До­ка­жем тре­бу­е­мое утвер­жде­ние ин­дук­ци­ей по ко­ли­че­ству гно­мов.

База  — один гном; утвер­жде­ние оче­вид­но.

Шаг  — пусть утвер­жде­ние верно для лю­бо­го клана из n гно­мов, до­ка­жем его для лю­бо­го клана из n + 1 гно­мов.

Рас­смот­рим про­из­воль­ный клан из n + 1 гно­мов и то, как они ме­ня­лись мо­не­та­ми. Пусть a_ij  — число монет у гнома номер i на в день номер j. Среди всех чисел a_ij есть мак­си­маль­ное  — так как все a_ij на­ту­раль­ны и огра­ни­че­ны свер­ху сум­мар­ным ко­ли­че­ством монет в клане. Пусть a_kp  — одно из мак­си­маль­ных чисел. Тогда, на­чи­ная с дня номер p, гном номер k не будет ни­ко­му да­вать мо­не­ты и ни у кого по­лу­чать мо­не­ты. Дей­стви­тель­но: гном номер k может от­дать мо­не­ты, толь­ко если найдётся гном, у ко­то­ро­го боль­ше монет. А та­ко­го гнома ни­ко­гда не найдётся из мак­си­маль­но­сти a_kp. Гном номер k не может по­лу­чить мо­не­ты, по­то­му что если ему кто-то от­даст мо­не­ты, то число монет у гнома номер k ста­нет боль­ше a_kp, что так же про­ти­во­ре­чит мак­си­маль­но­сти a_kp.

На­чи­ная со дня номер p, будем рас­смат­ри­вать всех гно­мов, кроме гнома с но­ме­ром k, как клан из n гно­мов. Это кор­рект­но, так как они не по­лу­ча­ют и не от­да­ют мо­не­ты гному с но­ме­ром k. По пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции, на­чи­ная с ка­ко­го-то дня, гномы в этом новом клане пе­ре­ста­нут пе­ре­да­вать друг другу мо­не­ты, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Пусть S_n  — сумма вкла­да через n ме­ся­цев после на­чис­ле­ния про­цен­тов и после вне­се­ния до­пол­ни­тель­ных взно­сов D (15000 руб.). Так как в месяц банк на­чис­ля­ет 1%, то

При­ме­няя фор­му­лу суммы n чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но,

Ис­ко­мое число ме­ся­цев удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству:

Таким об­ра­зом, до­ста­точ­ная для по­куп­ки ав­то­мо­би­ля сумма будет на вкла­де через 29 ме­ся­цев.

Ответ: через 29 ме­ся­цев.

Обо­зна­чим массу 5%-ого рас­тво­ра за x кг, масса 20%-ого рас­тво­ра будет кг, а общая масса соли в 5%-ом и 20%-ом рас­тво­рах равна массе соли в 90 кг 7%-ого рас­тво­ра: от­ку­да и

Ответ: 78 кг 5%-ого и 12 кг 20%-ого рас­тво­ров.

При ре­ше­нии за­да­чи будем ис­поль­зо­вать свой­ство умень­ше­ния пер­во­го раз­ря­да. Оно со­сто­ит в том, что при умно­же­нии двух цифр a и b по­лу­ча­ет­ся либо од­но­знач­ное число (цифра), либо дву­знач­ное, и в по­след­нем слу­чае пер­вая цифра дву­знач­но­го про­из­ве­де­ния мень­ше, чем ми­ни­маль­ная из цифр a, b. Дей­стви­тель­но, дву­знач­ные числа a₀ = 10 × a и b₀ = 10 × b боль­ше, чем ab, так как a, b < 9. Тем самым на каж­дом шаге либо по­лу­ча­ет­ся на цифру мень­ше (пер­вый слу­чай), либо число цифр со­хра­ня­ет­ся, но ми­ни­маль­ная из всех цифр, на­пи­сан­ных на доске, не уве­ли­чи­ва­ет­ся.

Будем до­ка­зы­вать утвер­жде­ние за­да­чи ин­дук­ци­ей по числу n

База ин­дук­ции: при n = 1 утвер­жде­ние оче­вид­но. Утвер­жде­ние для n = 2 сле­ду­ет из свой­ства умень­ше­ния пер­во­го раз­ря­да, в силу ко­то­ро­го через не­сколь­ко шагов оста­нет­ся одна цифра.

Шаг ин­дук­ции. Пусть утвер­жде­ние до­ка­за­но для n = k. До­ка­жем его для n = k + 1. Пусть m  — ми­ни­маль­ная из цифр, на­пи­сан­ных на доске. До­ста­точ­но по­ка­зать, что через не­сколь­ко шагов либо число цифр умень­шит­ся, либо ми­ни­маль­ная цифра умень­шит­ся: по­явит­ся цифра мень­ше m. Пред­по­ло­жим про­тив­ное. Тогда число цифр не умень­ша­ет­ся и в каж­дый мо­мент есть цифра m, к ко­то­рой оче­ред­ной шаг за­да­чи не при­ме­ня­ет­ся: каж­дый шаг не за­тра­ги­ва­ет хотя бы одну цифру m. В про­тив­ном слу­чае, если оста­лась одна или две цифры m, и к ней (со­от­вет­ствен­но, к ним обеим) при­ме­нен шаг за­да­чи, и при этом число цифр не умень­ша­ет­ся, то ми­ни­маль­ная цифра умень­шит­ся в силу свой­ства умень­ше­ния пер­во­го раз­ря­да. Вы­ше­ска­зан­ное эк­ви­ва­лент­но тому, что все шаги за­да­чи при­ме­ня­ют­ся к мень­ше­му на­бо­ру цифр: ко всем, кроме одной из цифр m. А тогда по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции через не­сколь­ко шагов на доске, кроме цифры m, оста­нет­ся одна цифра. Это сво­дит шаг ин­дук­ции к слу­чаю двух цифр, для ко­то­ро­го утвер­жде­ние за­да­чи до­ка­за­но. Шаг ин­дук­ции до­ка­зан.

За­пи­шем дан­ные в виде таб­ли­цы:

	сахар	вишня
1 повар	x	2x
2 повар	2y	3y
новая смесь

1)  Со­ста­вим урав­не­ние:

от­сю­да или

2)  Сумма сме­сей 1 по­ва­ра и 2 по­ва­ра:

от­сю­да и Смеси 1-го по­ва­ра надо взять: смеси 2-го по­ва­ра:

Ответ: 1 повар  — 0,9 кг, 2 повар  — 1 кг.

Пусть υ₁ и υ₂  — ско­ро­сти ве­ло­си­пе­ди­стов, t  — время до встре­чи. Тогда пер­вый ве­ло­си­пе­дист про­ехал до встре­чи путь υ₁t, а вто­рой  — путь υ₂t. Из усло­вий за­да­чи тогда будем иметь (мин.) и (мин.). Из этих урав­не­ний по­лу­чим, ис­клю­чая t, что то есть Тогда зна­че­ние (мин).

Ответ: время до встре­чи  — 1 час. Ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста боль­ше ско­ро­сти вто­ро­го в 1,5 раза.

Пункт а). Цве­тов не может быть боль­ше 42, иначе есть цвет, в ко­то­рый по­кра­шен толь­ко один дом, тогда домов этого этого цвета ни в каком от­рез­ке не может быть стро­го боль­ше, чем лю­бо­го дру­го­го. По­ка­жем при­мер на 42 цвета, то есть такую рас­крас­ку, что для каж­до­го цвета в него было по­кра­ше­но ровно два дома, при­том су­ще­ству­ет от­ре­зок из 20 домов, в ко­то­рый эта пара од­но­цвет­ных по­па­да­ет це­ли­ком, а любая дру­гая  — нет.

На­зо­вем 38-бло­ком сле­ду­ю­щую кон­струк­цию: под­ряд стоят 38 домов, пары домов на рас­сто­я­нии 19 (то есть такие, между ко­то­ры­ми ровно 18 дру­гих домов)по­кра­ше­ны в один цвет, и боль­ше этого цвета домов нет (не толь­ко в блоке но во­об­ще из участ­ву­ю­щих домов); 2-бло­ком на­зо­вем сто­я­щие под­ряд два дома, по­кра­шен­ные в уни­каль­ный цвет. 84 дома надо рас­кра­сить так: 2-блок, 38-блок, два 2-блока, 38-блок, 2-блок. Оста­лось до­ка­зать, что эта рас­крас­ка под­хо­дит, мы остав­ля­ем это чи­та­те­лю в ка­че­стве не­слож­но­го упраж­не­ния (но каж­дый участ­ник, ко­то­рый оста­вил это жюри в ка­че­стве не­слож­но­го упраж­не­ния, не­до­счи­тал­ся од­но­го балла).

Пункт б). Этот же при­мер поз­во­ля­ет ре­а­ли­зо­вать 42 цвета на 86 домах  — в конец до­ба­вим еще два дома, цвет ко­то­рых сов­па­да­ет с по­след­ним 2-бло­ком.

Оцен­ка. По­нят­но что каж­до­го цвета долж­но быть хотя бы два дома, зна­чит, ответ для не боль­ше 43. Если для ответ 43, то каж­до­го цвета ровно два дома. За­ну­ме­ру­ем цвета в по­ряд­ке их по­яв­ле­ния слева на­пра­во, и пусть дома i-го цвета имеют но­ме­ра и при­чем По опре­де­ле­нию До­ка­жем что Пред­по­ло­жим про­тив­ное, то есть для каких-то ока­за­лось Вспом­нив что и видим, что то есть любой от­ре­зок, со­дер­жа­щий a_i, b_i, также со­дер­жит a_i, b_i, то есть нет от­рез­ка, на ко­то­ром домов i-го цвета боль­ше всего  — при­ве­ли пред­по­ло­же­ние к про­ти­во­ре­чию.

До­ка­жем еще два по­лез­ных не­ра­вен­ства:   — иначе нет от­рез­ка из 20 домов, в ко­то­рый по­па­ли оба из a_i, b_i; и   — иначе каж­дый от­ре­зок, со­дер­жа­щий a_i, b_i, также со­дер­жит или или

Bce го­то­во для ре­ше­ния. Среди пер­вых 20 но­ме­ров ровно одна b-шка, это b₁: иначе, если там есть и b₂, среди домов от 1 до 20 есть два дома вто­ро­го цвета, тогда для пер­во­го цвета нет от­рез­ка, в ко­то­ром его боль­ше чем лю­бо­го дру­го­го (по­сколь­ку толь­ко от­ре­зок [1, 20] со­дер­жит два дома пер­во­го цвета, но он со­дер­жит и два дома вто­ро­го). Зна­чит, среди пер­вых 20 домов ровно 19a-шек. Зна­чит, из со­от­вет­ству­ю­щих им b-шек 18 лежат среди 19 но­ме­ров от 21 до 39, то есть там мак­си­мум одна a-шка, это может быть толь­ко Мы до­ка­за­ли, что По­вто­рив то же самое рас­суж­де­ние с дру­го­го конца, по­лу­чим, что Но это про­ти­во­ре­чит не­ра­вен­ству (част­ный слу­чай до­ка­зан­но­го выше для

Ответ: а)  42; б)  43.

Су­хо­го ве­ще­ства в све­жих гри­бах 2,2 кг, что со­став­ля­ет 88% в сухих гри­бах. Со­ста­вив со­от­вет­ству­ю­щую про­пор­цию, найдём вес сухих гри­бов.

Ответ: 2,5 кг.

Су­хо­го ве­ще­ства в све­жих гри­бах 4 кг, что со­став­ля­ет 80% в сухих гри­бах. Со­ста­вив со­от­вет­ству­ю­щую про­пор­цию, найдём вес сухих гри­бов.

Ответ: 5 кг.

Оцен­ка: Пусть мы стёрли не боль­ше 4 чисел. Зна­чит, на доске оста­лось не мень­ше 16 чисел. По­смот­рим, какие числа могли остать­ся. Числа 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19 не могут участ­во­вать ни в каких про­грес­си­ях, по­это­му их вычёрки­ва­ние ни на что не по­вли­я­ет, а лишь уве­ли­чит ответ. Оста­лось 13 чисел, среди ко­то­рых надо оста­вить не мень­ше де­вя­ти чисел. Разобьём 12 из этих чисел на сле­ду­ю­щие трой­ки: (1, 3, 9); (2, 6, 18); (4, 8, 16); (5, 10, 20). Числа в каж­дой трой­ке со­став­ля­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, а зна­чит из каж­дой трой­ки мы можем оста­вить не более 2 чисел, то есть всего не более 8 чисел. Сле­до­ва­тель­но, число 12, не во­шед­шее ни в одну трой­ку, долж­но остать­ся на доске.

Про­грес­сии, со­дер­жа­щие число 12 сле­ду­ю­щие: (3, 6, 12); (9, 12, 16); (8, 12, 18). Число 12 точно оста­лось на доске, зна­чит, из каж­дой трой­ки по­ми­мо числа 12 долж­но остать­ся не более од­но­го числа, то есть сум­мар­но из всех троек мы можем оста­вить на доске не более 4 чисел. Надо оста­вить ещё не менее 5 чисел, ко­то­рые можно вы­би­рать толь­ко среди чисел 1, 2, 4, 5, 10, 20. Од­на­ко, вы­би­рая не менее 5 чисел, на доске оста­нет­ся одна из про­грес­сий (1, 2, 4) или (5, 10, 20), чего быть не может. Таким об­ра­зом, сте­реть с доски мень­ше 5 чисел нель­зя.

Ответ: 5 чисел. При­мер: 4, 6, 9, 10, 12.

Если взять x (кг) аб­ри­кос и y (кг) ви­но­гра­да, то после сушки аб­ри­кос ста­нет 0,9x а ви­но­гра­да 0,7y. Так как пер­вая масса долж­на быть в 2 раза боль­ше вто­рой, то то есть

Ответ: 1,56.

За­ме­тим, что при­бав­ка зар­пла­ты 10%  — это зар­пла­та 1.1S. Ру­тин­ное ре­ше­ние  — ак­ку­рат­ный раз­бор слу­ча­ев. Од­на­ко, за­да­чу можно ре­шить без раз­бо­ра слу­ча­ев сле­ду­ю­щим об­ра­зом.

За­ме­тим, что каж­дый раз при пе­ре­хо­де с зар­пла­ты S со став­кой на­ло­га k на зар­пла­ту 1.1S, когда про­ис­хо­дит по­вы­ше­ние став­ки на­ло­га, новая став­ка ста­но­вит­ся По­это­му во­прос об уве­ли­че­нии ре­аль­но­го до­хо­да ра­бот­ни­ка пре­вра­ща­ет­ся в не­ра­вен­ство

сле­до­ва­тель­но, то есть или что все­гда верно в усло­ви­ях за­да­чи, так как мак­си­маль­ная став­ка на­ло­га 30%.

Вывод: Ра­бот­ни­ку в любом слу­чае имеет смысл про­сить при­бав­ки зар­пла­ты на 10%.

Ответ: ра­бот­ни­ку в любом слу­чае имеет смысл про­сить при­бав­ки зар­пла­ты на 10%.

As there are 13% of water in dried apricots, 87% constitute the «dry matter». It means that there is kilograms of dry matter in 16,8 kilograms of dried apricots. Since fresh apricots contain only 18% of dried matter, one needs

of fresh apricots to get this amount of dry matter.

По­сколь­ку ку­ра­га со­дер­жит 13% воды, 87% массы ку­ра­ги со­став­ля­ет «сухое ве­ще­ство». Это озна­ча­ет, что 16,8 ки­ло­грам­мов ку­ра­ги со­дер­жат ки­ло­грам­мов су­хо­го ве­ще­ства. По­сколь­ку све­жие аб­ри­ко­сы со­дер­жат толь­ко 18% су­хо­го ве­ще­ства, тре­бу­ет­ся

све­жих аб­ри­ко­сов для по­лу­че­ния та­ко­го ко­ли­че­ства су­хо­го ве­ще­ства.

Ответ: 81,2.

Обо­зна­чим массы ис­ход­ных спла­вов, из ко­то­рых по­лу­ча­ет­ся новый сплав, через m₁, m₂, m₃, а массу но­во­го спла­ва m. Вы­пол­ня­ют­ся ра­вен­ства и Ко­ли­че­ство меди в новом спла­ве равно

Пусть   — доля i-го спла­ва в новом спла­ве. Тогда для доли меди имеем вы­ра­же­ние

Итак, за­да­ча фор­ма­ли­зу­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом. В усло­ви­ях

найти мно­же­ство зна­че­ний

Из си­сте­мы ли­ней­ных урав­не­ний вы­ра­зим x₃, x₁ и y через x₂:

Решая те­перь си­сте­му не­ра­венств, на­хо­дим зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать x₂. По­лу­чим По­сколь­ку y есть ли­ней­ная функ­ция от пе­ре­мен­ной легко найти мно­же­ство зна­че­ний y. Далее нужно пе­рей­ти к вы­ра­же­нию доли в про­цен­тах.

Ответ: от 40% до

Обо­зна­чим массы ис­ход­ных спла­вов, из ко­то­рых по­лу­ча­ет­ся новый сплав, через m₁, m₂, m₃, а массу но­во­го спла­ва m. Вы­пол­ня­ют­ся ра­вен­ства и Ко­ли­че­ство алю­ми­ния в новом спла­ве равно Пусть   — доля i-го спла­ва в новом спла­ве. Тогда для доли алю­ми­ния имеем вы­ра­же­ние

Итак, за­да­ча фор­ма­ли­зу­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом. В усло­ви­ях

найти мно­же­ство зна­че­ний

Из си­сте­мы ли­ней­ных урав­не­ний вы­ра­зим x₃, x₁ и y через x₂:

Решая те­перь си­сте­му не­ра­венств, на­хо­дим зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать x₂. По­лу­чим По­сколь­ку y есть ли­ней­ная функ­ция от пе­ре­мен­ной x₂, легко найти мно­же­ство зна­че­ний y. Далее нужно пе­рей­ти к вы­ра­же­нию доли в про­цен­тах.

Ответ: от 15% до 40%.

Обо­зна­чим массы ис­ход­ных спла­вов, из ко­то­рых по­лу­ча­ет­ся новый сплав, через а массу но­во­го спла­ва m. Вы­пол­ня­ют­ся ра­вен­ства и Ко­ли­че­ство меди в новом спла­ве равно

Пусть   — доля i-го спла­ва в новом спла­ве. Тогда для доли меди имеем вы­ра­же­ние

Итак, за­да­ча фор­ма­ли­зу­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом. В усло­ви­ях

найти мно­же­ство зна­че­ний Из си­сте­мы ли­ней­ных урав­не­ний вы­ра­зим и y через :

Решая те­перь си­сте­му не­ра­венств, на­хо­дим зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать По­лу­чим По­сколь­ку y есть ли­ней­ная функ­ция от пе­ре­мен­ной легко найти мно­же­ство зна­че­ний Далее нужно пе­рей­ти к вы­ра­же­нию доли в про­цен­тах.

Ответ: от 40% до %.

Обо­зна­чим массы ис­ход­ных спла­вов, из ко­то­рых по­лу­ча­ет­ся новый сплав, через m₁, m₂, m₃, а массу но­во­го спла­ва m. Вы­пол­ня­ют­ся ра­вен­ства и Ко­ли­че­ство алю­ми­ния в новом спла­ве равно Пусть   — доля i-го спла­ва в новом спла­ве. Тогда для доли алю­ми­ния имеем вы­ра­же­ние

Итак, за­да­ча фор­ма­ли­зу­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом. В усло­ви­ях

найти мно­же­ство зна­че­ний Из си­сте­мы ли­ней­ных урав­не­ний вы­ра­зим m₃, m₁ и y через

Решая те­перь си­сте­му не­ра­венств, на­хо­дим зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать По­лу­чим По­сколь­ку y есть ли­ней­ная функ­ция от пе­ре­мен­ной легко найти мно­же­ство зна­че­ний Далее нужно пе­рей­ти к вы­ра­же­нию доли в про­цен­тах.

Ответ: от 15% до 40%.

Если пер­во­го спла­ва берётся x кг, то вто­ро­го кг. Усло­вия за­да­чи на­кла­ды­ва­ют огра­ни­че­ния на воз­мож­ные зна­че­ния x :

Под­счи­та­ем ко­ли­че­ство меди в новом спла­ве:

От­сю­да Решив двой­ное не­ра­вен­ство по­лу­чим ответ.

Ответ: кг; кг;

Пусть, ра­бо­тая по-от­дель­но­сти, ра­бо­чие могут вы­ко­пать тран­шею за x₁, x₂, x₃ и x₄ часа. При сов­мест­ной ра­бо­те про­из­во­ди­тель­но­сти скла­ды­ва­ют­ся, по­это­му

Таким об­ра­зом, сов­мест­ная про­из­во­ди­тель­ность тре­тье­го и чет­вер­то­го ра­бо­чих равна нулю. Ве­ро­ят­но, один из них ко­па­ет тран­шею, а дру­гой за­сы­па­ет ее с той же ско­ро­стью. Тогда сов­мест­ная про­из­во­ди­тель­ность трех ра­бо­чих за­ви­сит от того, ко­па­ет ли тре­тий или за­сы­па­ет. Еще можно пред­по­ло­жить, что тре­тий и чет­вер­тый ра­бо­чие стоят у тран­шеи и по­мо­га­ют со­ве­та­ми. В этом слу­чае не­из­вест­но, спра­вят­ся ли пер­вые двое без со­ве­тов, а если спра­вят­ся, то за какое время. На­ко­нец, можно по­ду­мать, что тре­тий и чет­вер­тый ра­бо­чие и вовсе бес­по­лез­ны. Тогда пер­вые двое ра­бо­чих вы­ко­па­ют тран­шею за те же 6 часов, что и все чет­ве­ро.

Ответ: нет опре­де­лен­но­го от­ве­та.

При­ме­ча­ние.

Мы ре­ши­ли за­да­чу в пред­по­ло­же­нии, что слово «они» в усло­вии за­да­чи от­но­сит­ся ко всем чет­ве­рым ра­бо­чим. В то же время можно от­не­сти его лишь к пер­вым двум из них. Тогда усло­вие за­да­чи при­во­дит к дру­гой си­сте­ме:

но за­клю­чить что-либо опре­де­лен­ное о про­из­во­ди­тель­но­сти тре­тье­го ра­бо­че­го мы и в этом слу­чае не можем.

Для удоб­ства, обо­зна­чим из­на­чаль­но за­пи­сан­ные на доске числа, как p₁, p₂, ..., p₁₀. По­сколь­ку любые два на­чаль­ных числа вза­им­но про­сты, все по­пар­ные про­из­ве­де­ния будут раз­лич­ны­ми, а всего их будет Имен­но столь­ко чисел оста­нет­ся после того, как Мак­сим сотрёт все из­на­чаль­ные числа. Все остав­ши­е­ся числа имеют вид p_ip_j, где Про­из­ве­де­ние двух остав­ших­ся чисел может быть од­но­го из двух видов: или где

Всего раз­лич­ных чисел вида столь­ко же, сколь­ко и раз­лич­ных четвёрок чисел k, l, m, n, а их всего Каж­дое из чисел вида может быть по­лу­че­но тремя спо­со­ба­ми: при пе­ре­мно­же­нии чисел и и или и То есть каж­дое из таких чисел будет на­пи­са­но три­жды, по­это­му с учётом по­вто­ря­ю­щих­ся чисел всего их будет на­пи­са­но 630.

Чтобы узнать ко­ли­че­ство чисел вида не­об­хо­ди­мо вы­честь из ко­ли­че­ства всех чисел ко­ли­че­ство чисел вида (с учётом по­вто­ря­ю­щих­ся). После вто­ро­го дей­ствия до того, как будут стёрты по­вто­ря­ю­щи­е­ся числа, их будет всего Зна­чит, чисел вида всего Но каж­дое из чисел вида может быть по­лу­че­но лишь одним спо­со­бом  — при пе­ре­мно­же­нии чисел и по­это­му по­вто­ря­ю­щих­ся чисел та­ко­го вида не будет. Зна­чит, после того, как Мак­сим сотрёт все по­вто­ря­ю­щи­е­ся числа, на доске оста­нет­ся чисел.

Ответ: 570 чисел.

За­ме­ча­ние.

Баллы за за­да­чу не сни­ма­лись, если усло­вие по­ни­ма­лось так, что после вто­ро­го дей­ствия Мак­сим сти­рал все числа вида