Всего: 90 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
?
тогда 
сумма цифр равна 1 — минимально возможная.На острове проживают 20 человек, часть из них рыцари, которые всегда говорят правду, а остальные — лжецы, которые всегда лгут. Каждый островитянин точно знает, кто из остальных рыцарь, а кто — лжец. На вопрос приезжего, сколько рыцарей проживают на острове, первый из островитян ответил: «Ни одного», второй: «Не более одного», третий: «Не более двух», четвѐртый: «Не более трёх» и т. д., двадцатый заявил: «Не более девятнадцати». Так сколько же рыцарей проживают на острове?
если известно, что 
и 
В прямоугольном треугольнике АВС отмечены: точка К — середина гипотенузы АВ и на катете ВС точка М такая, что 
Пусть отрезки АМ и СК пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая КМ касается описанной окружности треугольника АКР.
и двум парам равных соответствующих сторон 
и 
Следовательно, 
Значит, угол между хордой КР и прямой КМ, равный углу МКС, равен вписанному углу КАР, опирающемуся на хорду КР, поэтому КМ — касательная к описанной окружности треугольника АКР в точке К.
.
.В футбольном турнире участвовало 10 команд, каждая из которых с каждой из остальных сыграла по одному матчу. По окончании турнира выяснилось, что для любой тройки команд найдутся две команды из этой тройки, набравших равное число очков в играх с командами из этой тройки. Доказать, что все команды можно разбить не более, чем на три подгруппы таких, что любые две команды из одной подгруппы сыграли между собой вничью. За выигрыш в футболе команда получает 3 очка, за ничью — 1 очко и за проигрыш — 0 очков.
для некоторых простых p и q.
Из простоты p и q следует, что делителями правой части могут быть только числа 1, p, q и pq, одно из которых и должно равняться 
Ввиду того, что 1, p и q меньше 
получаем 
и 
Перепишем последнее равенство в виде 
откуда 
или 
и 
, 
, 
.По координатной плоскости, стартуя в начале координат, прыгает кузнечик. Первый прыжок длины один сантиметр направлен вдоль оси ОХ, каждый следующий прыжок на 1 см длиннее предыдущего, и направлен перпендикулярно предыдущему в одну из двух сторон по его выбору. Сможет ли кузнечик после 31-ого прыжка оказаться в начале координат?
Две окружности пересекаются в точках Р и М. На первой окружности выбрана произвольная точка А, отличная от Р и М и лежащая внутри второй окружности, лучи РА и МА вторично пересекают вторую окружность в точках В и С соответственно. Доказать, что прямая, проходящая через А и центр первой окружности, перпендикулярна ВС.
как вписанные во вторую окружность, опирающиеся на общую хорду РС, и 
как вписанные в первую окружность, опирающиеся на общую хорду РА. Следовательно, четырёхугольник ВТРЕ вписанный, поэтому 
и прямые АЕ и ВС перпендикулярны.
определённые на всей числовой прямой, удовлетворяющие уравнению 
для произвольных x и y.
тогда 
в условие, тогда:
Следовательно, 
— единственный кандидат в решения. 
— условие задачи выполнено, следовательно, 
.
.
для некоторого натурального 
Заметим, что десять чисел в скобках в обеих частях равенства в условии являются всевозможными попарными суммами чисел a, b, c, d, e, то есть попарными суммами чисел 
Из равенства в условии следует, что произведение всех этих десяти попарных сумм является точным квадратом натурального числа. Выразим это произведение через x: 
оно является квадратом тогда и только тогда, когда квадратом является 
Однако последнее выражение не может быть квадратом, так как оно меньше 
но больше 
в силу того, что 
.
если известно, что 
и сумма первых двух слагаемых выражения равна третьему.
и приведём к общему знаменателю: 
Ввиду 
сокращаем 
и 
: 
Последнее равносильно 
снова сокращаем 
получаем 
а искомое выражение равно 
По координатной плоскости, стартуя в начале координат, прыгает кузнечик. Первый прыжок длины один см направлен вдоль оси ОХ, каждый следующий прыжок на 1 см длиннее предыдущего, и направлен перпендикулярно предыдущему в одну из двух сторон по его выбору. Сможет ли кузнечик после сотого прыжка оказаться в начале координат?
для некоторых 
Тогда 
поэтому 
Следовательно, добавив, при необходимости к числам a, b единицы в количестве, равном 
получим множество натуральных чисел, сумма и произведение которых равны n.В треугольнике АВС отрезки АК, ВL и СМ — высоты, Н — их точка пересечения, S — точка пересечения МК и ВL, Р — середина отрезка АН, Т — точка пересечения прямой LР и стороны АВ. Доказать, что прямая SТ перпендикулярна стороне ВС.
Отсюда 
— произвольные действительные числа. Доказать, что найдётся натуральное k, 
такое, что все k средних арифметических 
не превосходят 
обозначим среднее арифметическое чисел 
через Si. Докажем, что в качестве искомого можно взять любое k такое, что Sk минимально среди всех 
Для любого 
запишем:
и 
что и требовалось доказать. 
без обоснования.
За круглым столом расселись 15 мальчиков и 20 девочек. Оказалось, что количество пар сидящих рядом мальчиков в полтора раза меньше, чем количество пар сидящих рядом девочек. Найти количество пар мальчик — девочка, сидящих рядом.
откуда Х = 5. Следовательно, пар соседних мальчиков 10, девочек — 15, а смешаных соседних пар 15 + 20 − (10 + 15) = 10.
должна делиться на 3 — противоречие с тем, что сумма цифр числа 2017 равна 10.Какое максимальное число треугольников с вершинами в вершинах правильного 18-ти угольника можно отметить так, чтобы никакие две различных стороны этих треугольников не были параллельны? Треугольники при этом могут пересекаться и иметь общие вершины, совпадающие отрезки считаются параллельными.
