При­ведём контр­при­мер (см. рис. На ри­сун­ке сдви­нул­ся тре­уголь­ник  — это ребра, со­еди­ня­ю­щие 3−5 и 2−3).

Ответ: см. рис.

При удво­е­нии сти­пен­дии Маши общий доход семьи уве­ли­чи­ва­ет­ся ровно на ве­ли­чи­ну этой сти­пен­дии, по­это­му она со­став­ля­ет 5% от до­хо­да. Ана­ло­гич­но, зар­пла­ты мамы и папы со­став­ля­ют 15% и 25%. Зна­чит, пен­сия де­душ­ки со­став­ля­ет и если её удво­ят, то доход семьи вы­рас­тет на 55%.

Ответ: на 55%.

Пусть бис­сек­три­са угла при вер­ши­не A па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке M, причѐм и Тогда углы BMA, MAD и AMB равны, по­это­му тре­уголь­ник ABM  — рав­но­бед­рен­ный. Сле­до­ва­тель­но, Пе­ри­метр равен 56. Ана­ло­гич­но для слу­чая Пе­ри­метр равен 70.

Ответ: 56 или 70.

Кри­те­рий: по­те­рян один слу­чай  — ре­ше­ние оце­ни­ва­ет­ся из 3 бал­лов. Ответ, ответ с про­вер­кой  — оце­ни­ва­ет­ся из 3 бал­лов.

Пред­по­ло­жим, что все квад­ра­ты раз­но­го раз­ме­ра. Тогда ни­ка­кие два не стоят в одной стро­ке или столб­це, так как сто­ро­на квад­ра­та равна ши­ри­не столб­ца и вы­со­те стро­ки, в ко­то­рых он стоит. Сум­мар­ная ши­ри­на де­вя­ти столб­цов, в ко­то­рых есть квад­ра­ты, равна сумме длин сто­рон квад­ра­тов, с одной сто­ро­ны. С дру­гой сто­ро­ны, сумма длин сто­рон квад­ра­тов равна сум­мар­ной вы­со­те де­вя­ти строк, в ко­то­рых есть квад­ра­ты. Но тогда и ши­ри­на де­ся­то­го столб­ца равна вы­со­те де­ся­той стро­ки (т. к. из­на­чаль­но раз­би­ва­ли квад­рат), сле­до­ва­тель­но, на их пе­ре­се­че­нии тоже стоит квад­рат, а зна­чит, их ми­ни­мум 10, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Чтобы можно было од­но­знач­но опре­де­лить, в какой из 100 ко­ро­бок лежит приз, тре­бу­ет­ся воз­мож­ность по­лу­чить хотя бы 100 раз­лич­ных от­ве­тов на один набор во­про­сов. Так как от­ве­ты ве­ду­ще­го для раз­лич­ных по­ло­же­ний приза могут от­ли­чать­ся толь­ко чис­лом "да" среди них, то тре­бу­ет­ся воз­мож­ность по­лу­чить в ответ хотя бы 100 раз­лич­ных ко­ли­честв "да". Зна­чит, тре­бу­ет­ся хотя бы 99 во­про­сов (от 0 до 99 "да"). При­мер на 99 во­про­сов. Пусть k-ый во­прос: «Номер ко­роб­ки, в ко­то­рой лежит приз, мень­ше либо равен k?». Тогда если от­ве­тов "да" ноль, то приз в сотой ко­роб­ке, если один, то в 99-й и т. д.

Ответ: 99.

Чтобы по­ка­зать, что Петр не­прав, Катя долж­на найти кар­точ­ку с не­чет­ным но­ме­ром на одной сто­ро­не, и глас­ной на дру­гой сто­ро­не. Един­ствен­ная карта, ко­то­рая может иметь это свой­ство – карта номер 4, на ко­то­рой на­пи­са­на цифра 7.

Ответ: четвёртую карту.

По усло­вию за­да­чи

тогда

Ответ: 2016.

По­сколь­ку у каж­до­го школь­ни­ка в день по 5 уро­ков, то если бы в клас­се был один уче­ник, то общее число уро­ков в день было бы равно 5 · 1200 = 6000. Так как в клас­се 30 уче­ни­ков, то ко­ли­че­ство уро­ков, ко­то­рые про­во­дят­ся в школе каж­дый день равно Сле­до­ва­тель­но, число учи­те­лей в школе равно

Ответ: 50.

По­сколь­ку 7 · 9 · 32 = 2016, то

Ито­го­вая сумма равна 7 · 6 + 9 · 8 + 32 · 31 = 1106.

Ответ: 1106.

Любые две окруж­но­сти, могут пе­ре­се­кать­ся не более чем в двух точ­ках. Из че­ты­рех окруж­но­стей можно вы­брать 6 раз­лич­ных пар окруж­но­стей. Сле­до­ва­тель­но, точек пе­ре­се­че­ния не может быть боль­ше 12.

Ниже на ри­сун­ке пред­став­лен слу­чай, когда точек пе­ре­се­че­ния ровно 12.

Ответ: 12.

Из усло­вия сле­ду­ет, что иначе по­лу­чим не­вер­ное не­ра­вен­ство 2016 < 0. Далее усло­вие за­да­чи пе­ре­пи­шем в виде:

Если a > 0, то ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх и f(−1) < 0, и дан­ное урав­не­ние имеет два раз­лич­ных корня. Ана­ло­гич­но при a < 0. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Дан­ная за­да­ча эк­ви­ва­лент­на сле­ду­ю­щей.

Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число m, для ко­то­ро­го най­дут­ся на­ту­раль­ные числа n и k, такие что n > k > 1 и

Оче­вид­но, что m > 9. Если где то ра­вен­ство озна­ча­ет, что b = 1. Но в этом слу­чае, не­за­ви­си­мо от a вто­рая цифра спра­ва в числе равна a + 1, и это не может быть 1. Таким об­ра­зом, Ясно, что n = 100 не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию по­то­му, что

С дру­гой сто­ро­ны, n = 101 под­хо­дит, т. к. 101∙11=1111.

Ответ: 101.

Про­ве­дем ре­ше­ние ин­дук­ци­ей по ко­ли­че­ству участ­ни­ков кон­фе­рен­ции. База ин­дук­ции про­ве­ря­ет­ся не­по­сред­ствен­но.

Пред­по­ло­жим, что для n участ­ни­ков утвер­жде­ние за­да­чи верно.

Пусть на кон­фе­рен­цию при­е­ха­ли n + 1 участ­ни­ков. Если каж­дый из них имеет чет­ное число зна­ко­мых, что можно оста­вить одну из ком­нат пу­стой и тре­бо­ва­ние за­да­чи будет вы­пол­не­но. По­это­му будем счи­тать, что не­ко­то­рый участ­ник А имеет нечётное ко­ли­че­ство зна­ко­мых B₁, B₂, …, B_{2k + 1}. По­про­сим участ­ни­ка A на время уда­лить­ся с кон­фе­рен­ции. Кроме того, за­ста­вим любых двух его зна­ко­мых по­зна­ко­мить­ся между собой, если они пре­жде не были зна­ко­мы, и, на­про­тив, вре­мен­но пре­рвать зна­ком­ство, если они знали друг друга. По­лу­чен­ную ком­па­нию из n че­ло­век можно, по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции, раз­ме­стить в двух ком­на­тах так, чтобы у каж­до­го было чет­ное число зна­ко­мых в своей ком­на­те. Не ума­ляя общ­но­сти, можно счи­тать, что участ­ни­ки B₁, B₂, …, B_2s по­па­ли в первую ком­на­ту, а B_{2s + 1}, B_{2s + 2}, …, B_{2k + 1}  — во вто­рую (). Те­перь по­зо­вем об­рат­но из­гнан­но­го A и под­се­лим его в первую ком­на­ту  — он будет знать

там чет­ное число людей. При этом ко­ли­че­ство зна­ко­мых у участ­ни­ков B₁, B₂, …, B_2s ста­нет не­чет­ным. На­ко­нец, вер­нем все зна­ком­ства между B_i () в пер­во­на­чаль­ное со­сто­я­ние. Каж­дое при­об­ре­тен­ное или по­те­рян­ное зна­ком­ство ме­ня­ет ко­ли­че­ство зна­ко­мых на еди­ни­цу. По­это­му у каж­до­го из B₁, B₂, …, B_2s ко­ли­че­ство зна­ко­мых среди людей этого на­бо­ра по­ме­ня­ет чет­ность (и ста­нет чет­ным), а у каж­до­го из B_{2s + 1}, B_{2s + 2}, …, B_{2k + 1} по-преж­не­му оста­нет­ся чет­ным. У дру­гих участ­ни­ков, кроме A и B_i, на­бо­ры зна­ко­мых всё это время во­об­ще не ме­ня­лись. По­это­му по­лу­чен­ное раз­ме­ще­ние всех участ­ни­ков по двум ком­на­там удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Пусть A че­ло­век изу­ча­ют ан­глий­ский язык, N  — не­мец­кий, а AN  — оба языка. Тогда N = 2017 − A + AN. Из­вест­но, что и Сле­до­ва­тель­но,

За­ме­тим, что N = 766, если A = 1412, AN = 161, .

Ответ: 766.

Со­бы­тия раз­ви­ва­лись так:

Было 198 голов,

1.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 193 го­ло­вы, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 197,

2.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 192, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 195,

3.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 190, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 191,

4.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 186, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 192,

5.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 187, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 194,

6.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 189, новые не вы­рос­ли.

Таким об­ра­зом, для умень­ше­ния числа голов на 9 (с 198 до 189) по­на­до­би­лось 6 взма­хов. Сле­до­ва­тель­но, для умень­ше­ния числа голов с 198 до 9 по­на­до­бит­ся 6∙(198-9)/9 = 126 взма­хов.

После этого нужно еще 4 взма­ха:

1.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 4 го­ло­вы, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 8,

2.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 3, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 6,

3.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом, оста­лось 1, вы­рос­ли новые по­лу­чи­лось 2,

4.  Иван ца­ре­вич взмах­нул мечом и убил змея.

Ответ: 130 взма­хов.

Пусть x₀  — общий ко­рень урав­не­ний. Под­став­ляя x₀ в урав­не­ние и вы­чи­тая одно из дру­го­го, по­лу­чим

1)  Пусть тогда x₀ = a + b и

От­ку­да сле­ду­ет, что a = b = 0, про­ти­во­ре­чие.

2)  Пусть a = b, тогда оба урав­не­ния имеют вид с дис­кри­ми­нан­том Сле­до­ва­тель­но, един­ствен­ная воз­мож­ность это a = b = 0.

Ответ: {(0, 0)}.

Так как 5120 = 2¹⁰ · 5, то ос­нов­ной во­прос  — сколь­ко цифр в этом числе. Оче­вид­но, что среди цифр нет 0 и есть 5. Из де­ся­ти мно­жи­те­лей 2 мы можем сде­лать ми­ни­маль­но 4 цифры. Это воз­мож­но сде­лать двумя спо­со­ба­ми: 2, 8, 8, 8 или 4, 4, 8, 8. Тогда из двух на­бо­ров цифр 5, 2, 8, 8, 8 и 5, 4, 4, 8, 8 мы долж­ны со­ста­вить наи­мень­шее число. Пер­вая цифра долж­на быть ми­ни­маль­ной, т. е. 2.

Ответ: 25888.

Можно рас­смот­реть слово АСЯ как чет­вер­тую букву, тогда се­ми­бук­вен­ные слова пре­вра­тят­ся в пя­ти­бук­вен­ные. «Буква» АСЯ может сто­ять на одном из 5 мест, в осталь­ных ме­стах может сто­ять любая из 3 букв, сле­до­ва­тель­но, по­лу­ча­ем 5 · 3⁴ = 405 слов. При этом среди них есть слова, где «буква» АСЯ на­пи­са­на два­жды. Эти слова по­счи­та­ны два­жды. Таких слов 3 · 3 = 9: xАСЯА­СЯ, АСЯxАСЯ, АСЯА­СЯx, где x – одна из букв A, C или Я. Таким об­ра­зом, всего раз­лич­ных слов, со­дер­жа­щих имя АСЯ равно 405 − 9 = 396.

Ответ: 396.

Пусть M  — се­ре­ди­на от­рез­ка AP, а пря­мая EM пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AD в точке Q. Тре­уголь­ни­ки MPE и BPE  — равны по двум ка­те­там. Тогда Т. к. тре­уголь­ни­ки QMA и EMP имеют два рав­ных угла. Зна­чит, у них равен и тре­тий угол, и он пря­мой. EQ и AP  — вы­со­ты в тре­уголь­ни­ке ADE, зна­чит, M  — точка пе­ре­се­че­ния высот.

Если 1 ап­ре­ля все со­труд­ни­ки ком­па­нии ска­за­ли прав­ду, то вто­рое утвер­жде­ние про наи­боль­шую зар­пла­ту ложно, что быть не может. Если же все они со­лга­ли, то пер­вое утвер­жде­ние для со­труд­ни­ка с наи­боль­шей зар­пла­той будет верно, то есть вновь по­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие. Таким об­ра­зом, су­ще­ству­ет хотя бы один со­лгав­ший и хотя бы один ска­зав­ший прав­ду.

Возь­мем со­труд­ни­ка, ска­зав­ше­го прав­ду с наи­боль­шей зар­пла­той из всех прав­ди­вых со­труд­ни­ков. По­сколь­ку из его вто­ро­го утвер­жде­ния сле­ду­ет, что по мень­шей мере 30 «лже­цов» имеют боль­шую зар­пла­ту, чем он. Вто­рое утвер­жде­ние со­лгав­ше­го со­труд­ни­ка, име­ю­ще­го наи­мень­шую зар­пла­ту среди «лже­цов» ложно, таким об­ра­зом, не более 29 «лже­цов» имеют боль­шую зар­пла­ту и не более 30 «лже­цов» всего. То есть лже­цов всего 30.

Пер­вое утвер­жде­ние для «лжеца» с наи­бо­лее труд­ной ра­бо­той среди всех «лже­цов» ложно, по­это­му су­ще­ству­ют по мень­шей мере 12 прав­ди­вых со­труд­ни­ков, име­ю­щих более труд­ную ра­бо­ту.

Пер­вое утвер­жде­ние для прав­ди­во­го со­труд­ни­ка с на­и­ме­нее слож­ной ра­бо­той среди всех прав­ди­вых со­труд­ни­ков верно, по­это­му су­ще­ству­ет не более 12 прав­ди­вых со­труд­ни­ков всего. То есть прав­ди­вых со­труд­ни­ков ровно 12. Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем, что в ком­па­нии ра­бо­та­ют 42 со­труд­ни­ка.

Ответ: 42 со­труд­ни­ка.