Всего: 154 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
и 
равны друг другу (так как оба равны удвоенной площади треугольника, умноженной на 
и, следовательно, сокращаются. Остается доказать, что
и 
Равенство доказано.
и 
и, следовательно, сокращаются. Остается доказать, что
и 
В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найти сумму длин второй и третьей окружностей, если радиус первой равен 1, а площадь круга, ограниченного четвертой окружностью, равна 
и 
предыдущей и следующей окружности выполнено соотношение (см. рис.) 
образуют геометрическую прогрессию, причем 
На диаметре AB полуокружности взяты точки K и L, а на полуокружности — точки M, N и C так, что четырехугольник KLMN является квадратом, площадь которого равна площади треугольника ABС. Доказать, что центр вписанной в треугольник ABС окружности совпадает с точкой пересечения одной из сторон квадрата и одной из прямых, соединяющих вершину N или M с вершиной A или B.
и 
Тогда 
Из равенства площадей квадрата и треугольника ABC получаем, что высота последнего равна 
Докажем, что ON биссектриса угла AOC. Действительно, так как 
(откуда следует, что 
то имеем 
Следовательно, 
и 
точки P и Q, причем точка P принадлежит плоскости 
Найдите все точки R, принадлежащие плоскости 
принимает максимальное значение.
тогда 
Угол 
Итак, точка R принадлежит проекции прямой PQ на плоскость γ. Остается найти расстояние 
В этой точке она меняет знак c 
на 
поэтому функция 
в точке 
достигает максимума. Тем самым получаем искомую точку. В случае, когда отрезок 
перпендикулярен плоскости 
Плоскость 
а плоскость 
параллельна прямой 
Определите наименьший возможный угол между плоскостями 
точка 
и 
(рис. 7). Следовательно, 
Пусть S — произвольно выбранная на l точка, то из неравенства 
имеем 
Пусть ребро куба равно 1 и O — точка пересечения диагоналей ABCD. Прямая 
перпендикулярна диагонали 
и ребру 
поэтому плоскость 
перпендикулярна 
то есть совпадает с 
Плоскость β проходит через прямую 
следовательно, 
лежит на ребре двугранного угла, образованного α 
Как было показано выше, что если 
Следовательно, 
Покажем, что угол 
а затем построим плоскость β через m и прямую 
Тогда m будет ребром получившегося двугранного угла, а 
—
то есть наименыший возможный угол между плоскостями 
Если провести плоскость β через прямую CD и считать, что все ребра равны 1, то длина перпендикуляра, опущенного из D на 
равна 
Тогда CD — отрезок, соединяющий D и ребро двугранного угла, 
Если 
(рис. 2). Тогда 
Опустим 
Учитывая, что AN параллельна KM, получаем 
В прямоугольном треугольнике ADN гипотенуза равна 
катет 
следовательно, 
Значит, 
а учитывая условие задачи, приходим к выводу, что 
а прямая SC параллельна AN. Следовательно, 
трапеции прямой, а длина 
(рис. 3). Как и раньше, длина перпендикуляра 
Острый угол 
является внешним для трапеции и треугольника 
поэтому 
находим 
то 
В трапецию вписана окружность, причем сторона AB делится точкой касания на отрезки длины 
Определите длину боковой стороны CD трапеции.Три окружности, радиусов 1, 1 и 
расположены так, что треугольник, образованный центрами этих окружностей, является равносторонним со стороной 
Найдите, чему равен радиус описанной окружности около треугольника, каждая из вершин которого является точкой пересечения двух из этих окружностей, дальней от центра третьей окружности.
Треугольник, образованный центрами окружностей, правильный, поэтому точка O3 также окажется на этом серединном перпендикуляре. Следовательно, вся картинка симметрична относительно этого серединного перпендикуляра, в частности, точки B и C симметричны друг другу.
равнобедренный с вершиной A; кроме того, его стороны равны 1, 1 и 
обозначим за α, 
за β. В треугольнике 
мы знаем все стороны, значит, мы можем найти 
Далее, 
равнобедренный с углами 
и 
откуда 
следовательно, 
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а 
На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что 
(точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите площадь треугольника ACF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
и 
Тогда 
и по теореме синусов 
и 
Заметим, что 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
а) Две окружности одинакового радиуса 13 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а 
= 90^\circ . На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что BC = 10. Найдите площадь треугольника ACF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
Сфера с центром O вписана в трёхгранный угол с вершиной S и касается его граней в точках K, L, M (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол KSO и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью KLM, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой SO, равны 1 и 4.
SO — общая), следовательно, 
Высоты, опущенные из точек K, L, M на гипотенузу SO, равны, а их основания — одна и та же 
касательные плоскости к сфере, проходящие через точки P и Q, а E и F — точки пересечения этих плоскостей с прямой SK. По условию площади сечений трёхгранного угла этими плоскостями равны соответственно 
и 
Рассмотрим сечение трехгранного угла и сферы плоскостью 
(см. рис. и обозначения на нем). Так как SH перпендикулярна HK и SH перпендикулярна HL, то τ и SH — перпендикулярны. Тогда сечения трёхгранного угла плоскостями 
— площадь треугольника, получающегося в сечении трёхгранного угла плоскостью 
то из подобия 
и 
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите площадь треугольника ACF.
и 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
б) 
Сфера с центром O вписана в трёхгранный угол с вершиной S и касается его граней в точках K, L, M (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол KSO и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью KLM, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой SO, равны 4 и 9.
SO — общая), следовательно, 
Высоты, опущенные из точек K, L, M на гипотенузу SO, равны, а их основания — одна и та же точка H, лежащая в плоскости KLM (назовём эту плоскость τ). Пусть β и 
и 
Рассмотрим сечение трехгранного угла и сферы плоскостью 
а) Две окружности одинакового радиуса 13 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что Найдите площадь треугольника ACF.
б) 
Три окружности, радиусов 3, 3 и 
расположены так, что треугольник, образованный центрами этих окружностей, является равносторонним со стороной 3. Найдите, чему равен радиус описанной окружности около треугольника, каждая из вершин которого является точкой пересечения двух из этих окружностей, дальней от центра третьей окружности.
Треугольник, образованный центрами окружностей, правильный, поэтому точка 
также окажется на это м œрединном перпендикуляре. Следовательно, вся картинка симметрична относительно этого серединного перпендикуляра, в частности, точки B и C симметричны друг другу.
равнобедренный с вершиной A; кроме того, его стороны равны 
за 
В треугольнике 
Далее, 
следовательно, 
следовательно, 
Равнобедренный треугольник с углом 
при вершине вписан в равносторонний треугольник со стороной 2 так, что эта вершина совпадает с серединой стороны равностороннего треугольника.
а) Найдите выражение для площади 
этого треугольника.
б) Покажите, что
в) Докажите, что 
причем 
и 
По условию также 
то есть точки E, F лежат на окружности с центром в точке D. Такая окружность может пересекать стороны AB и BC один или два раза. Поэтому возможны два принципиально различных случая.
треугольники AED и CFD равны по трем сторонам, 
Рассмотрим точку 
симметричную E относительно H. Тогда треугольники EDH и 
равны по двум катетам, 
и прямые E1F и AC параллельны. 
тогда 
Далее, 
и 
и 
(в случае, когда 
получаем предыдущий случай, его ответ пришлось добавить, поэтому интервал полуоткрытый).
и 
удобно сделать замену 
откуда 
Дан равнобедренный треугольник с углом 
при вершине.
а) Докажите, что
где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.
б) При каком отношение 
принимает наибольшее значение?
в) Докажите, что в общем случае отношение принимает наибольшее значение для равносторонних треугольников.
далее, 
здесь 
— периметр треугольника, так что 
причем равенство имеет место лишь в случае, когда 
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение 
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Решите уравнение 
и построив график функции 
получим ответ.
два, если 
и три корня, если 
нетрудно показать, что она неотрицательна при всех x, значит, 
Осталось перемножить неравенства 
(обе части которых по предположению неотрицательны). 
и 
Таким образом, 
и 
откуда 
то функция f монотонна на каждом из отрезков 
значит, на каждом из них она имеет не более одного корня. То, что 
