Всего: 95 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Имеются таблицы А и В, в ячейки которых вписаны целые числа. С таблицей А можно проделывать следующие действия:
1) прибавлять к строке другую строку, умноженную на произвольное целое число;
2) прибавлять к столбцу другой столбец, умноженный на произвольное целое число.
Например, если к первой строке таблицы A прибавить вторую строку, умноженную на 4, то получится таблица, изображенная на рисунке справа после слова пример. Можно ли, проделав некоторое количество указанных действий с таблицей А, получить таблицу B? Ответ обоснуйте.
| 1 | 0 |
| 0 | 2 |
| 0 | 2 |
| 3 | 0 |
| 1 | 8 |
| 0 | 2 |
что для таблиц А и В не выполнено. Поэтому указанным способом получить таблицу B из таблицы А нельзя.
В таблице 9 × 9 расставлены различные натуральные числа, сумма которых равна 2S. Известно, что в каждой строке числа возрастают слева направо, а в каждом столбце — снизу вверх. Может ли сумма чисел в центральном квадрате 5 × 5 быть больше S?
Имеются таблицы А и В, в ячейки которых вписаны целые числа. С таблицей А можно проделывать следующие действия: 1) прибавлять к строке другую строку, умноженную на произвольное целое число; 2) прибавлять к столбцу другой столбец, умноженный на произвольное целое число. (Например, если к первой строке таблицы A прибавить третью строку, умноженную на 2, то получится таблица, изображенная на рисунке под словом пример.) Можно ли, проделав некоторое количество указанных действий с таблицей А, получить таблицу B? Ответ обоснуйте.
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 3 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 6 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 6 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 3 | 0 | 0 |
| 0 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 9 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 6 | 0 | 0 |
| 0 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 3 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 6 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 6 |
где 
число ad – bc будем называть определителем этой таблицы. Пусть в составленной из целых чисел таблице 
определитель делится на целое число m. Проделаем с таблицей (1) одно из указанных в задаче действий. Тогда у получившейся в результате таблицы определитель любой ее подтаблицы размера 2 на 2 также будет на m. Действительно, проведем доказательство данного факта для действия 1 из условия задачи (для столбцов доказательство аналогично). Пусть, без ограничения общности, к первой строке прибавляется вторая, умноженная на целое число b: 
и 
представляют собой определи подтаблиц таблицы (1), а значит, делятся на m. Следовательно, на m делится и определитель (3). 
В каждую из k ячеек квадратной таблицы n x n записана единица, а в остальные ячейки – ноль. Найдите максимальное значение k, при котором, независимо от исходного расположения единиц, меняя местами строки между собой и столбцы между собой, можно добиться того, что все единицы окажутся выше побочной диагонали или на ней? (Побочной называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. На рисунке приведен пример: содержимое ячеек, лежащих выше побочной диагонали или на ней, отмечено жирным.)
Очевидно, что для таблицы 
искомое максимальное k равно 3. Экспериментируя с таблицей 
можно заметить, что 
(ниже мы докажем это строго). Сделанные наблюдения позволяют предположить, что для произвольного 
максимальное значение k равно 
Докажем это. 
единицы таблица содержать не может. Для этого приведем контрпример, но сначала вспомним определение трансверсали. Трансверсалью таблицы Tn называют набор из n ячеек, содержащих 1, любые две из которых расположены в разных строках и разных столбцах. Ясно, что если какие-то ячейки образовывали трансверсаль, то и после перестановки строк или столбцов они снова образуют трансверсаль. На рисунке изображена таблица n x n с 
единицу всегда можно перенести на побочную диагональ или выше. Итак,
единиц. В такой таблице обязательно есть строка или ровно с одной 1, или не содержащей единиц вовсе. Рассмотрим эти случаи.
содержащая, по крайней мере, на одну 1 меньше, чем таблица 
можно выполнить аналогичные преобразования. В результате за 
шага придем к таблице 
для которой уже установлено, что 
Формула 
доказана.На белом клетчатом листе бумаги нарисовали прямоугольник со сторонами 20 и 19 клеток. В каждую клетку вписали натуральное число. Клетка красится в зелёный цвет, если среди соседних с ней по углу или стороне клеток не больше одной клетки с таким же или большим значением. Какое наибольшее число зелёных клеток могло получиться в таблице?
так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была четна? (Числа могут повторяться)
способов выбрать, где стоят эти числа, 
способов расставить нечётные числа и 
способов расставить чётные. 
способов выбрать эти строку и столбец, 
способов расставить нечётные числа и 
способов расставить чётные. 
способов. Итого 
и нечётно.
посчитано количество вариантов. 
и 
Разберём несколько случаев: 
способов расставить чётные числа и 
способов расставить чётные числа и 
числа от 0 до 9 999 (каждое по одному разу) так, чтобы в каждом квадратике 
сумма чисел была бы одинаковой?
сумма равна 198.
во второй таблице. Это число расположено в двух соседних столбцах на клетках, которые при шахматной раскраске оказываются одного цвета. При этом в первой таблице в этих двух столбцах встречаются все числа от 0 до 99, причём каждое один раз на чёрной клетке и один раз на белой. Значит, 
балла,
числа от 0 до 999 (каждое по одному разу) так, чтобы в каждом квадратике Пусть 
— натуральные числа, большие 1 (не обязательно различные). В таблице 100 на 100 расставлены числа следующим образом: на пересечении i-ой строки и k-го столбца записано число 
Найдите наименьшее возможное значение суммы всех чисел в таблице.
то этот логарифм равен единице.
не меньше количества ячеек, т. е. 
Вычитаемые же максимальны при минимальном 
и равны 2. Следовательно, сумма чисел во всей таблице не меньше 
и равенство достигается когда все 
Пусть 
— натуральные числа, большие 1 (не обязательно различные). В таблице 60 на 60 расставлены числа следующим образом: на пересечении i-ой строки и k-го столбца записано число 
Найдите наименьшее возможное значение суммы всех чисел в таблице.
Вычитаемые же максимальны при минимальном 
Следовательно, сумма чисел во всей таблице не меньше 
можно выделить 
непересекающихся 
обозначена целая часть числа 
если n четно; 
если n нечетно). В каждом таком 
Приведем пример таблицы 
и 
либо 
и 
то мы должны расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, а сумма чисел в строках должна быть равна соответственно 8, 9, 10 и 11. Сумма чисел в первой строке равна 
вариантов для каждой расстановки. В итоге получаем 64 варианта.Сколькими способами можно разместить восемь из девяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 в таблице 
(4 строки, 2 столбца) так, чтобы сумма цифр в каждой строке, начиная со второй, была на 2 больше, чем в предыдущей?
поскольку эти строки разбиваются на 60 таких прямоугольников. Аналогичный вывод можно сделать про любые три соседние строки.
Противоречие.В каждую клетку таблицы 10 × 10 записали натуральное число. Потом закрасили каждую из клеток, для которой выполняется свойство: число, написанное в этой клетке, меньше одного из своих соседей, но больше другого соседа. (Два числа называются соседями, если они стоят в клетках с общей стороной.) В результате незакрашенными остались только две клетки, причём ни одна из них не находится в углу. Какова минимально возможная сумма чисел в этих двух клетках?
поскольку эти строки разбиваются на 100 таких прямоугольников. Аналогичный вывод можно сделать про любые четыре соседние строки.
Противоречие.В клетках таблицы 80 × 80 расставлены попарно различные натуральные числа. Каждое из них либо простое, либо является произведением двух простых чисел (возможно, совпадающих). Известно, что для любого числа а из таблицы в одной строке или в одном столбце с ним найдется такое число b, что а и b не являются взаимно простыми. Какое наибольшее количество простых чисел может быть в таблนце?
Верно ли, что рано или поздно числа перестанут меняться?
и 
Теперь суммы и по строчкам и по столбцам все равны нулю, значит, ситуация стабилизировалась.
От элементов каждой строки таким образом мы суммарно отняли 0 и суммы по строкам остались нулевыми, а по столбцам — стали нулевыми и ситуация стабилизировалась.