Поиск
?
Всего: 34 1–20 | 21–34
Добавить в вариант
при нечетном 
Докажите, что при 
числа 
и 
иррациональны.
(p и q — взаимно простые числа) является корнем многочлена 
то p является делителем a0, а q — делителем ak. Предположим, что 
Тогда
тогда как значение правой части рационально.
Тогда 
где 
∪
Но то невозможно, так как при 
выполняется неравенство 
p — нечётное число; более того, если n∉
то всегда можно выбрать p так, что 
Тогда
иррационально. Значит, число 
также иррационально, ибо в противном случае рациональной была бы и правая часть последнего равенства.
показано, что 
число 
иррационально. Предположим, что при некотором n 
Тогда 
иррационально, следовательно, иррационально и число 
Далее из равенства 
Найдите сумму a + b.
для всех a, b, c > 0.
Тогда при любом x разность 
это невозможно, поскольку уравнение 
имеет решение относительно x. Стало быть, 
и 
Тогда разность 
с рациональным b подходят, поскольку число 
в виде полного куба, то есть 
то 
Поскольку 
В этой связи первое уравнение системы 
принимает вид 
Отсюда следует, что 
Так 
и 
где 
тогда 
отсюда
где 
тогда 
отсюда
и 
Тогда 
Таким образом, получаем в результате 
рационально, является бесконечным.
и 
при некоторых рациональных числах a, b. Из данных уравнений имеем 
и 
где 
и 
Поскольку Числа a1, a2, a3, a4, a5, a6 и a7 образуют геометрическую прогрессию, при этом среди них есть как рациональные числа, так и иррациональные. Какое наибольшее количество членов этой прогрессии могут быть рациональными числами? Ответ обосновать.
получим геометрическую прогрессию 1, 
2, 
4, 
8. Если среди ai есть 5 рациональных чисел, то найдутся два подряд идущих рациональных числа геометрической прогрессии. Это означает, что знаменатель прогрессии (отношения последующего члена к предыдущему) есть рациональное число. Но тогда при рациональном числе a1 — все члены прогрессии есть рациональные числа, при иррациональном — все иррациональные. В случае, когда a1 и 
2, 
получим
и 
являются целыми.
Тогда числа 
и 
должны являться полными квадратами. Если одно из чисел 
равно нулю, то второе также должно являться полным квадратом. Если оба числа больше нуля, то 
и 
Раскрыв скобки и сложив, получаем 
чего не может быть. 
при всех 
такой, что каждое из них равно 
или 
и выполняется равенство
(если оба равны 
и 
(если оба равны 
Обозначим количество пар соседних чисел с произведением 
Получаем соотношения 
последнее соотношение может быть выполнено только при 
Получается, что ровно 49 пар соседних чисел состояли из разных чисел. Но при единице расстановке двух типов чисел по кругу количество пар соседних чисел разного типа всегда четно, так как при обходе круга пары типа 
чередуются с парами 
целое. Поскольку 
то A2 — четный квадрат, меньший 
Следовательно, 
и 
В итоге, 
подходит.
целое. Поскольку 
то A2 — четный квадрат, меньший 
Следовательно, 
В итоге, 
целое. Поскольку 
—
Следовательно, 
В итоге, 
и 
(в задаче 
следует, что 
и 
Возведя первое равенство в квадрат и вычтя из него второе, получим: 
Отсюда следует, что одно из чисел равно нулю, а другое равно п. Без ограничения общности 
и 
Тогда 
раз.Найдите хоть одно вещественное число A со свойством: для любого натурального n расстояние от верхней целой части числа An до ближайшего квадрата целого числа равно 2. (Верхняя целая часть числа x — наименьшее целое число, не меньшее x).
(Дмитрий Креков)
его корни — это 
и 
Заметим, что сумма и произведение этих корней — целые, а тогда и сумма 
целая при любом натуральном n (это нетрудно доказать по индукции или просто раскрыв скобки: слагаемые с 
либо входят в чётной степени, либо взаимно уничтожаются).
точный квадрат, и он равен 
то есть отстоит на 2 от числа 
которое, в свою очередь, есть верхняя целая часть числа 
(поскольку второй корень положителен и меньше 1). Но тогда число 
— искомое.
где n — натуральное число, не меньшее 3. Действительно, как и в решении выше, сумма корней 
этого многочлена оказывается целой, откуда для 
следует утверждение задачи.
до ближайшего целого стремится к нулю с ростом t. На самом деле, чисел, степени которых становятся всё ближе и ближе к целым числам, больше (но про остальные нельзя сказать, что они подходят для решения данной задачи!).
—
вещественный, и расстояние от 
до ближайшего целого числа стремится к 0 с ростом n. Это следует из того, что сумма n-х степеней всех корней многочлена 