Всего: 37 1–20 | 21–37
Добавить в вариант
Решите неравенство
Так ОДЗ логарифмов неравенства определяется условиями
В итоге получаем 
и 
Обозначим 
и 
Записываем и преобразуем неравенство:
Для решения этого неравенства далее применяем метод рационализации: знак разности 
на области допустимых значений совпадает со знаком выражения 
в частности (при 
знак логарифма 
совпадает со знаком 
Подставляем сюда выражения для u, v, w и решаем получающееся неравенство: u, v, w и решаем получающееся неравенство:
С учётом ОДЗ остаётся
Ответ: 
Нахождение ОДЗ отдельно не оценивается. За любое неэквивалентное на ОДЗ преобразование — 0 баллов за задачу.
Неравенство преобразовано к виду 
— 2 балла.
Неравенство сведено к рациональному или системе рациональных неравенств — 1 балл.
Ответ отличается от верного конечным количеством точек — снять по 1 баллу за каждую лишнюю/недостающую точку, но не более 3 баллов.
Ответ отличается от верного более чем на коечное число точек — не более 3 баллов за задачу.
Решите неравенство
Так ОДЗ логарифмов неравенства определяется условиями
В итоге получаем 
и 
Обозначим 
и 
Записываем и преобразуем неравенство:
Для решения этого неравенства далее применяем метод рационализации: знак разности 
на области допустимых значений совпадает со знаком 
знак логарифма совпадает со знаком
Подставляем сюда выражения для u, v, w и решаем получающееся неравенство:
С учётом ОДЗ остаётся 
Ответ: 
Нахождение ОДЗ отдельно не оценивается. За любое неэквивалентное на ОДЗ преобразование — 0 баллов за задачу.
Неравенство преобразовано к виду — 2 балла.
Неравенство сведено к рациональному или системе рациональных неравенств — 1 балл.
Ответ отличается от верного конечным количеством точек — снять по 1 баллу за каждую лишнюю/недостающую точку, но не более 3 баллов.
Ответ отличается от верного более чем на коечное число точек — не более 3 баллов за задачу.
Решите неравенства:
а) 
б) 
в) Докажите, что уравнение 
имеет решения при любых целых k.
а) Сделав замену
получим неравенство 
которое можно решить стандартным методом, однако с некоторой целью построим график функции, заданной формулой 
(см. рисунок). Ясно, что неравенство 
выполняется при 
значит, 
Ответ: 
б) Замена 
приводит к неравенству 
или 
где 
(см. пункт а)). Из графика функции f (см. рисунок) получаем, что 
или 
или 
откуда и следует ответ.
Ответ: 
в) Аналогично предыдущим пунктам, сделав замену 
получим уравнение 
или 
Множеством значений 
при 
является объединение лучей 
(см. рис.), которое содержит все целые числа.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) Замена приводит к неравенству или где (см. пункт а)). Из графика функции f (см. рисунок) получаем, что или или откуда и следует ответ.
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все b, при которых система неравенств
имеет единственное решение.
а) Область определения неравенства — луч 
Поскольку 
то
значит,
Решением первой системы неравенств является отрезок 
решение второй — отрезок 
— не лежит в области определения исходного неравенства.
Ответ: 
б) Выражение 
при помощи преобразования произведения косинусов в сумму и наоборот может быть приведено к виду 
откуда 
или 
Ответ: 
в) Первое из неравенств системы задает множество точек, лежащих не ниже параболы 
второе — множество точек, лежащих, не левее симметричной ей относительно прямой 
параболы 
Ясно, что эти множества имеют единственную общую точку тогда и только тогда, когда первая парабола касается прямой 
поскольку тогда вторая парабола также касается этой прямой, причем в той же самой точке. Парабола 
касается прямой если квадратное уравнение 
имеет единственное решение. Приравняв нулю дискриминант этого уравнения, получим ответ.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все b, при которых система неравенств
имеет единственное решение.
а) Преобразуем исходное выражение при условии 
(иначе оно не определено) и рационализируем его
Вернемся к неравенству
Множитель 
положителен при и на знак не влияет. Корнями остальных множителей будут 
и 
причем
а 
и 
меньше двойки и нас не интересуют. С помощью метода интервалов получим ответ на 
Ответ: 
б) Домножим уравнение на 
отметив сразу, что точки 
не являются корнями исходного уравнения, поскольку для них 
и 
но 
Решим
Осталось выкинуть точки вида поскольку они появились в ответе от умножения на 
Они получаются, если k делится на 3 но не на 6. Окончательно 
и 
Ответ: 
в) Найдите все b, при которых система неравенств 
имеет единственное решение.
Очевидно, что если пара чисел 
подходит в систему, то и пара чисел 
подходит в систему, поэтому единственным решение может быть только если 
Далее, из пар вида 
должна подходить ровно одна (больше одной нельзя по условию, а если не подходит ни одна, то единственного решения не будет), то есть 
Перепишем его в виде 
Тогда трехчлен 
должен иметь единственный корень (если корней два, то на роль x подойдет любое число между корнями, а если корней нет вовсе, то у неравенства не будет решений). Тогда его дискриминант 
откуда Осталось убедиться, что система неравенств
имеет только решение 
Сложив неравенства, получим 
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Преобразуем левую часть неравенства:
Обозначим 
Тогда
и неравенство принимает вид 
Одним из корней многочлена в левой части является 
Выделив множитель 
получаем
откуда 
(так как 
то второй множитель положителен). Находим x:
Ответ: 
Получено неравенство относительно 
(или 
и т. д.) — 2 балла.
То же без упрощения правой/левой части — 1 балл.
Получено решение этого неравенства относительно t — 2 балла.
Совершён возврат к переменной x — 2 балла.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за задачу.
Решите неравенство
Преобразуем левую часть неравенства:
Обозначим 
Тогда
и неравенство принимает вид
Одним из корней многочлена в левой части является 
Выделив множитель 
получаем
откуда 
(так как то второй множитель положителен). Находим x:
Ответ: 
Получено неравенство относительно (или и т. д.) — 2 балла.
То же без упрощения правой/левой части — 1 балл.
Получено решение этого неравенства относительно t — 2 балла.
Совершён возврат к переменной x — 2 балла.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за задачу.
Решите неравенство
Так ОДЗ неравенства задаётся условиями 
и 
(тогда подлогарифмическое выражение также положительно), откуда
и 
На ОДЗ данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:
С учётом ОДЗ получаем
Ответ: 
За каждый верно рассмотренный случай («основание > 1», «основание < 1») — 3 балл.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за все последующие действия.
В ответ включено значение x, при котором основание логарифма равно 1 — снять 1 балл.
В ответ включено значение x, при котором основание логарифма равно 0 — снять 1 балл.
В ответ включены значения x, при которых основание логарифма отрицательно — не более 3 баллов за задачу.
Решите неравенство
Так ОДЗ неравенства задаётся условиями 
и 
(тогда подлогарифмическое выражение также положительно), откуда 
и 
На ОДЗ данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:
С учётом ОДЗ получаем 
Ответ: 
За каждый верно рассмотренный случай («основание > 1», «основание < 1») — 3 балл.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за все последующие действия.
В ответ включено значение x, при котором основание логарифма равно 1 — снять 1 балл.
В ответ включено значение x, при котором основание логарифма равно 0 — снять 1 балл.
В ответ включены значения x, при которых основание логарифма отрицательно — не более 3 баллов за задачу.
Данное неравенство равносильно следующему:
После замены 
неравенство принимает вид:
или
то есть 
Находим значения x. При 
получаем:
или
При 
получаем:
или
Ответ: 
Левая часть приведена к алгебраической функции относительно одного логарифма — + 2 балла.
Решено полученное алгебраическое неравенство — + 1 балл.
Потеряны отрицательные решения — не более 2 баллов за задачу.
В ответ включён x = 0 — снять 1 балл.
Решите неравенство
Данное неравенство равносильно следующему:
После замены 
неравенство принимает вид
откуда
Находим значения x. При 
получаем
При 
получаем
Ответ: 
Левая часть приведена к алгебраической функции относительно одного логарифма — 2 балла.
Решено полученное алгебраическое неравенство — 1 балл.
Потеряны отрицательные решения — не более 2 баллов за задачу.
В ответ включён 
—
Найдите все целые решения уравнения 
В ответе укажите сумму x + y для решения (x; y), где y — наименьшее, превосходящее 70.
Исходное уравнение равносильно уравнению
при этом 
а значит, 
Так как число 3 простое, то или 
(тогда 
или y делится на три и не имеет других простых делителей. Значит, 
где 
Поэтому 
Так как 
то 
искомое решение: 
В ответ записываем 
Ответ: 117.
Найдите все целые решения уравнения 
В ответе укажите сумму x + y для решения (x; y),
Решить уравнение 
Запишем ОДЗ: 
и 
отсюда 
Тогда
где второй корень не удовлетворяет ОДЗ. Итого, 
Ответ: {5}.
Решить уравнение 
Запишем ОДЗ: 
Тогда
отсюда
значит,
Ответ: 105; 
Решить уравнение 
Запишем ОДЗ 
Тогда
Проверка: при 
получаем 
при 
получаем 
Ответ:
Решить уравнение 
Решение: ОДЗ: 
Тогда
Ответ: 
Решить уравнение 
Запишем ОДЗ: 
и 
следовательно, 
Тогда
Проверка: 
Ответ: {21}.
Решить уравнение 
Запишем ОД3: 
и 
следовательно, 
Тогда
Ответ: 
Наверх