сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 6 7 8 9

Всего: 72    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–72

Добавить в вариант


Одна сто­ро­на не­ко­то­ро­го тре­уголь­ни­ка в два раза боль­ше дру­гой, а пе­ри­метр этого тре­уголь­ни­ка равен 60, наи­боль­шая его сто­ро­на в сумме с учет­ве­рен­ной наи­мень­шей равна 71. Най­ди­те сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка.


Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с углом \varphi при вер­ши­не впи­сан в рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник со сто­ро­ной 2 так, что эта вер­ши­на сов­па­да­ет с се­ре­ди­ной сто­ро­ны рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка.

а)  Най­ди­те вы­ра­же­ние для пло­ща­ди S левая круг­лая скоб­ка \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка этого тре­уголь­ни­ка.

б)  По­ка­жи­те, что

S левая круг­лая скоб­ка \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3 синус \varphi, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 8 синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: \varphi, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i6 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

в)  До­ка­жи­те, что S левая круг­лая скоб­ка \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .


Дан рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с углом  альфа при вер­ши­не.

а)  До­ка­жи­те, что

 дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: R конец дроби = синус альфа тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи минус альфа , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

где r и R  — ра­ди­у­сы впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей со­от­вет­ствен­но.

б)  При каком  альфа от­но­ше­ние  дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: R конец дроби при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

в)  До­ка­жи­те, что в общем слу­чае от­но­ше­ние  дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: R конец дроби при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние для рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков.


По­сле­до­ва­тель­но­сти an , bn свя­за­ны со­от­но­ше­ни­я­ми a_n плюс 1=\dfracb_n2, b_n плюс 1=\dfrac1 плюс a_n2.

а)  Пусть a_1=0, b_1=1. По­ло­жим

\Delta_n= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка a_n минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка b_n минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

До­ка­жи­те, что числа \Delta_n об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию.

б)  До­ка­жи­те, что пре­де­лы \lim\limits_n\to бес­ко­неч­ность a_n, \lim\limits_n\to бес­ко­неч­ность b_n су­ще­ству­ют и не за­ви­сят от вы­бо­ра a_1, b_1.

в)  Лучи \ell_1 и m_1 лежат в пер­вом ко­ор­ди­нат­ном угле, при­чем луч \ell_1 об­ра­зу­ет угол  дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i5 с осью абс­цисс, а m_1  — угол  дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i7 с осью ор­ди­нат. Луч \ell_n яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла между осью абс­цисс и лучом m_n минус 1, а mn  — бис­сек­три­сой угла между осью ор­ди­нат и \ell_n минус 1. Вы­чис­ли­те с точ­но­стью до 0,01 угол между лучом \ell_40 и осью абс­цисс.


Тип 27 № 1008
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 10 минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та =2.

б)  Числа p, q при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка вы­би­ра­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что мно­го­член px в квад­ра­те плюс qx минус 1 имеет дей­стви­тель­ные корни.

в)  До­ка­жи­те, что если a, b, c  — длины сто­рон не­ко­то­ро­го тре­уголь­ни­ка, то из от­рез­ков дли­ной \root n\of a, \root n\of b, \root n\of c также можно со­ста­вить тре­уголь­ник.

г)  Дан тре­уголь­ник ABC. До­ка­жи­те, что если  дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те A, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те B конец дроби = дробь: чис­ли­тель: тан­генс A, зна­ме­на­тель: тан­генс B конец дроби , то он либо рав­но­бед­рен­ный, либо пря­мо­уголь­ный.


а)  Най­ди­те все тре­уголь­ни­ки, длины сто­рон и ве­ли­чи­ны углов ко­то­рых об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии.

б)  Верно ли, что для вся­кой ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии из че­ты­рех по­ло­жи­тель­ных чисел су­ще­ству­ет вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник, дли­на­ми сто­рон ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся эти числа?

в)  Най­ди­те все че­ты­рех­уголь­ни­ки, длины сто­рон и углы ко­то­рых (взя­тые в цик­ли­че­ских по­ряд­ках) об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии.


Вы­со­та тра­пе­ции, диа­го­на­ли ко­то­рой вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, равна h. Какой может быть длина сред­ней линии такой тра­пе­ции? Ка­ко­ва наи­мень­шая воз­мож­ная длина сред­ней линии? Когда она по­лу­ча­ет­ся?


До­ка­жи­те, что для ка­те­тов b, a и ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство  левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка c боль­ше или равно 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ab.


Дан ABC  — рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Пря­мая a пер­пен­ди­ку­ляр­на его оси сим­мет­рии. Тре­уголь­ник MNK сим­мет­ри­чен тре­уголь­ни­ку ABC от­но­си­тель­но a. Как рас­по­ло­жить пря­мую a так, чтобы пло­щадь пе­ре­се­че­ния на­зван­ных тре­уголь­ни­ков была наи­боль­шей?


В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли ме­ди­а­ну AM, вы­со­ту AH и бис­сек­три­су AL. Ока­за­лось, что точки B, H, L, M, C лежат на пря­мой BC имен­но в таком по­ряд­ке, при­чем LH мень­ше LM. До­ка­жи­те, что BC боль­ше 2AL.

 

(А. Куз­не­цов)


До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между се­ре­ди­ной сто­ро­ны BC тре­уголь­ни­ка ABC и се­ре­ди­ной дуги ABC его опи­сан­ной окруж­но­сти не мень­ше, чем  дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .


На сто­ро­не AD вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD с ост­рым углом B от­ме­че­на точка E. Из­вест­но, что

\angle CAD = \angle ADC = \angle ABE = \angle DBE.

До­ка­жи­те, что BE плюс CE мень­ше AD.


Дан тре­уголь­ник ABC. На его сто­ро­нах BC, CA и AB со­от­вет­ствен­но вы­бра­ны такие точки A1, B1 и C1, что че­ты­рех­уголь­ник AB1A1C1 яв­ля­ет­ся впи­сан­ным. До­ка­жи­те, что

 дробь: чис­ли­тель: S_A_1B_1C_1, зна­ме­на­тель: S_ABC конец дроби мень­ше или равно левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: B_1C_1, зна­ме­на­тель: AA_1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .


Пусть M  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC. Про­хо­дя­щая через M пря­мая пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки BC и CA в точ­ках A1 и B1 со­от­вет­ствен­но. Точка K  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. До­ка­жи­те, что 9S_KA_1B_1 боль­ше или равно 2S_ABC.


Дана тра­пе­ция ABCD. На ос­но­ва­ни­ях BC и AD со­от­вет­ствен­но вы­бра­ны точки Q и S. От­рез­ки AQ и BS пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, а от­рез­ки CS и DQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке R. До­ка­жи­те, что S_P QRS мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S_ABCD.


Окруж­ность ω опи­са­на во­круг рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Про­дол­же­ние вы­со­ты BB1, опу­щен­ной на бо­ко­вую сто­ро­ну AC, пе­ре­се­ка­ет окруж­ность ω в точке D. Из точки C опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры CC1 на бо­ко­вую сто­ро­ну AB и CH на пря­мую AD. До­ка­жи­те, что S_BCB_1C_1 боль­ше или равно S_HCC_1.


Пусть h и l  — вы­со­та и бис­сек­три­са, про­ве­ден­ные из одной вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка, r и R  — ра­ди­у­сы его впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей. До­ка­жи­те, что  дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: l конец дроби боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2r, зна­ме­на­тель: R конец дроби конец ар­гу­мен­та .


В тре­уголь­ни­ке ABC длины сто­рон равны 4, 5 и  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та . Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, со­сто­я­щей из тех и толь­ко тех точек X внут­ри тре­уголь­ни­ка ABC, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие XA в квад­ра­те плюс XB в квад­ра­те плюс XC в квад­ра­те мень­ше или равно 21.


Аналоги к заданию № 4601: 4602 Все


В тре­уголь­ни­ке XYZ длины сто­рон равны 2, 7 и 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, со­сто­я­щей из тех и толь­ко тех точек A внут­ри тре­уголь­ни­ка XYZ, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие AX в квад­ра­те плюс AY в квад­ра­те плюс AZ в квад­ра­те мень­ше или равно 43.


Аналоги к заданию № 4601: 4602 Все

Всего: 72    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–72