Всего: 303 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
имеет 4 различных действительных корня 
Найдите многочлен вида 
получаем требуемый многочлен g(y), поскольку
}. Многочлен вида 
имеет корни {
}. Найти коэффициент 
многочлена 
рассмотрим многочлен 
имеющий корни {
}:
поскольку 
принимает наименьшее возможное значение.
удовлетворяют равенству 
Непосредственно проверкой убеждаемся, что
в порядке возрастания. Многочлен нечётной степени принимает все вещественные значения, включая свои корни, то есть существуют такие числа 
что 
Числа 
являются корнями многочлена 
значит, их хотя бы 7.
принималось многочленом 
ровно один раз.
до 
оно, очевидно, положительно. Тогда многочлен 
удовлетворяет условию задачи. Действительно, при 
этот многочлен принимает только значения, не превосходящие единицы. При 
многочлен монотонно возрастает, а значит, принимает каждое значение ровно один раз, в том числе и все 
в порядке возрастания. Многочлен нечётной степени принимает все вещественные значения, включая свои корни, то есть существуют такие числа 
оно, очевидно, положительно. Тогда многочлен 
этот многочлен принимает только значения, не превосходящие единицы. При 
многочлен монотонно возрастает, а значит, принимает каждое значение ровно один раз, в том числе и все 
его единственный корень — это 1, т. к. 
а единственный корень производной это −1.
при условии, что a, b и c — положительные числа, удовлетворяющие неравенствам 
В то же время
входит в искомое множество. При 
равенство 
выполняется, если 
Заметим, что так как 
то 
При 
можно положить 
Легко проверить, что в этом случае 
или 
. Имеется верное обоснование, что любое число из интервала 
или Существует ли многочлен пятой степени такой, что все его корни отрицательны, а все корни его производной отрицательны, при условии, что и у многочлена, и у производной есть хотя бы один корень?
его единственный корень — это −1, т. к. 
а единственный корень производной — это 1.
Разложим его на множители. Получится
что невозможно при нечётных числах p, q и r.
на множители. Получится
Следовательно, p, или q это 2.Мальчик Вася выписал в тетрадку ненулевые коэффициенты многочлена P(x) десятой степени. Затем у получившегося многочлена вычислил производную и выписал ее ненулевые коэффициенты, и так далее, пока не получилась константа, которую он выписал.
Какое наименьшее количество различных чисел у него могло получиться?
Коэффициенты выписываются с учетом знака, свободные члены так же выписываются, если имеется одночлен вида 
то выписывается 
назовём его a. Тогда старший коэффициент производной этого многочлена равен 
старший коэффициент второй производной равен 
и т. д., старшие коэффициенты девятой и десятой производных равны 
причем все эти числа, кроме двух последних, различны, таким образом 10 различных чисел точно есть. 
Легко доказать, что других примеров нет, впрочем, в задаче это не требуется.Даны три приведённых квадратных трёхчлена с неотрицательными дискриминантами. Корень из дискриминанта каждого из них является корнем двух оставшихся трёхчленов. Докажите, что какие-то два их этих трёхчленов равны.
и пусть, для начала, 
получаем 
Аналогично 
Но 
а 
Получаем противоречие, значит, какие-то два дискриминанта совпадают.
Тогда каждый из трёхчленов с коэффициентом 
имеет корни 
Значит, учитывая равенство старших коэффициентов, эти трёхчлены равны.
то число d по условию является их общим корнем, а второй корень отличается на d. Но чисел, которые отличаются от d на d всего два, это 
и 0, значит, как минимум два трёхчлен а совпадают.Даны три квадратных трёхчлена со старшими коэффициентами — 1 с неотрицательными дискриминантами. Корень из дискриминанта каждого из них является корнем двух оставшихся трёхчленов. Докажите, что какие-то два их этих трёхчленов равны.
а 
Получаем противоречие, значит, какие-то два дискриминанта совпадают.Мальчик Вася выписал в тетрадку ненулевые коэффициенты многочлена P(x) девятой степени. Затем у получившегося многочлена вычислил производную и выписал ее ненулевые коэффициенты, и так далее, пока не получилась константа, которую он выписал.
Какое наименьшее количество различных чисел у него могло получиться?
Коэффициенты выписываются с учетом знака, свободные члены так же выписываются, если имеется одночлен вида то выписывается
назовём его a. Тогда старший коэффициент производной этого многочлена равен 
старший коэффициент второй производной равен 
и т. д., старшие коэффициенты восьмой и девятой производных равны 
причем все эти числа, кроме двух последних, различны, таким образом 9 различных чисел точно есть.
Легко доказать, что других примеров нет, впрочем, в задаче это не требуется.Многочлены Чебышева первого рода определены формулой
а) Докажите, что 
б) Докажите, что 
— многочлен степени n с коэффициентом 1 при x^n.
в) Найдите 
и докажите, что для любого квадратного трехчлена 
выполняется неравенство
Переход. Пусть утверждение верно при 
Докажем его при 
тогда
получается увеличением на 1 степени 
а старший коэффициент многочлена 
получается умножением на 2 старшего коэффициента многочлена 
Поскольку 
не изменится при переходе к 
и
следовательно, надо доказать, что при любых a, b верно неравенство 
то хотя бы одно из этих чисел не меньше единицы. Если 
то хотя бы одно из чисел 
не меньше 
а) Докажите, что уравнение 
имеет два различных действительных корня, если 
Верно ли обратное утверждение?
б) Решите уравнение 
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
действительных чисел, что функция 
монотонна на всей числовой прямой.
г) Абсциссы двух точек пересечения некоторой прямой с графиком функции 
равны 
и 
Найдите абсциссы остальных точек пересечения.
Так как 
то 
значит, парабола, являющаяся графиком функции p, пересечет ось абсцисс в двух разных точках. Обратное утверждение неверно, пример — на рисунке.
и 
или 
заданное неравенством 
так как производная 
данной функции должна сохранять знак на всей оси.
с графиком функции 
а) Докажите, что уравнение имеет два различных действительных корня, если 
Верно ли обратное утверждение?
б) Решите уравнение
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
действительных чисел, что неравенство 
верно при всех 
г) Существует ли прямая, пересекающая кривую 
в трех различных точках?
Заметим, что 
и 
имеют разные знаки. Значит, на отрезке 
есть один корень уравнения 
а всего корней два (если бы он был один, то график 
касался бы оси абсцисс и функция не принимала бы значений разных знаков). Обратное утверждение неверно, если, например, оба корня не лежат на этом отрезке, как у трехчлена 
тогда корнями будут 
и 
а 
то равенство возможно лишь в тех случаях, когда 
откуда 
Для решений первой системы имеем 
Поскольку k и l — целые числа, а 
получаем следующие варианты: 
или 
или 
или, наконец, 
и 
Множество пар 
является прямоугольником.
и 
(смотрите решение соответствующего пункта варианта 9).
и 
делится на 
отличные от 
при которых многочлен 
имеет действительные корни.
многочлен 
делится на 
Ясно также, что если имеет место разложение 
то 
и 
Преобразование 
Теперь уже нетрудно догадаться, что 
Многочлен pn(x) делится на q(x), если числа z1, 2 являются также и его корнями. Преобразование:
тогда
чтобы дать 
а его свободный член равен 
чтобы сходился свободный член произведения. Наконец средний коэффициент противоположен к 
чтобы коэффициент при 
оказался бы нулем).
при всех 
Поэтому вещественных корней это уравнение не имеет 
Тогда нужно доказать, что многочлен 
делится на какой-то квадратный трехчлен, что очевидно. В остальных случаях 
Найдем комплексные корни 
тогда 
тоже будет корнем. Подставляя 
получим
