Всего: 32 1–20 | 21–32
Добавить в вариант
Решите уравнение 
Перемножаемые трехчлены имеют одинаковые дискриминанты. Значит, модуль разности корней первого трехчлена равен модулю разности корней второго. Это позволяет с успехом применить определенную «центрирующую» замену:
Замена 
Тогда
Получившееся биквадратное уравнение решается затем стандартным образом.
Ответ: 
Решите уравнение 
Пусть 
тогда
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: {-3; 1}.
Решите уравнение 
Перемножаемые трехчлены имеют одинаковые дискриминанты. Значит, модуль разности корней первого трехчлена (хоть они и мнимые) равен модулю разности корней второго. Это позволяет с успехом применить определенную «центрирующую» замену:
Замена Тогда
Получившееся биквадратное уравнение решается затем стандартным образом.
Ответ: 
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение 
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Решите уравнение 
а) Преобразовав данное уравнение к виду 
и построив график функции 
получим ответ.
Ответ: один корень, если 
два, если 
и три корня, если 
б) Исследовав функцию 
нетрудно показать, что она неотрицательна при всех x, значит, 
Осталось перемножить неравенства 
(обе части которых по предположению неотрицательны).
в) Положим для удобства 
и 
Таким образом, 
и 
откуда
Если, к примеру,
то 
г) Так как 
то функция f монотонна на каждом из отрезков 
значит, на каждом из них она имеет не более одного корня. То, что
достаточно ясно.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два, если и три корня, если Решите уравнение
Перегруппируем слагаемые
Отсюда сразу получаем все корни.
Ответ: 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Решите уравнение 
Домножим обе части уравнения на (x − 1)2, тогда уравнение примет вид:
раскроем скобки, решим уравнение:
Корень x = 1 мог возникнуть из-за домножения на (x − 1)2, проверкой убеждаемся, что x = 1 не является корнем исходного уравнения.
Ответ: 
| Условия выставления | Баллы |
|---|---|
| Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи | 12 |
| При верном и обоснованном ходе решения имеется арифметическая ошибка или решение недостаточно обосновано | 8 |
| Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям | 0 |
Решить уравнение 
Преобразуем исходное выражение:
Подстановка 
тогда
Значит,
Второе уравнение системы не имеет решений.
Ответ: 
| Баллы | |
|---|---|
| 5 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 2 | Ход решения правильный, но ответ получен неверный из-за одной арифметической ошибки. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из критериев. |
Решить уравнение:
Преобразуем исходное выражение:
Сделаем замену: 
тогда уравнение примет вид
Ответ: 
| Баллы | |
|---|---|
| 10 | Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи. |
| 8 | При верном и обоснованном ходе решения имеется арифметическая ошибка или решение недостаточно обосновано. |
| 0 | Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям. |
Решите уравнение
Сделаем замену переменной 
получаем 
где 
Тогда 
имеет корни
а соответствующие уравнения для x дают корни
Уравнение 
корней не имеет.
Ответ: 
Решите уравнение
В ответ напишите напишите сумму квадратов действительных корней уравнения.
Замечаем, что 
не является решением уравнения, поэтому можно поделить на 
Сгруппируем
Решаем через дискриминант два уравнения 
и 
Во всех вариантах числа подбирались таким образом, чтобы 
и 
В итоге получаем, что наше исходное уравнение имеет только два действительны x корня
Тогда сумма квадратов равна
Ответ: 
Решите уравнение
В ответ напишите сумму квадратов действительных корней уравнения.
Замечаем, что не является решением уравнения, поэтому можно поделить на Сгруппируем
Решаем через дискриминант два уравнения 
и 
Находим корни
Bce четыре корня — действительные числа (во всех вариантах числа были подобраны таким образом, чтобы дискриминанты неотрицательны). В итоге получаем
Решение (нечестное). Если поверить, что все четыре корня уравнения являются действительными числами, то возможно найти ответ более коротким способом. По теореме Виета
Поэтому
Ответ: 
Решите уравнение 
Сделав замену 
получим уравнение 
Заметив, что 
является корнем и разделив левую часть на 
будем иметь
Многочлен 
также имеет корень 
После деления этого многочлена на 
получаем уравнение
Многочлен 
имеет только положительные коэффициенты и поэтому у него нет неотрицательных корней. Таким образом, — единственный корень (кратности 2) и, возвращаясь к переменной x, получаем два корня 
Ответ: 
Решите уравнение: 
Заметим, что 
для каждого x, а
для каждого y. Поэтому левая часть уравнения больше или равна 
притом равенство достигается только при и 
Это и дает ответ.
Ответ: 
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Решите уравнение: 
Заметим, что 
для каждого x, а
для каждого y. Поэтому левая часть уравнения больше или равна 
притом равенство достигается только при и 
Это и даёт ответ.
Ответ: 
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Найдите сумму четвертых степеней действительных корней уравнения 
Корни уравнения имеют вид 
—
Значит, сумма
тут мы воспользовались т. Виета.
Ответ: 1 991 932.
Решите уравнение
Заметим, что ОДЗ данного уравнения — отрезок [0; 4]. На этом отрезке квадратные трехчлены 
и 
не превосходят 0. Сумма двух неположительных слагаемых равна 0 только если каждое из них равно 0. Первое равно 0 при 
Второе равно 0 при 
Совпадают только 0 и 4.
Ответ: 
Найдите сумму 
если известно, что три различных действительных числа x, y и z удовлетворяют условиям:
Кубическое уравнение 
имеет три различных действительных корня, так как для функции
выполняется 
Это корни и будут числами x, y и z. Поэтому по теореме Виета 
Искомая сумма
Ответ: 2.
Сумма шести первых членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, в 344 раза больше суммы трёх её первых членов. Найдите знаменатель прогрессии.
Пусть 
и 
—
не подходит. Если и (при этом 
то из условия задачи имеем
откуда получаем 
Ответ: 7.
Нынешний год — високосный, то есть 29 февраля 2020 г. (29.02.2020) — реальная календарная дата. Вычислим следующие величины:
— S1 — сумма трёх чисел 2, 29 и 2020;
— S2 = 4081245 — сумма квадратов этих чисел;
— S3 = 8242432397 — сумма кубов этих же чисел.
Найдите все (вещественные) корни уравнения
Заметим, что если кубический многочлен 
представим в виде произведения
то имеют место следующие равенства:
а) 
б) 
в) 
а корни 
—
и для первого коэффициента имеем 
то можно предположить, что корни этого уравнения 
и 
Для того, чтобы доказать эту гипотезу, достаточно показать, что
1) 
2) 
Первое из этих равенств достаточно очевидно, но второе доказывается несколько более кропотливо, поэтому для упрощения доказательства введем обозначения 
и 
Для первого из равенств имеем:
Для второго из равенств имеем:
Ответ: уравнение имеет три корня и
и Нынешний год — високосный, то есть 29 февраля 20 г. (29.02.20) — реальная календарная дата. Сколько (вещественных) корней (и какой кратности) имеет уравнение 
Рассмотрим функцию функция 
с вещественными коэффициентами.
Сначала заметим, что такая функция обязательно имеет (хотя 6ы) один корень на 
так как 
и 
поэтому ее график «где-том должен пересечь ось абсцисс.
Далее заметим, что если такая функция имеет две точки локальных экстремумов 
на 
то первая из них x1 — обязательно локальный максимум, а x2 — обязательно локальный минимум (см. рис.).
И, наконец, заметим, что такая функция с двумя локальными экстремумами имеет три разных корня тогда и только тогда, когда 
а 
(см. рис.).
Найдем точки экстремумов функции
на 
Так как
то точки локальных экстремумов — это корни уравнения 
то есть точки
и
Теперь нам надо вычислить значения функции
в найденных точках экстремумов. Для того, чтобы упростить наши вычисления, воспользуемся тем, что в этих точках производная равна нулю:
В соответствии с этим представлением имеем:
и
Следовательно, уравнение 
не может иметь более одного (вещественного) корня.
Ответ: уравнение имеет единственный (и однократный) вещественный корень.
имеет единственный (и однократный) вещественный корень.Наверх