сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 9

Всего: 357    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Най­ди­те все такие числа k, для ко­то­рых  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ! левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 2016 плюс k в квад­ра­те .

Зна­ком n! обо­зна­чен фак­то­ри­ал числа n, то есть про­из­ве­де­ние всех целых чисел от 1 до n вклю­чи­тель­но (опре­де­лен толь­ко для целых не­от­ри­ца­тель­ных чисел; 0!  =  1).


На сто­ро­нах AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, при­чем AM  =  AN. От­рез­ки CM и BN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, при­чем BO  =  CO. До­ка­жи­те, что ABC рав­но­бед­рен­ный.


Пя­ти­знач­ное число нра­вит­ся Лидии, если ни одна из цифр в его за­пи­си не де­лит­ся на 3. Най­ди­те общую сумму цифр всех пя­ти­знач­ных чисел, ко­то­рые нра­вят­ся Лидии.


На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти на­ри­со­ва­ли рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC: AB  =  2016, BC  =  AC  =  1533, при­чем вер­ши­ны A и B лежат в узлах на одной го­ри­зон­та­ли. Опре­де­ли­те, сколь­ко узлов лежит в тре­уголь­ни­ке ABC (вклю­чая узлы, ле­жа­щие на сто­ро­нах). Узлом на­зы­ва­ет­ся точка ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти, у ко­то­рой обе ко­ор­ди­на­ты целые.


На плос­ко­сти рас­по­ло­же­но 100 пря­мо­уголь­ни­ков, сто­ро­ны ко­то­рых па­рал­лель­ны ко­ор­ди­нат­ным осям. Каж­дый пе­ре­се­ка­ет­ся хотя бы с 90 дру­ги­ми. До­ка­жи­те, что най­дет­ся пря­мо­уголь­ник, пе­ре­се­ка­ю­щий­ся со всеми.


В не­ко­то­ром тре­уголь­ни­ке сумма тан­ген­сов углов ока­за­лась равна 2016. Оце­ни­те (хотя бы с точ­но­стью до 1 гра­ду­са) ве­ли­чи­ну наи­боль­ше­го из его углов.


На­зо­вем ти­пич­ным любой пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, все раз­ме­ры ко­то­ро­го (длина, ши­ри­на и вы­со­та) раз­лич­ны. На какое наи­мень­шее число ти­пич­ных па­рал­ле­ле­пи­пе­дов можно раз­ре­зать куб? Не за­будь­те до­ка­зать, что это дей­стви­тель­но наи­мень­шее ко­ли­че­ство.


Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа n, для ко­то­рых 2 в сте­пе­ни n плюс n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2016 пра­вая круг­лая скоб­ка   — про­стое число.


В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD внут­ри тре­уголь­ни­ка ADC вы­бра­на точка E, при­чем \angleBAE = \angleBEA = 80 гра­ду­сов, \angleCAD = \angleCDA=80 гра­ду­сов и \angleEAD = \angleEDA=50 гра­ду­сов. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BEC рав­но­сто­рон­ний.


В игре «сет» участ­ву­ют все­воз­мож­ные че­ты­рех­знач­ные числа, со­сто­я­щие из цифр 1, 2, 3 (каж­дое число по од­но­му разу). Го­во­рят, что трой­ка чисел об­ра­зу­ет сет, если в каж­дом раз­ря­де либо все три числа со­дер­жат одну и ту же цифру, либо все три числа со­дер­жат раз­ные цифры. Слож­но­стью сета будем на­зы­вать ко­ли­че­ство таких раз­ря­дов, где все три цифры раз­лич­ны.

На­при­мер, числа 1232, 2213, 3221 об­ра­зу­ют сет слож­но­сти 3 (в пер­вом раз­ря­де встре­ча­ют­ся все три цифры, во вто­ром  — толь­ко двой­ка, в тре­тьем  — все три цифры, в чет­вер­том  — все три цифры); числа 1231, 1232, 1233  — сет слож­но­сти 1 (в пер­вых трех раз­ря­дах цифры сов­па­да­ют, и толь­ко в чет­вер­том все цифры раз­лич­ны). А числа 1123, 2231, 3311 во­об­ще не об­ра­зу­ют сета (в по­след­нем раз­ря­де встре­ча­ют­ся две еди­ни­цы и трой­ка).

Сетов какой слож­но­сти в игре боль­ше всего и по­че­му?


Каж­дая клет­ка доски 1000 × 1000 по­кра­ше­на в синий или белый цвет. На­зо­вем клет­ку рав­но­вес­ной, если среди ее со­се­дей по­ров­ну синих и белых. Можно ли рас­кра­сить доску так, чтобы на ней было более 600 000 синих рав­но­вес­ных кле­ток? (Клет­ки счи­та­ют­ся со­сед­ни­ми, если имеют общую сто­ро­ну).


Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа n, для ко­то­рых 2 в сте­пе­ни n плюс n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2016 пра­вая круг­лая скоб­ка   — про­стое число.


В трех­мер­ном про­стран­стве за­да­на стан­дарт­ная си­сте­ма ко­ор­ди­нат. Най­ди­те пло­щадь мно­же­ства точек удо­вле­тво­ря­ю­щих сле­ду­ю­щим усло­ви­ям: x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =5, |x минус y| мень­ше 1 и  |y минус z| мень­ше 1.


В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD внут­ри тре­уголь­ни­ка ADC вы­бра­на точка E, при­чем \angleBAE = \angleBEA = 80 гра­ду­сов, \angleCAD = \angleCDA=80 гра­ду­сов и \angleEAD = \angleEDA=50 гра­ду­сов. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BEC рав­но­сто­рон­ний.


В игре «сет» участ­ву­ют все­воз­мож­ные че­ты­рех­знач­ные числа, со­сто­я­щие из цифр 1, 2, 3 (каж­дое число по од­но­му разу). Го­во­рят, что трой­ка чисел об­ра­зу­ет сет, если в каж­дом раз­ря­де либо все три числа со­дер­жат одну и ту же цифру, либо все три числа со­дер­жат раз­ные цифры. Слож­но­стью сета будем на­зы­вать ко­ли­че­ство таких раз­ря­дов, где все три цифры раз­лич­ны.

На­при­мер, числа 1232, 2213, 3221 об­ра­зу­ют сет слож­но­сти 3 (в пер­вом раз­ря­де встре­ча­ют­ся все три цифры, во вто­ром  — толь­ко двой­ка, в тре­тьем  — все три цифры, в чет­вер­том  — все три цифры); числа 1231, 1232, 1233  — сет слож­но­сти 1 (в пер­вых трех раз­ря­дах цифры сов­па­да­ют, и толь­ко в чет­вер­том все цифры раз­лич­ны). А числа 1123, 2231, 3311 во­об­ще не об­ра­зу­ют сета (в по­след­нем раз­ря­де встре­ча­ют­ся две еди­ни­цы и трой­ка).

Сетов какой слож­но­сти в игре боль­ше всего и по­че­му?


Тип 0 № 1877
i

Том и Джер­ри бе­га­ют друг за дру­гом по трас­се в виде восьмёрки (см. рис.). Они бегут в одном на­прав­ле­нии и с по­сто­ян­ны­ми ско­ро­стя­ми. В на­чаль­ный мо­мент Джер­ри был точно над Томом. Через 20 минут Том ока­зал­ся точно над Джер­ри, причём ни один из них не успел про­бе­жать трас­су пол­но­стью. В мо­мент, когда Джер­ри про­бе­жал ровно один круг с на­ча­ла пути, Том на­ко­нец до­гнал его. Сколь­ко вре­ме­ни Том гнал­ся за Джер­ри?

Источник/автор: Иван Перов

Двое иг­ра­ют в такую игру. Они по оче­ре­ди на­зы­ва­ют четырёхзнач­ные числа, у ко­то­рых нет нулей в за­пи­си, а сумма цифр де­лит­ся на 9. При этом каж­дое сле­ду­ю­щее число долж­но на­чи­нать­ся с той же цифры, на ко­то­рую кон­ча­ет­ся преды­ду­щее, на­при­мер: 3231  — 1539  — 9756  — 6561 ... По­вто­рять числа нель­зя. Тот, кто не может на­звать оче­ред­ное число, про­иг­ры­ва­ет. Кто из иг­ро­ков  — на­чи­на­ю­щий или его со­пер­ник  — может вы­иг­рать не­за­ви­си­мо от игры дру­го­го?


До­ка­жи­те, что пря­мо­уголь­ник 1 × 10 можно раз­ре­зать на 5 ча­стей и со­ста­вить из них квад­рат.


На плос­ко­сти от­ме­че­ны 2n плюс 1 точек, причём ни­ка­кие три точки не лежат на одной пря­мой, а ни­ка­кие че­ты­ре  — на одной окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет окруж­ность, про­хо­дя­щая через три из этих точек, внут­ри ко­то­рой лежит n минус 1 точек и сна­ру­жи  — тоже n минус 1.


На доске 8 × 8 кле­ток можно рас­по­ло­жить не­сколь­ко до­ми­но­шек (то есть пря­мо­уголь­ни­ков из двух кле­ток), не на­кра­ды­ва­ю­щих­ся друг на друга. Пусть N  — ко­ли­че­ство спо­со­бов по­ло­жить так 32 до­ми­нош­ки, а S  — ко­ли­че­ство спо­со­бов по­ло­жить так 16 до­ми­но­шек. Что боль­ше  — N или S? Спо­со­бы, ко­то­рые по­лу­ча­ют­ся друг из друга по­во­ро­том или от­ра­же­ни­ем доски, счи­та­ют­ся раз­лич­ны­ми.

Всего: 357    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80