Всего: 187 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Две окружности пересекаются в точках А и В, и центр О первой из них лежит на второй. На второй окружности выбрана некоторая точка S, отрезок SО пересекает первую окружность в точке Р. Доказать, что Р является центром вписанной окружности треугольника АВS.
Таким образом, Р является точкой пересечения биссектрис углов АSВ и АВS и центром вписанной окружности треугольника АВS.В прямоугольном треугольнике АВС отмечены: точка К — середина гипотенузы АВ и на катете ВС точка М такая, что 
Пусть отрезки АМ и СК пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая КМ касается описанной окружности треугольника АКР.
и двум парам равных соответствующих сторон 
и 
Следовательно, 
Значит, угол между хордой КР и прямой КМ, равный углу МКС, равен вписанному углу КАР, опирающемуся на хорду КР, поэтому КМ — касательная к описанной окружности треугольника АКР в точке К.
.
.В треугольнике АВС отрезки АК, ВL и СМ — высоты, Н — их точка пересечения, S — точка пересечения МК и ВL, Р — середина отрезка АН, Т — точка пересечения прямой LР и стороны АВ. Доказать, что прямая SТ перпендикулярна стороне ВС.
Отсюда 
лежит на окружности. Важно лишь, что она находится выше прямой MN и вне окружности, описанной около треугольника BMN.
симметричную точке 
лежит выше прямой MN и вне меньшей окружности. По доказанному, угол MK1N не превосходит 60°. Утверждение доказано полностью.На плоскости дан отрезок АВ и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF , лежащие по одну сторону от АВ, и N — точка пересечения прямых AF и BC. Докажите, что при любом положении точки М на отрезке АВ каждая прямая МN проходит через некоторую точку S, общую для всех таких прямых.
по теореме, обратной теореме Фалеса это влечёт параллельность PQ и АВ (и то, что отношение их длин равно 1 к 3). Аналогично доказывается параллельность остальных пар сторон. Строго говоря, отсюда следует подобие четырёхугольников с коэффициентом 
но это для решения задачи не нужно.
а величина угла ВРС равна 
величина ОСВ, как угла при основании равнобедренного треугольника ОСВ с углом 
при вершине О, равна 
Считаем их разность: 
и 
соответственно, а величина угла ВРС равна 
Однако, если бы точка Р лежала на описанной окружности треугольника АВС, то четырёхугольник АВРС был бы вписанным и сумма его противоположных углов ВАС и ВРС равнялась бы 
откуда А = 180 градусов, что невозможно.В треугольнике АВС взята точка Р такая, что сумма углов РВА и РСА равна сумме углов РВС и РСВ. Докажите, что расстояние от вершины А до точки Р не меньше расстояния от А до точки I — центра вписанной в АВС окружности, и если эти расстояния равны, то Р совпадает с I.
Различные прямые a и b пересекаются в точке О. Рассмотрим всевозможные отрезки АВ длины l, концы А и В которых лежат на a и b соответственно, и обозначим за Р точку пересечения перпендикуляров к прямым a и b, восстановленным из А и В соответственно. Найти геометрическое место точек Р.
где x — угол между прямыми a и b. Как мы уже заметили, ОР является диаметром этой окружности, следовательно, ОР всегда равен 
то есть точка Р всегда принадлежит окружности с центром О радиусом 
Угол АРВ равен x или 180 − x, следовательно, по теореме синусов АВ равен 
и точка Р является точкой пересечения перпендикуляров АР и ВР, восстановленных из концов отрезка АВ длины l, концы А и В которых лежат на a и b соответственно. Исключительный случай перпендикулярных прямых проверяется аналогично.
Точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, при этом прямые AM и AC перпендикулярны. Найти MA, если радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности равен 9.
и 
Из перпендикулярности векторов 
и 
следует, что 
Откуда, учитывая 
получаем 
Из перпендикулярности векторов 
следует, что 
Кроме этого 
и 
Прямоугольные треугольники МNK и НСD подобны, так как у них 
(утлы со взаимно перпендикулярными сторонами). Поэтому 
и площадь четырехугольника равна 50, трапеция вырождается в квадрат с площадью, конечно, равной 100. Это должно быть отражено в решении. 
и 
равны. Обозначим их градусную меру за 
Тогда длины дуг 
получаем 
и 
Тогда
и 
и 
Тогда 
Последовательности 
и 
связаны соотношениями 
и 
а) Найдите пределы этих последовательностей, если 
и 
б) Пусть
Докажите, что число ξ является общим пределом данных последовательностей.
в) Дан треугольник ABC с углами 
— точки пересечения биссектрис его углов с описанной около него окружностью, 
с этой же окружностью, и
Таким образом, 
Из свойств вписанных в окружность углов очевидно (см. рис.), что 
и т. д. Таким образом, последовательности углов рассматриваемых треугольников удовлетворяет соотношению предыдущего пункта, поэтому они имеют общий предел — 
более того, 
или 
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P. Известно, что расстояния от точки P до сторон AB, BC, CD, DA равны 4, 
и 
соответственно (основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны, лежат на этих сторонах).
а) Найдите отношение AP : PC.
б) Найдите длину диагонали BD, если дополнительно известно, что AC = 10.
и 
Следовательно, треугольники PBC и PDA подобны. Аналогично доказывается, что 
Соответствующие элементы подобных фигур относятся как коэффициент подобия. В данном случае в качестве соответствующих элементов выступают высоты, проведённые из вершины P. Отсюда находим, что коэффициент подобия равен 
для первой пары и 
для второй пары. 
Тогда 
то 
отсюда 
Следовательно, 
Дан параллелограмм ABCD. Окружность 
с диаметром 13 описана вокруг треугольника ABM, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Так Ω вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка EM равна 12. Найдите длины отрезков BC, BK и периметр треугольника AKM.
и 
соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле 
Следовательно, ABCD — ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB — диаметр окружности. Значит, 
и 
как стороны ромба. Так как EK — диаметр, то 
и
Тогда 
находим, что 
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P. Известно, что расстояния от точки P до сторон AB, BC, CD, DA равны 5, 
и 
соответственно (основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны, лежат на этих сторонах).
а) Найдите отношение AP : PC.
б) Найдите длину диагонали BD, если дополнительно известно, что AC = 12.
Отсюда находим, что коэффициент подобия равен 
для первой пары и 
для второй пары. 
то 
отсюда 
Следовательно, 
Дан параллелограмм ABCD. Окружность с диаметром 5 описана вокруг треугольника ABM, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Так Ω вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка EM равна 4. Найдите длины отрезков BC, BK и периметр треугольника AKM.
(как стороны ромба). Так как EK — диаметр, 
Тогда 
Дан параллелограмм ABCD. Окружность с радиусом 5 описана вокруг треугольника AMB, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка MK равна 6. Найдите длины отрезков AD, BK и периметр треугольника EBM.
Следовательно, ABCD — ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB — диаметр окружности. Значит, 
(как стороны ромба). Хорды 
и 
равны (т. к. равны соответствующие им дуги), 
Тогда 
и
