Всего: 23 1–20 | 21–23
Добавить в вариант
Решите систему
Рассмотрим неравенство системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
и 
Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки посчитать знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке выражение 
положительно, а 
отрицательно. Таким образом, неравенство принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит область, лежащая выше прямой 
и ниже прямых и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге в точках 
Рассмотрим уравнение системы. При 
и 
оно принимает вид
и мы получаем окружность радиуса 5 с центром в точке (3; 4) (точнее её часть, лежащую в первой четверти). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на (−x) и/или y на (−y), множество точек, заданное уравнением системы, симметрично относительно обеих осей координат. Отражая полученную дугу относительно обеих осей координат и точки (0; 0), получаем искомое множество. Обратите внимание, что оно состоит из четырёх дуг окружностей и начала координат.
Теперь становится видно, что множества имеют ровно две общие точки — т. е. система имеет два решения (0; 0) и (6; 0).
Ответ: (0; 0) и (6; 0).
Изображено множество точек, удовлетворяющих неравенству системы — 3 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат не более 2 баллов за задачу.
Изображено множество точек, удовлетворяющих уравнению системы — 2 балла.
Если при этом потеряно начало координат, то 1 балл вместо 2 баллов.
Неверный ответ вследствие неарифметической ошибки — не более 4 баллов за задачу.
Решите систему
Рассмотрим неравенство системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
и 
Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки посчитать знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке выражение 
положительно, а 
отрицательно. Таким образом, неравенство принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит область, лежащая выше прямой 
и ниже прямых и Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем квадрат K с вершинами в точках 
и 
(см. рисунок).
Рассмотрим уравнение системы. При и оно принимает вид
и мы получаем окружность радиуса 13 с центром в точке (5; 12) (точнее её часть, лежащую в первой четверти). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на 
и/ или y на (−y), множество точек, заданное уравнением системы, симметрично относительно обеих осей координат. Отражая полученную дугу относительно обеих осей координат и точки (0 ; 0), получаем искомое множество. Обратите внимание, что оно состоит из четырёх дуг окружностей и начала координат.
Теперь становится видно, что множества имеют ровно две общие точки — то есть система имеет два решения (0; 0) и (−10; 0).
Ответ: (0; 0) и (−10; 0).
Изображено множество точек, удовлетворяющих неравенству системы — 3 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат не более 2 баллов за задачу.
Изображено множество точек, удовлетворяющих уравнению системы — 2 балла.
Если при этом потеряно начало координат, то 1 балл вместо 2 баллов.
Неверный ответ вследствие неарифметической ошибки — не более 4 баллов за задачу.
Решить систему 
Решим:
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить систему 
Преобразуем исходную систему:
Подставим первое уравнение под второе, получим
Ответ:
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить систему 
Решение:
Ответ:
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить систему 
Решим:
Тогда
отсюда 
Значит,
Ответ: {2; 1}.
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить систему
Из исходной системы получаем
Тогда
где второй корень является посторонним, следовательно, 
и 
Проверка:
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить систему
Преобразуем исходную систему:
Из первого уравнения получаем
где второй корень является посторонним. Тогда из второго уравнения следует, что 
следовательно, 
и 
Проверка:
Ответ:
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решите систему уравнений
Воспользуемся неравенством
(среднее квадратическое двух чисел больше их среднего арифметического). Заметим, что правая часть неравенства равна левой при равенстве значений a и b.
Приняв один из корней равенства за a, а другой за b, получим следующие неравенства:
следовательно, 
В этом случае оба неравенства превращаются в равенства, значит,
получаем, что 
Ответ: 
| Баллы | |
|---|---|
| 15 | Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи. |
| 12 | При правильном ответе есть замечания к четкости его изложения и обоснования. |
| 8 | Верно начата решение задачи, получены некоторые промежуточные результаты, дальнейшее решение неверно или отсутствует. |
| 0 | Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям. |
Решить систему 
Преобразуем исходную систему:
Подставим первое уравнение во второе, получим
cледовательно, 
и
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить систему
Решим систему:
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить систему 
Преобразуем исходную систему:
Подставим второе уравнение в первое, получим:
где первый корень является посторонним. Значит, 
и Проверка:
Ответ:
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить систему 
Преобразуем исходную систему:
Пусть 
и 
тогда 
отсюда следует, что 
и 
следовательно, 
точка пересечения 
Значит, и 
Ответ:
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить систему уравнений 
Заметим, что ОДЗ заданной системы уравнений
так как функция 
задана при 
В первом уравнении представим 
Тогда
Во втором уравнении воспользуемся свойством 
то есть
Потенцируя уравнение, получим 
Итак, имеем алгебраическую систему
Первый случай:
что невозможно, так как 
Второй случай:
Ответы удовлетворяют ОДЗ.
При решении любой системы уравнений достаточно сложно установить тождественность всех преобразований (это может занять больше времени, чем само решение системы), поэтому следует всегда делать проверку.
Проверка. Подставим x и y в левую часть первого уравнения и в левую и правую части второго уравнения по отдельности и убедимся, что левые части тождественно равны (или не равны) правым. При и 
получим
При 
и 
получаем
Таким образом, обе пары корней являются решениями системы.
Ответ: 
Решить систему уравнений
Запишем ОДЗ: 
то есть 
Тогда
Решим систему по частям.
1) При 
получаем:
Не входит в ОДЗ.
2) При 
получаем:
Следовательно, (2; −6).
3) При 
получаем:
Графики функций 
и 
не пересекаются, то есть решений нет.
Таким образом, cистема уравнений имеет одно решение (2; −6).
Ответ: (2; −6).
Найдите все тройки (x, y, z) попарно взаимно простых натуральных чисел, удовлетворяющих системе
где 
взаимно простые натуральные числа. В ответ запишите наибольшее возможное значение 
Перепишем систему
Так как x, y, z — натуральные числа, то 
Поэтому во втором уравнении можно поделить обе части уравнения на одинаковое ненулевое число, отсюда составим систему:
Заменяем в первом уравнении x на 
получаем
Так как y и z — взаимно просты, то 
и 
Следовательно,
А так как взаимно простые натуральные числа, то x, y, z попарно взаимно простые числа. Осталось вычислить
Ответ: 
Решите систему уравнений
Непосредственно проверяется, что числа
являются решением системы. Докажем, что решение единственно. Для этого покажем, что функция (x), заданная первым уравнением, строго монотонно убывает, а функция, заданная вторым уравнением, строго монотонно убывает. Действительно, производная первой функции равна
Вторая функция определена при 
и её производная имеет вид
Таким образом, система имеет единственное решение (При обосновании монотонности указанных функций можно и не использовать производную, а сослаться на соответствующие свойства показательной и логарифмической функций для конкретных оснований).
Ответ: 
Решите систему уравнений:
(Р. Алишев)
Сложим эти уравнения и соберем полные квадраты:
Очевидно, что только при 
и 
квадраты принимают свои наименьшие значения, равные нулю. Подстановкой найденных значений переменных в исходную систему убеждаемся, что они удовлетворяют обоим равенствам.
Ответ: 
Решить систему уравнений
Обозначим через g(x) левую часть первого уравнения системы, а через h(x) — правую часть второго уравнения системы. Сложив левую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения и правую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения, получим
Функция 
—
и решение заданной системы сводится к решению уравнения 
и после обозначения 
получаем 
или 
следовательно, 
Ответ: 
Решите систему уравнений
Первое уравнение при условии 
равносильно уравнению
или 
Подставляем во второе уравнение исходной системы.Если 
то 
и получаем две пары 
и 
Если 
то 
откуда также имеем две пары 
и 
Из четырёх найденных пар чисел неравенству 
удовлетворяют только две из них: 
Ответ: 
Получено только одно линейное соотношение между x и y — 1 балл;
получены два линейных соотношения между x и y — 2 балла;
найдены решения системы для каждого линейного соотношения — по 1 баллу за соотношение;
приобретены лишние решения (не сделан отбор корней) или потеряны решения (за счёт того, что выражения вида 
заменено выражением 
и при этом не учтён случай, когда оба числа a, b неположительны — не более 2 баллов за задачу.
Наверх