Всего: 16 1–16
Добавить в вариант
Найти уравнение общей касательной к графикам функций 
и 
Если прямая 
является касательной к параболе 
то они имеют единственную общую точку, следовательно, уравнение 
имеет ровно один корень. А это будет выполняться тогда и только тогда, когда дискриминант уравнения обращается в нуль. Поэтому, исходя из условия задачи, имеем систему уравнений:
или
Вычисляя дискриминанты этих уравнений, будем иметь:
Решая эту систему для определения значений k и m, находим, что k = 1 и 
Ответ: 
Отображение f плоскости сопоставляет точке с координатами 
точку 
а) Найдите число элементов в прообразах точек 
б) Найдите множество значений отображения f.
в) Докажите, что при всех действительных c образы прямых 
и 
совпадают и являются касательными фиксированной параболы.
Точка 
входит в множество значений отображения f тогда и только тогда, когда имеет решение система
значит, 
а) Точка A не имеет прообраза. Прообраз B — точка 
а прообраз C состоит из двух точек.
Ответ:
б) См. рисунок.
в) Точки 
и 
лежат на прямых и соответственно и переходят при отображении f в точку 
лежащую на прямой 
касающейся 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Решите неравенство 
в) Докажите, что не существует прямых, касающихся графика функции 
в двух разных точках.
а)Преобразуем неравенство
Поскольку знак выражения 
совпадает со знаком выражения 
можно записать неравенство в виде
Первый множитель положителен при 
отрицателен при 
и равен нулю при 
Второй множитель, 
представляет собой убывающую функцию (
убывает, x возрастает, равную нулю при 
поэтому он положителен при 
и отрицателен при 
а при 
он не определен. Нужно, чтобы множители имели одинаковый знак, поэтому ответом будет 
Ответ:
б) Обозначим 
тогда
Поскольку 
тогда 
Поделим на него 
получим 
или 
В первое неравенство годятся только x, при которых 
то есть 
Неравенство 
имеет решения
при 
Окончательно 
Ответ: 
в) Если бы такая прямая существовала, то ее угловой коэффициент был бы равен значению производной функции 
в двух различных точках. Поскольку
квадратный трехчлен, его значения одинаковы в точках, симметричных относительно 
Допустим это точки 
причем 
Тогда уравнения касательных будут
и, аналогично, 
Тогда получим
Поскольку 
можно разделить на 
тогда
Значит 
и 
должны быть корнями уравнения
Но это уравнение можно записать в виде 
поэтому у него нет двух различных корней. Кубический многочлен не может делиться 
—
Теорема. Пусть 
— многочлен и 
Тогда делится на 
Действительно, так как 
то 
где 
— многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем 
откуда 
значит, 
и 
Следствие. Если прямая, заданная уравнением 
касается графика многочлена в точке 
то разность 
делится на
Докажем теперь, что график многочлена четвертой степени имеет не более одной прямой, касающейся его в двух различных точках. Если прямая 
(
— линейная функция) касается графика 
в точках с абсциссами 
и 
то разность 
делится на 
значит,
где 
— квадратный трехчлен. Пусть 
— еще одна двойная касательная. Тогда 
откуда
Если 
то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
a) Решите неравенство 
б) Решите неравенство 
в) Найдите все прямые, касающиеся графика функции 
в двух различных точках.
Два первых пункта этой задачи абсолютно стандартны.
а) Решите неравенство 
Ответ: 
б) После замены 
и обычных преобразований получаем неравенство 
значит, (учитывая, что 
или 
Ответ: 
в) Решение задачи этого пункта уже не является стандартным. Целесообразно записать
График 
касается оси абсцисс в точках 
и 
(см. рис.), поэтому график данной функции касается прямой 
в точках с такими же абсциссами. Этот факт очевиден с геометрической точки зрения. Пусть два графика имеют общую касательную. Если добавить к каждой из данных функций одно и то же слагаемое, то новые графики также будут иметь общую касательную. Приведем в нашем случае и формальное доказательство.
Пусть 
и 
Имеем: 
и 
поэтому 
Остается открытым вопрос о единственности такой «двойной» касательной. С геометрической точки зрения все очевидно, достаточно взглянуть на эскиз графика функции g (см. рис.). Для аккуратного доказательства единственности следовало бы использовать выпуклость этого графика, поэтому мы изберем другой, алгебраический, подход.
Поскольку утверждение, которое мы сейчас докажем, имеет общий характер, сформулируем его в виде теоремы.
Теорема. Пусть — многочлен и Тогда делится на
Действительно, так как то где — многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем откуда значит, и
Следствие. Если прямая, заданная уравнением касается графика многочлена в точке то разность делится на (Попробуйте доказать это следствие самостоятельно).
Докажем теперь, что график многочлена четвертой степени имеет не более одной прямой, касающейся его в двух различных точках.
Если прямая ( — линейная функция) касается графика в точках с абсциссами и то разность делится на значит,
где — квадратный трехчлен. Пусть — еще одна двойная касательная. Тогда откуда
Если то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции 
которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение 
имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение 
?
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в)?
а) Вычисление стандартно.
Ответ: 
б) Запишем уравнение в виде
и исследуем функцию 
при 
при 
при 
Ответ ясен из приведенного на рисунке графика.
Ответ: 
в) Эта задача характерна тем, что бездумное использование графической интерпретации может привести к ошибке. На рисунке показаны эскизы графиков при не очень больших значениях аргумента. Ясно, что эти графики имеют одну точку пересечения с отрицательной абсциссой (монотонность и непрерывность), но не совсем понятно, что происходит на
Это уравнение имеет очевидное решение 
и, как следует из рисунке, существует и еще одно его решение на интервале 
Ответ: три решения.
г) Так как при нецелых x число 6x иррационально, то среди натуральных чисел решением может быть только 
(см. решение предыдущего пункта), которое таковым не является.
Ответ: одно рациональное решение 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
три решения. одно рациональное решение а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции 
которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение 
имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение 
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в?
а) Поскольку 
касательная в точке 
имеет уравнение 
то есть 
Если эта прямая проходит через начало координат, то 
откуда 
и уравнение касательной имеет вид 
Ответ: 
б) Если 
то 
—
поэтому графики 
и обязательно пересекутся где-то в области 
Если 
то корней очевидно нет. Пусть теперь 
Функция является выпуклой вниз (ее вторая производная 
), поэтому прямые, проходящие ниже касательной при положительных x не будут пересекать ее график, а проходящие выше касательной — будут (см. рис.). При 
имеем 
поэтому там пересечений не будет. Окончательно 
Ответ: 
в) Запишем уравнение в виде 
Ясно, что не было корнем исходного уравнения. Тогда
Исследуем теперь функцию в левой части. При 
она примет вид 
поэтому
что положительно при 
и отрицательно при 
значит, эта функция возрастает при 
и убывает 
(мы использовали правило Лопиталя) и
Итак, функция принимает все значения из промежутка 
при и принимает все значения из промежутка 
при 
В частности 
поэтому такое значение при положительных x функция принимает дважды. Если же
то 
то есть функция 
нечетна. Значит, она при принимает значение 
столько же раз, сколько при принимает значение 
Это, очевидно, происходит один раз. Итого имеется три корня уравнения — по одному на промежутках 
Ответ: три решения.
г) Пусть 
—
Имеем 
отсюда ясно, что 
тогда 
Если 
то в левой части записано целое число, тогда в правой тоже должно быть целое число. Однако при возведении несократимой дроби в степень она не может стать сократимой, поэтому знаменатель ее будет равен 
а должен быть единицей, откуда 
и 
—
то аналогично можно записать уравнение в виде 
откуда ясно, что 
(а значит 
).
Итак, либо x натуральное число, либо 
где b — натуральное. Ясно что 
подходит в уравнение. Это корень, лежавший на 
На 
есть всего два натуральных числа и они корнями не являются.
Наконец пусть 
и уравнение 
принимает вид 
что невозможно, поскольку 
тоже иррациональный. Итого один рациональный корень.
Ответ: одно решение 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
три решения. одно решение 
Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики y = f(x) и y = g(x) — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции 
касается графика функции 
Найдите все значения A такие, что график функции 
касается графика функции 
Пусть 
и 
где 
Касание графиков 
и 
эквивалентно тому, что уравнение 
имеет ровно одно решение. Получаем
Четверть дискриминанта этого уравнения равна
откуда 
Аналогично, касание графиков 
и 
означает, что уравнение 
имеет единственное решение. Это уравнение (при условии 
равносильно следующим:
Дискриминант равен
Он обращается в ноль при
Ответ: −0,05.
Найдена константа 
— 3 балла.
Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики y = f(x) и y = g(x) — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции касается графика функции 
Найдите все значения A такие, что график функции касается графика функции
Пусть и где Касание графиков и 
эквивалентно тому, что уравнение 
имеет ровно одно решение. Получаем
Четверть дискриминанта этого уравнения равна
откуда 
Аналогично, касание графиков и означает, что уравнение имеет единственное решение. Это уравнение (при условии 
равносильно следующим:
Дискриминант равен
Он обращается в ноль при
Ответ: 0,02.
Найдена константа — 3 балла.
На прямой 
найдите точку, через которую проходят две перпендикулярные друг другу касательные к графику функции 
Напишите уравнения этих касательных.
Пусть 
—
—
Уравнения касательных:
или 
или 
Из системы уравнений
находим 
и 
По условию перпендикулярности касательных 
отсюда получаем 
Из уравнения заданной прямой находим 
Для отыскания x1 и x2 используем квадратное уравнение
Отсюда
Ответ: 
Найти уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
Уравнение касательной 
Найдем
Вычислим 
и 
Запишем уравнение касательной
Ответ: уравнение касательной 
К графику функции 
проводятся две касательные. Первая касательная проводятся в точке с абсциссой 
вторая — в точке максимума данной функции. Найти площадь треугольника, образованного осью ординат и двумя этими касательными.
Графиком функции
является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке 
Так как точкой максимума параболы является ее вершина, то абсциссой точки максимума функции 
является 
Уравнение касательной в точке с абсциссой x0 имеет вид
Тогда
Так как
и
то уравнение касательной в точке 
имеет вид 
Так как 
и 
то уравнение касательной в точке 
имеет вид 
или 
Из системы уравнений
находим координаты точки пересечения касательных к параболе: 
Касательная 
пересекает ось Oy в точке 
касательная 
пересекает ось Oy в точке 
Искомая площадь есть площадь треугольника ABC, поэтому 
Так как 
и 
то 
Ответ: 
Даны коэффициенты a, b, c квадратного трёхчлена 
Его график пересекает оси координат в трёх точках, и через эти точки провели окружность, которая пересекла ось Oy ещё в одной точке. Найдите ординату этой четвертой точки.
Рассмотрим сначала случай, когда парабола пересекает ось Ox в точках x1, x2 по одну сторону от точки O — начала координат. Если 
то 
и применяя для окружности теорему об отрезках секущей, получим, что искомая ордината y0 удовлетворяет уравнению 
Но по теореме Виета 
откуда получаем 
Если а 
то учитывая отрицательные знаки c и y0, свойство секущих запишем в виде 
и снова получим тот же результат Если корни разных знаков, то вместо теоремы об отрезках секущей следует применить теорему об отрезках хорд, и тогда аналогично получим ту же формулу для y0.
Ответ: 
| Символы-Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
|---|---|
| +20 | Полное верное решение |
| +.16 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение |
| ±12 | Решение в целом верное, но содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений |
| +/2 10 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основная оценка |
| ∓8 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи |
| −.4 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения |
| −0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют |
| 0 | Решение отсутствует (участник не приступал) |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 10 баллов, а другие (промежуточные) оценки соответствуют половинкам баллов приведенной таблицы. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком–стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ ±↑ будет соответствовать 13 баллам.
Параболы Р и S являются графиками функций 
и 
где b > 0 соответственно. Доказать, что любая хорда параболы P, касающаяся параболы S, делится этой точкой касания на два равных отрезка.
Пусть хорда АВ параболы Р касается параболы S в точке М с координатами 
Выпишем уравнение прямой AB:
абсциссы x1 и x2 точек А и В её пересечения с параболой P являются решениями уравнения
то есть квадратного уравнения
По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна
Следовательно, середина отрезка АВ имеет абсциссу 
и совпадает с М. Что требовалось доказать.
Верно выписано уравнение касательной к S: 2 балла. Верно записано уравнение для нахождения абсцисс точек А и B: 1 балл.
График функции 
касается прямой 
Доказать, что все такие функции имеют одно и то же минимальное значение. Найти это значение (в виде числа).
Условие касания графика функции 
и прямой 
равносильно тому, что квадратное уравнение
имеет единственное решение, а это эквивалентно равенству нулю его дискриминанта:
Минимальное значение функции достигается при 
и равно
не зависит от p и q.
Высказывание идеи, что касание графика функции и прямой равносильно тому, что соответствующее квадратное уравнение имеет единственное решение: 1 балл. Нахождение условия 
: ещё 2 балла.
К графикам функций 
и 
провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого 
(В. А. Клепцын, Г. А. Мерзон)
Абсцисса x0 любой точки пересечения графиков данных функций удовлетворяет равенству 
В этой точке касательная к графику функции имеет угловой коэффициент 
а касательная к графику функции имеет угловой коэффициент 
Поскольку 
эти касательные перпендикулярны друг другу.
Задача решена верно и обоснованно: [+].
В решении есть легко исправимые логические ошибки (например, формулируются утверждения, обратные доказываемым и т. п.),
или
при в целом верном решении получено и использовано, что 
но не исследовано, при каких а это значение лежит в [-1; 1]: [±].
В варианте решения с поиском явного вида точек пересечения допущены ошибки при решении тригонометрических уравнений
или
в преобразованиях, или утверждение доказано только для одной точки (серии точек), а не для всех: [∓].
Значительных продвижений не получено: [–].
Известно, что графики функций 
и 
касаются (имеют общую точку, в которой касательные к обоим графикам совпадают). Найдите константу p и точку касания.
Поскольку графики имеют общую касательную, то для абсциссы точки касания выполняются следующие соотношения:
то есть 
Таким образом, x = ee, 
y = e.
Ответ: 
точка касания 
| Критерии | Баллы |
|---|---|
| Не выполнен ни один пункт, приведенный ниже, и/или просто записан верный ответ | 0 |
| Правильно вычислены производные функций, записано их равенство | 4 |
| Составлена система уравнений, выражена одна переменная через другую (x через p или p через x). | 8 |
| При решении задачи допущена вычислительная ошибка при верных рассуждениях | 12 |
| Приведено полностью обоснованное решение, получен верный ответ | 16 |
точка касания Наверх