Всего: 25 1–20 | 21–25
Добавить в вариант
В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату — на 15%, если же зарплату удвоят папе — на 25%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?
и если её удвоят, то доход семьи вырастет на 55%. 
и 
Найдите x100.
следующим образом: 
то есть 
Подставив это представление 
в рекуррентную формулу, мы получим 
Можно заметить, что разность двух соседних членов каждый раз увеличивается в три раза, что характерно для геометрической прогрессии со знаменателем 3. Значит, имеет смысл искать 
можно проверить, что такая любая такая последовательность удовлетворяет рекуррентной формуле. Подставляя начальные значения и решая систему уравнений, находим 
и 
откуда 
и 
Найдите x100.
откуда 
Можно заметить, что разность двух соседних членов каждый раз увеличивается в два раза, что характерно для геометрической прогрессии со знаменателем 2. Значит, имеет смысл искать 
—
и 
откуда 
и 
Многочлены Чебышева первого рода определены формулой
а) Докажите, что 
б) Докажите, что 
— многочлен степени n с коэффициентом 1 при x^n.
в) Найдите 
и докажите, что для любого квадратного трехчлена 
выполняется неравенство
Переход. Пусть утверждение верно при 
Докажем его при 
тогда
получается увеличением на 1 степени 
а старший коэффициент многочлена 
получается умножением на 2 старшего коэффициента многочлена 
Поскольку 
не изменится при переходе к 
и
следовательно, надо доказать, что при любых a, b верно неравенство 
то хотя бы одно из этих чисел не меньше единицы. Если 
то хотя бы одно из чисел 
не меньше 
при всех 
Доказать, что для любого натурального числа m найдутся такие члены этой последовательности ap и aq, что 
числа a1, 
Докажите, что 
для всех n = 1, 2, 3, ... .
в виде 
Квадратичная функция 
положительна при 
поэтому из положительности 
следует 
при всех 
в частности, и при 
равно 
при 
поэтому 
при всех 
Это доказывает, в частности, утверждение задачи для 
Пусть утверждение задачи выполнено для 
На интервале 
возрастает, следовательно, 
1 балл. Доказано неравенство 
2 балла. Сделан шаг индукции: 4 балла.
такова, что, 
для всех натуральных n. Найти 
получим 
подставляем 
получим 
подставляем 
получим 
после чего разумно предполагаем, что 
то, действительно, 
такова, что, 
Найти a4.
за x и найдём несколько первых членов последовательности: 
что, как мы увидим, будет выполнено. Следовательно, она периодична с периодом 5. В таком случае 
снимаем 1 балл.Имеется пирамида, составленная из 10 колец разного диаметра, надетых на палочку так, что меньшее кольцо всегда лежит на большем. Требуется переложить эти кольца на другую палочку (используя вспомогательную третью); при этом запрещено класть большее кольцо на меньшее. Какое наименьшее число перекладываний потребуется?
получим, что потребуются, соответственно, одно, три или семь перекладываний. Для того, чтобы переложить «башню» из четырех колец, необходимо: снять верхние три кольца, затем переложить нижнее кольцо на свободную палочку и, наконец, положить на него три кольца меньшего диаметра. Таким образом, потребуются 
перекладываний. Решим задачу для произвольного числа n колец. Из приведенного рассуждения сразу следует рекуррентная формула для чисел pn наименьшего числа перекладываний для башни, состоящей из n колец: 
-е, кольцо, нам вначале надо переложить n лежащих над ним колец, на что будут затрачено pn перекладываний. Затем мы переложим нижнее кольцо и потратим еще pn перекладываний, чтобы поместить на нем n верхних колец. Нетрудно догадаться, что 
После этого осталось сделать последний шаг, состоящий в применении метода математической индукции для доказательства найденной формулы. Таким образом, осталось решить следующую задачу: известно, что 
и для всех n 
Докажите, что 
База индукции: 
Индукционный переход: если 
то
то легко получить следующее рекуррентное соотношение: 
откуда 
после чего неравенство доказывается без труда.
такова, что 
и 
для всех n = 2, 3, ... . Найти формулу «общего члена последовательности», то есть формулу, явно выражающую
и сделаем предположение о том, что 
Также вычислим суммы первых членов этой последовательности: 
Докажем сделанные предположения методом математической индукции. 
следующим образом: пусть x1 — произвольное положительное число, меньшее 1, и 
для всех n = 1, 2, 3, ..., 99. Докажите, что 
Для этого воспользуемся индукцией по 
База индукции 
по условию. Шаг индукции: при 
выполнены неравенства 
поэтому 
и 
то есть 
Ввиду доказанного, 
для 
поэтому 
что и требовалось доказать.
3 балла.
выполнено неравенство 
Следовательно, таких перестановок 
Следовательно, таких перестановок есть 
Летний отдых жители Цветочного города Знайка и Незнайка проводили в большом 15 – этажном отеле на берегу моря. Знайка заметил, что все номера комнат от первой до его собственной включительно в сумме в два раза больше суммы всех номеров комнат от первой до той, в которой поселили Незнайку, включительно. Все номера в отеле занумерованы подряд от 1 до 1599 и Знайка живет в комнате с номером, большим 200. Определите, в каком номере живет Знайка.
Если получится несколько значений номеров, то в ответе напишите их сумму. Если таковых номеров нет, то напишите
После замены 
это соотношение сводится к виду: 
— тоже решение (причем большее (x, y)). Отметим, что 
и пары (1, 1), (5, 7) начинают возрастающую последовательность пар решений уравнения. 
все-таки есть, тогда 
Применим ко всем частям этого соотношения отображение g, обратное к 
Выполним такое преобразование столько раз, чтобы вместо (x, y) получилась пара 
а вместо f (x, y) — пара 
Но тогда получится, что между парами (1, 1) и (5, 7) есть еще одно решение уравнения — получилось противоречие.
Дана последовательность натуральных чисел an, члены которой удовлетворяет соотношениям 
(при 
Все члены последовательности — целые числа. Известно, что a1 = 1, и a2018 = 2020. Найдите наименьшее натуральное k, при котором это возможно.
Тогда все члены последовательности будут иметь вид 
Степени будут повторяться с периодом 6: 0, 0, 1, 2, 2, 1, 
Чтобы все члены последовательности были целыми необходимо чтобы k было кратно x, наименьшее такое k равно 2020.
являются членами арифметической прогрессии с возрастающими номерами. Каково наибольшее значение разности этой прогрессии?
d — разность прогрессии. Тогда 
—
вершинах. В предыдущем примере формула выглядит так: 
В нашей задаче из корня выходит три ветви, каждая из которых уже является бинарным деревом, поэтому нужно рассмотреть распределение листьев между тремя ветками и далее уже применить формулу для чисел Каталана: 
для 
по определению;
! для первых пяти членов последовательности (то есть для всех 
[0. .4]).
для всех 
и 
для всех 
состоит ровно из 100 чисел.
где 
и 
и 
то есть 