со­от­вет­ствен­но 5r и 6r. Пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая окруж­ность \omega_1 в точ­ках М и N ка­са­ет­ся окруж­но­сти \omega_2 в точке K, при­чем MN=2NK. Най­ди­те длину хорды MN.

Всего: 216    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80