Всего: 15 1–15
Добавить в вариант
Найдите все значения x, при каждом из которых одно из трёх данных чисел 
и 
равно сумме двух остальных.
Заметим, что на ОДЗ сумма всех трёх логарифмов равна
Обозначим то число, которое равно сумме двух других через c, а два оставшихся числа через a и b. Тогда 
т. е. один из трёх данных логарифмов равен 1. Верно и обратное, а именно, если один из трёх данных логарифмов равен 1, то поскольку сумма всех трёх логарифмов равна 2, то два оставшихся в сумме составляют 1, т. е. их сумма равна первому логарифму.
Итак, требование задачи выполняется тогда и только тогда, когда один из логарифмов равен 1 (и все логарифмы существуют). Логарифм равен 1, когда его основание равно подлогарифмическому выражению. Получаем совокупность
Из найденных значений переменной только 
удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 
Случай считается разобранным, если верно составлено и решено уравнение, а затем сделан отбор корней для этого случая:
а) разобран один случай — 1 балл;
б) разобраны два случая — 2 балла;
в) разобраны три случая — 4 балла;
Если для отбора корней в задаче найдено ОДЗ, и при этом ОДЗ найдено неверно, то задача оценивается следующим образом. Случай считается разобранным, если верно составлено и решено уравнение:
а) разобран 1 случай — 0 баллов;
б) разобраны 2 случая — 1 балл;
в) разобраны 3 случая — 2 балла;
Найдите все значения x, при каждом из которых одно из трёх данных чисел 
и 
равно сумме двух остальных.
Заметим, что на ОДЗ сумма всех трёх логарифмов равна
Обозначим то число, которое равно сумме двух других через с, а два оставшихся числа через a и b. Тогда и откуда следует, что т. е. один из трёх данных логарифмов равен 1. Верно и обратное, а именно, если один из трёх данных логарифмов равен 1, то поскольку сумма всех трёх логарифмов равна 2, то два оставшихся в сумме составляют 1, т. е. их сумма равна первому логарифму.
Итак, требование задачи выполняется тогда и только тогда, когда один из логарифмов равен 1 (и все логарифмы существуют). Логарифм равен 1, когда его основание равно подлогарифмическому выражению. Получаем совокупность
Из найденных значений переменной только 
удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 
Случай считается разобранным, если верно составлено и решено уравнение, а затем сделан отбор корней для этого случая:
а) разобран один случай — 1 балл;
б) разобраны два случая — 2 балла;
в) разобраны три случая — 4 балла.
Если для отбора корней в задаче найдено ОДЗ, и при этом ОДЗ найдено неверно, то задача оценивается следующим образом. Случай считается разобранным, если верно составлено и решено уравнение:
а) разобран 1 случай — 0 баллов;
б) разобраны 2 случая — 1 балл;
в) разобраны 3 случая — 2 балла.
Найдите все значения x, при каждом из которых одно из трёх данных чисел 
и 
равно сумме двух остальных.
Заметим, что на ОДЗ произведение всех трёх логарифмов равно
Обозначим то число, которое равно произведению двух других через c, а два оставшихся числа через a и b. Тогда 
отсюда 
т. е. один из трёх данных логарифмов равен 
Верно и обратное, а именно, если один из трёх данных логарифмов равен 
то поскольку произведение всех трёх логарифмов равно 1, то и произведение двух остальных равно т. е. первому логарифму.
Заметим, что у всех трёх данных логарифмов основание и подлогарифмическое выражение не равны ни при каких x, поэтому они отличны от 1.
Итак, требование задачи выполняется тогда и только тогда, когда один из логарифмов равен −1 (и все логарифмы существуют). Логарифм равен −1, когда произведение его основания и подлогарифмического выражения равно 1. Получаем совокупность
Из найденных значений переменной только 
и 
удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 
Случай считается разобранным, если верно составлено и решено уравнение, а затем сделан отбор корней для этого случая:
а) разобран один случай — 1 балл;
б) разобраны два случая — 2 балла;
в) разобраны три случая — 4 балла.
Если для отбора корней в задаче найдено ОДЗ, и при этом ОДЗ найдено неверно, то задача оценивается следующим образом. Случай считается разобранным, если верно составлено и решено уравнение:
а) разобран 1 случай — 0 баллов;
б) разобраны 2 случая — 1 балл;
в) разобраны 3 случая — 2 балла.
Найдите все значения x, при каждом из которых одно из трёх данных чисел 
и 
равно сумме двух остальных.
Заметим, что на ОДЗ произведение всех трёх логарифмов равно
Обозначим то число, которое равно произведению двух других через c, а два оставшихся числа через a и b. Тогда т. е. т. е. один из трёх данных логарифмов равен 
Верно и обратное, а именно, если один из трёх данных логарифмов равен то поскольку произведение всех трёх логарифмов равно 1, то и произведение двух остальных равно т. е. первому логарифму.
Заметим, что у всех трёх данных логарифмов основание и подлогарифмическое выражение не равны ни при каких x, поэтому они отличны от 1.
Итак, требование задачи выполняется тогда и только тогда, когда один из логарифмов равен −1 (и все логарифмы существуют). Логарифм равен −1, когда произведение его основания и подлогарифмического выражения равно 
Получаем совокупность
Из найденных значений переменной только 
и 
удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 
Случай считается разобранным, если верно составлено и решено уравнение, а затем сделан отбор корней для этого случая:
а) разобран один случай — 1 балл;
б) разобраны два случая — 2 балла;
в) разобраны три случая — 4 балла.
Если для отбора корней в задаче найдено ОДЗ, и при этом ОДЗ найдено неверно, то задача оценивается следующим образом. Случай считается разобранным, если верно составлено и решено уравнение:
а) разобран 1 случай — 0 баллов;
б) разобраны 2 случая — 1 балл;
в) разобраны 3 случая — 2 балла.
Вычислить 
Варианты ответов:
| а | б | в | г | д |
| 1 | 0 | 2 | 4 | 13 |
Используем свойства логарифмов. Заметим, что
Подставляя в исходное выражение, получим:
Ответ: 4.
Найти наименьшее значение выражения 
Выражение имеет смысл при 
и 
Заметим, что 
для любых положительных u и v, так как это неравенство равносильно
Полагая 
и 
получим
Покажем, что это значение достигается. Действительно, при 
имеем 
Ответ: 3.
Докажите неравенство
После умножения обеих частей н а 2018 и некоторых преобразований, получаем, что нам достаточно доказать неравенство
Указанное неравенство следует из того, что 
а последнее получается перемножением 2018 неравенств
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Докажите неравенство
После умножения обеих частей на 2016 и некоторых преобразований, получаем, что нам достаточно доказать неравенство
Указанное неравенство следует из того, что 
а последнее получается перемножением 2016 неравенств
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Даны положительные действительные числа a, b, c. Известно, что
Докажите, что 
Здесь 
— это натуральный логарифм (логарифм числа x по основанию e).
Воспользуемся следующим известным утверждением. Если на координатной плоскости даны точки с координатами 
и 
то для любого действительного 
точка с координатами 
лежит на прямой, проходящей через и 
Верно также и обратное утверждение: если точка лежит на прямой с начальными двумя, то найдётся такое действительное α, для которого координаты данной точки представляются в искомом виде.
Перейдём теперь к решению задачи. Если 
то всё очевидно. Если 
поделим равенство на 
и перенесём 
в другую часть, получим
Рассмотрим на координатной плоскости две точки 
и 
а также обозначим 
(тогда 
Из утверждения выше следует, что точка B с координатами
и
лежит на прямой AC. Следовательно, точки 
и 
лежат на одной прямой. Но также ясно, что эти точки лежат на графике 
Из свойств функции известно, что графики логарифма и прямой могут пересекаться максимум по двум точкам (как говорят, функция является вогнутой), а это значит, что какие-то два из трёх чисел a, b, c совпадают и
Используется один наибольший подходящий критерий:
1) любое решение задачи, в котором доказано, что какие-то два из чисел a, b, c равны — 7 баллов;
2) условие
сведено к уравнению от двух переменных — 2 балла;
3) условие 
эквивалентно переформулировано в виде того, что какие-то два из чисел a, b, c равны, но это не доказано — 0 баллов;
За отсутствие доказательства утверждения о параметризации прямой и утверждения о вогнутости логарифма баллы не снимаются.
It is known that for some triple of different positive numbers x, y, z the expressions
and 
Известно, что для некоторой тройки различных положительных чисел x, y, z выражения
и 
Let us denote this number as α. According to the definition of logarithms, it means that
and
Dividing the first equality by the second and simplifying the result, we get
As 
and 
we conclude that 
from here 
Обозначим это число через 
По определению логарифма это означает, что
и
Разделив первое равенство на второе и упрощая, получаем
Так как и откуда следует, что 
то есть
Ответ: −14.
Положительные числа a, b, c, d больше 1. Найдите наименьшее возможное значение выражения
Из свойств логарифма следует, что 
Также все эти четыре множителя положительны, поскольку все числа a, b, c, d больше 1. Преобразуем и оценим имеющееся выражение
здесь в последнем переходе использовалось неравенство между арифметическим и средним геометрическим для четырёх положительных чисел 
Также отметим, что значение 
достигается, например, при a = 2, b = 8, c = d = 64, поскольку все четыре числа 
будут равны 6.
Ответ: 67.
Можно ли множество из 2017 чисел 
разбить на две части так, чтобы сумма чисел, попавших в одну из этих частей, отличалась от суммы чисел в другой не более, чем на 1 (по абсолютному значению)?
На первом шаге в группе А разместим логарифмы нечетных чисел, а в группе В — четных:
Обозначение: 
— сумма чисел в группах A и B соответственно. Покажем, что 
Действительно,
..............................
Преобразование множеств A и B: перенесем число 
из группы A в группу B, а число 
наоборот — из B в A.
Поскольку 
разность 
уменьшилась на величину
Если для вновь образованных множеств A и B разность 
меняем местами числа 
и 
По-прежнему, разность уменьшается на величину
Если разность по процесс перекладывания чисел из одного множества в другое может быть продолжен. Если на каком-то шаге поменяет знак, то 
и искомое разбиение достигнуто. Это обязательно произойдет за конечное число шагов, поскольку замена множеств A и B местами приводит к смене знака величины 
Ответ: можно.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 2 | Полностью обосновал верный ответ. |
| 1,5 | Недостаточное обоснование при правильно описанном алгоритме. |
| 1 | Сделал начальные оценки разности сумм или составленного выражения и описал алгоритм перемещения чисел. |
| 0,5 | Догадался разделить числа на логарифмы четных и нечетных или составил какое-то выражение из этих чисел , которое будет модифицироваться на последующих шагах. |
| 0 | Верный ответ без обоснования. |
Вася выбрал четыре числа и для каждой пары вычислил логарифм большего по основанию меньшего. Получилось шесть логарифмов. Четыре из них равны 15, 20, 21 и 28. Какие значения может принимать наибольший из всех шести логарифмов?
Пусть четыре исходные числа — это 
Обозначим 
Тогда 
то есть наши шесть логарифмов равны 
и abc. Наибольший из них при этом abc и именно его нам надо найти.
Заметим, что среди наших четырёх логарифмов ни один не является произведением двух других. Это значит, что в каждой тройке 
отсутствует хотя бы одно число. Каждое из шести чисел встречается ровно в двух из этих троек, значит, чтобы «разрушить» все тройки, надо удалить два числа, которые вместе в одной тройке не встречаются, то есть, числа, которых мы не знаем, это либо a и c, либо b и abc, либо bcи
Соответственно, у нас есть одна из четвёрок 
и 
Третий вариант невозможен, потому что ни одно из наших четырёх чисел не является произведением трёх других. Для того, чтобы четверёка чисел могла соответствовать первому или второму вариантам, необходимо и достаточно, чтобы произведение двух чисел было равно произведению двух оставшихся. Это условие выполняется: 
В первом случае мы имеем 
и abc — это наибольшее из наших четырёх чисел. Во втором случае 
и abc — это как раз искомое произведение. Значит, мы имеем два возможных ответа: 28 и 420.
Ответ: 28; 420 ИЛИ 420; 28.
Вася придумал новую операцию на множестве положительных чисел: 
Найдите логарифм числа 
по основанию 
Заметим, что 
Также 
то есть при операции 
логарифмы чисел перемножаются, при уменьшении чисел — складываются, а при делении — вычитаются.
Обозначим 
и 
Тогда, согласно написанному выше,
Искомое число равно частному логарифмов, то есть 2.
Ответ: 2.
а) Может ли для некоторых a, b оказаться, что 
б) Может ли для некоторых a, b оказаться, что 
в) Могут ли при каких-то a, b выполняться оба равенства?
Ясно, что числа a, b положительны.
а) Условие можно переписать в виде
Если 
то
и b = 2x. Например, при a = 4 имеем 
b = 4.
б) Равенство сводится к соотношению 
Например, при a = 4 получаем, что 
в) Условие вида 
можно переписать в виде 
Предположим, что выполняются пункты а), б). Заданные равенства можно переписать в виде:
Из первого равенства следует, что 
и 
имеют одинаковый знак. То есть либо они оба положительны (тогда a > 2; b > 2), либо оба отрицательны, a < 2; b < 2. В силу положительности чисел a и 
имеем a > 1.
Если a > 2 и
Если
Пришли к противоречию.
Ответ: а) да; б) да; в) нет.
Приведено хотя бы одно решение пункта а) — 5 баллов.
Приведено хотя бы одно решение пункта б) — 5 баллов.
Приведено полное доказательство отсутствия решения в пункте в) — 10 баллов.
Графическое решение в пункте в) без строгого обоснования вида построенных графиков — 3 балла.
Наверх