сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 5 6 7 8 9

Всего: 86    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Име­ет­ся три типа фи­гу­рок. Тип А: квад­ра­ты 2 × 2. Тип В: пря­мо­уголь­ни­ки 3 × 2, из ко­то­рых вы­ре­за­на одна уг­ло­вая клет­ка. Тип С: пря­мо­уголь­ни­ки 3 × 2, из ко­то­рых вы­ре­за­ны две про­ти­во­по­лож­ные уг­ло­вые клет­ки:

Из этих фи­гу­рок со­став­лен пря­мо­уголь­ник 20 × 17. Какое наи­мень­шее число фи­гу­рок типа B может быть при этом ис­поль­зо­ва­но? Фи­гур­ки можно как угод­но по­во­ра­чи­вать и пе­ре­во­ра­чи­вать.


Из n пра­виль­ных ше­сти­уголь­ни­ков со сто­ро­ной 1 сде­ла­ли мно­го­уголь­ник на плос­ко­сти, скле­и­вая ше­сти­уголь­ни­ки по сто­ро­нам. Любые два ше­сти­уголь­ни­ка либо имеют ровно одну общую сто­ро­ну, либо во­об­ще не имеют общих точек. Внут­ри мно­го­уголь­ни­ка нет дыр. При этом у каж­до­го ше­сти­уголь­ни­ка хотя бы одна сто­ро­на лежит на гра­ни­це мно­го­уголь­ни­ка. Какой наи­мень­ший пе­ри­метр может иметь мно­го­уголь­ник при дан­ных усло­ви­ях?


Из n пра­виль­ных ше­сти­уголь­ни­ков со сто­ро­ной 1 сде­ла­ли мно­го­уголь­ник на плос­ко­сти, скле­и­вая ше­сти­уголь­ни­ки по сто­ро­нам. Любые два ше­сти­уголь­ни­ка либо имеют ровно одну общую сто­ро­ну, либо во­об­ще не имеют общих точек. Внут­ри мно­го­уголь­ни­ка нет дыр. При этом у каж­до­го ше­сти­уголь­ни­ка хотя бы одна сто­ро­на лежит на гра­ни­це мно­го­уголь­ни­ка. Какой наи­мень­ший пе­ри­метр может иметь мно­го­уголь­ник при дан­ных усло­ви­ях?


Пря­мо­уголь­ник раз­де­ли­ли на не­пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся квад­ра­ты со сто­ро­ной 1 см. Будем го­во­рить, что квад­рат рас­по­ло­жен вдоль сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка, если хотя бы одна из сто­рон квад­ра­та лежит на сто­ро­не пря­мо­уголь­ни­ка. По­ло­ви­ну квад­ра­тов, рас­по­ло­жен­ных вдоль сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка, по­кра­си­ли в зе­ле­ный цвет, а все осталь­ные квад­ра­ты оста­ви­ли не­за­кра­шен­ны­ми. В итоге не­за­кра­шен­ных квад­ра­тов ока­за­лось в 4 раза боль­ше, чем зе­ле­ных. Най­ди­те все воз­мож­ные пря­мо­уголь­ни­ки, ука­зав длины их сто­рон.


В каж­дой клет­ке квад­ра­та 2019\times 2019 про­ве­де­ны обе диа­го­на­ли. Су­ще­ству­ет ли за­мкну­тый марш­рут, со­сто­я­щий из этих диа­го­на­лей, не про­хо­дя­щий ни по одной из диа­го­на­лей два­жды и по­се­ща­ю­щий при этом все клет­ки квад­ра­та (то есть со­дер­жа­щий хотя бы одну диа­го­наль из каж­дой клет­ки).


Аналоги к заданию № 709: 782 Все


В каж­дой клет­ке квад­ра­та 2017\times 2017 про­ве­де­ны обе диа­го­на­ли. Су­ще­ству­ет ли за­мкну­тый марш­рут, со­сто­я­щий из этих диа­го­на­лей, не про­хо­дя­щий ни по одной из диа­го­на­лей два­жды и по­се­ща­ю­щий при этом все клет­ки квад­ра­та (то есть со­дер­жа­щий хотя бы одну диа­го­наль из каж­дой клет­ки).


Аналоги к заданию № 709: 782 Все


Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми фи­гу­ру, изоб­ра­жен­ную на ри­сун­ке, можно рас­кра­сить по клет­кам в синий, белый и крас­ный цвета так, чтобы со­сед­ние (то есть име­ю­щие общие сто­ро­ны) клет­ки были рас­кра­ше­ны в раз­ные цвета?


Аналоги к заданию № 891: 899 Все


Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми фи­гу­ру, изоб­ра­жен­ную на ри­сун­ке, можно рас­кра­сить по клет­кам в синий, белый и крас­ный цвета так, чтобы со­сед­ние (то есть име­ю­щие общие сто­ро­ны) клет­ки были рас­кра­ше­ны в раз­ные цвета?


Аналоги к заданию № 891: 899 Все


На плос­ко­сти по кле­точ­кам на­ри­со­ва­ли три пря­мо­уголь­ни­ка (не яв­ля­ю­щи­е­ся квад­ра­та­ми) и один квад­рат QRSC так, что в итоге по­лу­чи­лась фи­гу­ра, схе­ма­ти­че­ски изоб­ра­жен­ная на ри­сун­ке.

Из­вест­но, что пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD равна 35 клет­кам. Най­ди­те, чему равна пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры, если из­вест­но, что AP < QR.


Аналоги к заданию № 904: 915 Все


На плос­ко­сти по кле­точ­кам на­ри­со­ва­ли три пря­мо­уголь­ни­ка (не яв­ля­ю­щи­е­ся квад­ра­та­ми) и один квад­рат QRSC так, что в итоге по­лу­чи­лась фи­гу­ра, схе­ма­ти­че­ски изоб­ра­жен­ная на ри­сун­ке. Сто­ро­ны всех че­ты­рех пря­мо­уголь­ни­ков мень­ше 7.

Из­вест­но, что пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD равна 33 клет­кам. Най­ди­те, чему равна пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры, если из­вест­но, что AP < QR.


Аналоги к заданию № 904: 915 Все


Костя и Сер­гей иг­ра­ют в игру на белой по­лос­ке длины 2016. Костя (он ходит пер­вым) за один ход дол­жен за­кра­сить чер­ным две со­сед­них белых клет­ки. Сер­гей своим ходом дол­жен за­кра­сить либо одну белую клет­ку, либо три со­сед­них белых клет­ки. За­пре­ща­ет­ся де­лать ход, после ко­то­ро­го об­ра­зу­ет­ся белая клет­ка, не име­ю­щая белых со­се­дей. Про­иг­ры­ва­ет не име­ю­щий хода. Од­на­ко, если все клет­ки за­кра­ше­ны, то вы­иг­ры­ва­ет Костя. Кто вы­иг­ра­ет при пра­виль­ной игре?

 

(К. Тыщук)


Рас­крас­ка кле­ток таб­ли­цы 100 × 100 в чёрный и белый цвета на­зы­ва­ет­ся до­пу­сти­мой, если в каж­дой стро­ке и каж­дом столб­це от 50 до 60 чёрных кле­ток. Раз­ре­ша­ет­ся из­ме­нить цвет одной из кле­ток до­пу­сти­мой рас­крас­ки, если она остаётся до­пу­сти­мой. До­ка­жи­те, что та­ки­ми опе­ра­ци­я­ми можно по­лу­чить из любой до­пу­сти­мой рас­крас­ки любую дру­гую.

 

(О. Ива­но­ва)


Петя, Вася и Толя иг­ра­ют на доске 100 на 100 в сле­ду­ю­щую игру. Они по оче­ре­ди (на­чи­на­ет Петя, потом Вася, потом Толя, затем Петя и т. д.) за­кра­ши­ва­ют гра­нич­ные клет­ки доски (т. е. име­ю­щие общую сто­ро­ну с гра­ни­цей доски). За­пре­ща­ет­ся за­кра­ши­вать клет­ку, со­сед­нюю по сто­ро­не с уже за­кра­шен­ной. Кроме того, нель­зя за­кра­ши­вать клет­ку, сим­мет­рич­ную уже за­кра­шен­ной от­но­си­тель­но цен­тра доски. Про­иг­ры­ва­ет тот, кто не может сде­лать ход. Могут ли Вася и Толя, до­го­во­рив­шись, иг­рать так, чтобы Петя про­иг­рал?

 

(С. Бер­лов)


Рас­кра­сим вер­ши­ны 2018-уголь­ни­ка в два цвета так, чтобы любые две со­сед­ние вер­ши­ны были раз­но­го цвета. Если сумма углов при вер­ши­нах од­но­го цвета равна сумме углов при вер­ши­нах дру­го­го цвета, будем на­зы­вать такой 2018-уголь­ник ин­те­рес­ным. В вы­пук­лом 2019-уголь­ни­ке от­ме­ти­ли одну вер­ши­ну. Ока­за­лось, что при уда­ле­нии любой не­от­ме­чен­ной вер­ши­ны оста­ет­ся ин­те­рес­ный 2018-уголь­ник. До­ка­жи­те, что при уда­ле­нии от­ме­чен­ной вер­ши­ны также оста­ет­ся ин­те­рес­ный 2018-уголь­ник.


Каж­дая клет­ка доски 1000 × 1000 по­кра­ше­на в синий или белый цвет. На­зо­вем клет­ку рав­но­вес­ной, если среди ее со­се­дей по­ров­ну синих и белых. Можно ли рас­кра­сить доску так, чтобы на ней было более 600 000 синих рав­но­вес­ных кле­ток? (Клет­ки счи­та­ют­ся со­сед­ни­ми, если имеют общую сто­ро­ну).


Дана доска 2016 × 2016. При каком наи­мень­шем k клет­ки доски можно так рас­кра­сить в k цве­тов, что

1)  одна из диа­го­на­лей по­кра­ше­на в пер­вый цвет;

2)  клет­ки, сим­мет­рич­ные от­но­си­тель­но этой диа­го­на­ли, по­кра­ше­ны в оди­на­ко­вый цвет;

3)  любые две клет­ки рас­по­ло­жен­ные в одной стро­ке по раз­ные сто­ро­ны от клет­ки пер­во­го цвета по­кра­ше­ны в раз­ные цвета (клет­ки не обя­за­тель­но со­сед­ние с клет­кой пер­во­го цвета).


Каж­дую клет­ку таб­ли­цы 3\times 3 рас­кра­ши­ва­ют в один из трех воз­мож­ных цве­тов так, что клет­ки, име­ю­щие общую сто­ро­ну, имеют раз­ный цвет. Среди всех воз­мож­ных таких рас­кра­сок най­ди­те долю тех, в ко­то­рых ис­поль­зо­ва­но ровно два цвета.


Клет­ки бес­ко­неч­но­го клет­ча­то­го листа бу­ма­ги кра­сят­ся в k цве­тов (каж­дая клет­ка кра­сит­ся це­ли­ком в один цвет). При каком наи­боль­шем k в каж­дом клет­ча­том пря­мо­уголь­ни­ке со сто­ро­на­ми 3 и 4 встре­тят­ся клет­ки всех этих цве­тов?


Аналоги к заданию № 2257: 2565 Все


Из не­сколь­ких оди­на­ко­вых белых ку­би­ков Петя сло­жил боль­шой куб и по­кра­сил его грани в чер­ный цвет. Ока­за­лось, что число ку­би­ков с одной чер­ной гра­нью равно числу пол­но­стью белых ку­би­ков. Сколь­ко ма­лень­ких ку­би­ков ровно с двумя чер­ны­ми гра­ня­ми?


Развернуть

1.3 При­ве­ди­те при­мер оча­ро­ва­тель­ной рас­крас­ки, в ко­то­рой среди чисел 6, 10 и 15 нет од­но­цвет­ных.

1

1.1 До­ка­жи­те, что среди че­ты­рех по­сле­до­ва­тель­ных чисел обя­за­тель­но най­дут­ся два од­но­цвет­ных.

Всего: 86    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80