Всего: 144 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что среди них есть хотя бы два одинаковых.
В каждой клетке таблицы 10 на 10 записан минус. За одну операцию разрешается одновременно менять на противоположные знаки во всех клетках некоторого столбца и некоторой строки (плюс на минус и наоборот). За какое минимальное количество операций можно добиться того, что все знаки в таблице станут плюсами?
(всего 9 девяток) в виде суммы двух чисел В и С, суммы цифр которых одинаковы. Если при сложении цифр последних разрядов В и С происходит переход единицы в предыдущий разряд, то последняя цифра суммы не превосходит 8. Но в последнем разряде А стоит девятка, поэтому перехода единицы не происходит и сумма цифр последних разрядов В и С равна 9. Аналогично, рассуждая слева направо для оставшихся разрядов, видим, что в каждом разряде В и С сумма цифр равна 9 и перехода единицы не происходит. При этом мы считаем, что в первом разряде одного из них стоит 0. Тогда сумма цифр В плюс сумма цифр С, равная удвоенной сумме цифр В, должна равняться сумме цифр А, то есть 91 — нечётному числу. Противоречие.
(все дроби с натуральными числителем и знаменателем, сумма числителя и знаменателя которых равна 101) выбрать три, произведение которых равно 1?
произведение которых равно 1. Тогда 
Бухгалтеры, менеджеры и экономисты банка сидят за круглым столом. Когда директор попросил поднять руку бухгалтеров, рядом с которыми сидит экономист, руку подняли 20 человек. А когда директор попросил поднять руку менеджеров, рядом с которыми сидит экономист, руку подняли 25 человек. Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку сидит сразу два экономиста.
таких, что среди всех возможных попарных сумм этих натуральных чисел ровно 7 различных. Общее количество пар из n чисел равно 
и должно быть не меньше 7, поэтому 
С другой стороны, ввиду очевидных неравенств: 
имеем 
и 
Следовательно, 
и каждая невыписанная попарная сумма чисел 
и все они больше 
и меньше 
По условию, они должны совпадать с суммами 
в указанном порядке. Отсюда: 
следовательно, числа 
образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма равна 
откуда следует, что число 4032 должно делиться на 5 — противоречие. 
.
.На доске написано несколько цифр (среди них могут быть одинаковые). На каждом шаге две цифры стираются и пишутся цифры, из которых состоит их произведение. (Например, вместо 5 и 6 пишется 3 и 0, а вместо 2 и 4 пишется 8). Доказать, что через несколько шагов на доске останется одна цифра.
В конференции принял участие 281 сотрудник из 7 различных филиалов фирмы. В каждой группе из шести участников конференции по меньшей мере двое были одного возраста. Докажите, что среди всех участников можно найти пятерых одного возраста, одного пола и из одного филиала фирмы.
Десять пиратов делят между собой золотые и серебряные монеты. Серебряных монет в два раза больше, чем золотых. Они разделили золотые монеты так, что разница между количеством золотых монет у любых двух пиратов не делится на 10. Докажите, что они не смогут разделить серебряные монеты подобным образом.
равна сумме цифр А плюс сумма цифр В минус число переходов единицы в следующий разряд при сложении, умноженное на 9. По условию, сумма цифр А вдвое больше суммы цифр В, поэтому их общая сумма делится на 3, значит, и сумма цифр 
должна делиться на 3 — противоречие с тем, что сумма цифр числа 2017 равна 10.В системе из трёх линейных уравнений 
от трёх переменных x, y, z коэффициенты А, Е, I — положительны, а остальные отрицательны, и каждый из А, Е, I больше модуля суммы двух оставшихся коэффициентов того же уравнения. Докажите, что система имеет единственное решение 
то 
то 
— противоречие. Остальные два случая рассматриваются аналогично.
известно, что он имеет два различных корня и удовлетворяет условию 
для любых x и y. Возможно ли, чтобы хотя бы один из корней 
и подставим в неравенство, следовательно, получим, что 
для любого x.
для любого 
Отметим, что из этого, в частности, следует, что ветви параболы направлены вверх. Так как абсцисса 
вершины параболы положительна, то с одной стороны для нее должно выполняться 
а с другой стороны 
Пришли к противоречию.В некоторой стране 100 городов и 146 авиакомпаний. Любые два города соединены двусторонними рейсами одной или нескольких авиакомпаний. Стоимость перелета между городами, соединенными рейсами k авиакомпаний, одинакова и 
т. е. 
но не меньших 
всего k. Значит, в каждом из городов, которые соединяет самый дорогой рейс, есть ещё не более k рейсов не дешевле 
то есть в сего их в этих двух городах не более 
(не считая самого дорогого). Но это значит, что в какой-то из оставшихся 98 городов из обоих концов самого дорогого рейса ведут рейсы ценой ниже 
Следовательно, если мы воспользуемся этими двумя рейсами, мы сможем пролететь между концами самого дорогого рейса дешевле, чем этим рейсом, что противоречит условию. Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.В некоторой стране 50 городов и 71 авиакомпаний. Любые два города соединены двусторонними рейсами одной или нескольких авиакомпаний. Стоимость перелета между городами, соединенными рейсами k авиакомпаний, одинакова и
т. е. 
(не считая самого дорогого). Но это значит, что в какой-то из оставшихся 48 городов из обоих концов самого дорогого рейса ведут рейсы ценой ниже 
и 
удовлетворяют условию 
Возможно ли, чтобы 
имели общий корень?
Так как все коэффициенты многочленов положительны, то все корни (если они есть) отрицательны, то есть 
Общий корень 
удовлетворяет условию 
Учитывая условие, что 
получим, что 
откуда следует, что 
Получили противоречие.
и 
удовлетворяют условию k > m > n > l > 0. Возможно ли, чтобы f(x) и p(x) имели общий корень?Раскраска клеток таблицы 100 × 100 в чёрный и белый цвета называется допустимой, если в каждой строке и каждом столбце от 50 до 60 чёрных клеток. Разрешается изменить цвет одной из клеток допустимой раскраски, если она остаётся допустимой. Докажите, что такими операциями можно получить из любой допустимой раскраски любую другую.
(О. Иванова)
(назовём их ЛВ, ПН) полностью черные, а два других, ЛН и ПВ, — белые. Поскольку операции обратимы, достаточно научиться из любой допустимой раскраски получать раскраску θ. А для этого, в свою очередь, достаточно научиться в любой допустимой раскраске 
увеличивать число квадратов, раскрашенных так же, как в θ.
Значит, τ содержит белые клетки в ЛВ, ни одну из которых нельзя перекрасить. Тогда каждая из этих белых клеток лежит либо в предельно черной строке (т. е. в строке, содержащей 60 черных клеток), либо в предельно черном столбце.
черных клеток, из них 
клеток находятся в ЛВ, значит, остальные 
черных клеток расположены в ПВ. Ни одну из них тоже не перекрасить — это может быть лишь потому, что каждая стоит в столбце, содержащем 50 черных и 50 белых клеток. Так как в этих столбцах есть не менее