Если раз­вер­нуть сеть рёбер на плос­кость (на­при­мер, цен­траль­ной про­ек­ци­ей), то подсчёт суммы углов до­ка­зы­ва­ет един­ствен­ность от­ве­та. При­ме­ром может слу­жить пра­виль­ный ико­са­эдр или до­де­ка­эдр.

Ответ: сумма всех 20 чисел может быть равна толь­ко 60.

Го­дит­ся любой под­хо­дя­щий при­мер. На­при­мер:

Ответ: на­при­мер 2012.

Если сто­ро­ну квад­ра­та при­нять за 1, то пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка равен 28. Так как ни­ка­кая сто­ро­на мно­го­уголь­ни­ка не может быть длин­нее диа­го­на­ли квад­ра­та, то 19 сто­рон за­ве­до­мо не хва­тит. Чтобы по­стро­ить при­мер с 20 сто­ро­на­ми, удоб­но сна­ча­ла взять тре­уголь­ник, одна вер­ши­на ко­то­ро­го рас­по­ло­же­на вб­ли­зи одной из вер­шин квад­ра­та, а две дру­гие  — вб­ли­зи про­ти­во­по­лож­ной по диа­го­на­ли вер­ши­ны квад­ра­та (сте­пень «бли­зо­сти» нужно будет вы­брать чуть позд­нее, чтобы в итоге по­лу­чить нуж­ное не­ра­вен­ство). 10 вер­шин мно­го­уголь­ни­ка нужно взять на ко­рот­кой сто­ро­не по­стро­ен­но­го тре­уголь­ни­ка, а ещё 9  — на па­рал­лель­ном ей от­рез­ке вб­ли­зи вер­ши­ны.

Ответ: наи­мень­шее число сто­рон та­ко­го мно­го­уголь­ни­ка равно 20.

Легко за­ме­тить, что

По­это­му ре­ше­ние не может быть боль­ше 2005. Но тогда не может быть боль­ше 28.

По­это­му ре­ше­ние не может быть мень­ше 1984. Далее пе­ре­бор (его можно за­мет­но со­кра­тить, если найти оста­ток от де­ле­ния на 9).

Ответ: наи­мень­шее на­ту­раль­ное число n, ко­то­рое де­лит­ся на 2012 − S(n) равно 1987.

Го­дит­ся любой под­хо­дя­щий при­мер. «Ожи­да­е­мый» при­мер:

Ответ: на­при­мер, A  =  300, B  =  5000.

Го­дит­ся любой под­хо­дя­щий при­мер. На­при­мер,

Ответ: го­дит­ся любой под­хо­дя­щий при­мер.

Сна­ча­ла нужно за­ме­тить, что сумма всех на­ту­раль­ных чисел от 1 до 62 мень­ше 2012, а до 63 равна 2016. По­это­му при N  =  62 или мень­ше при любой рас­ста­нов­ке зна­ков ал­геб­ра­и­че­ская сумма будет за­ве­до­мо мень­ше 2012. А при N  =  63 нужно по­ста­вить минус толь­ко перед 2.

Ответ: 2012 точек.

В усло­вии не­до­ска­за­но, из­вест­но ли гриб­ни­ку на­прав­ле­ние про­сек. По­это­му вер­ных от­ве­тов два: часа (при­мер­но 2 часа 11 минут) и часа (при­мер­но 2 часа 36 минут).

В худ­шем для гриб­ни­ка ва­ри­ан­те до­ро­гу домой можно раз­бить на 4 этапа:

1)  до про­се­ки,

2)  до вы­хо­да про­се­ки на внеш­нее поле (если он не­удач­но вы­брал один из двух ва­ри­ан­тов дви­же­ния по про­се­ке или по внеш­не­му полю),

3)  до вы­хо­да про­се­ки на цен­траль­ную по­ля­ну,

4)  по цен­траль­ной по­ля­не до дома. Если гриб­ни­ку из­вест­но на­прав­ле­ние про­сек, то на пер­вом этапе гриб­ник вы­бе­рет это на­прав­ле­ние и в худ­шем для себя слу­чае вый­дет на про­се­ку, прой­дя (почти) 1 км. Если гриб­ник не знает, как на­прав­ле­ны про­се­ки, то в худ­шем для него слу­чае он прой­дет (почти всю) диа­го­наль ка­ко­го-то квар­та­ла, за­тра­тив часа. Затем он тра­тит часа, чтобы прой­ти квар­тал (1 км) по про­се­ке, либо обой­ти квар­тал (2 км) по внеш­не­му полю. Затем ещё часа, чтобы прой­ти по про­се­ке от поля до по­ля­ны. На­ко­нец, часа, чтобы дойти от угла по­ля­ны до её цен­тра.

Ответ: в за­ви­си­мо­сти от по­ни­ма­ния усло­вия за­да­чи воз­мож­ны 2 от­ве­та: 1) часа (при­мер­но 2 часа 11 минут); 2) часа (при­мер­но 2 часа 36 минут).

Го­дит­ся любой под­хо­дя­щий при­мер. «Ожи­да­е­мый» при­мер:

Ответ: на­при­мер, A  =  500

Го­дит­ся любой под­хо­дя­щий при­мер. На­при­мер,

Ответ: см. выше.

Если сто­ро­ну куба при­нять за 1, то длина ло­ма­ной равна 24. Так как ни­ка­кое её звено не может быть длин­нее диа­го­на­ли куба, то 13 сто­рон за­ве­до­мо не хва­тит. Чтобы по­стро­ить при­мер с 14 зве­нья­ми, до­ста­точ­но рас­по­ло­жить 7 вер­шин ло­ма­ной вб­ли­зи одной из вер­шин куба, а ещё 7 вер­шин  — вб­ли­зи про­ти­во­по­лож­ной по диа­го­на­ли вер­ши­ны куба (сте­пень «бли­зо­сти» нужно вы­брать так, чтобы в итоге по­лу­чить нуж­ное не­ра­вен­ство).

Ответ: наи­мень­шее число зве­ньев равно 20.

Го­дит­ся любой под­хо­дя­щий при­мер. «Ожи­да­е­мый» при­мер:

Ответ: на­при­мер, A  =  600, B  =  14 000.

Го­дит­ся любой под­хо­дя­щий при­мер. На­при­мер,

Ответ: см. выше.

При­мер для n  =  6  — пруд с тре­уголь­ным ост­ро­вом по­сре­ди­не.

На­рав­не с этим, жюри при­ни­ма­ло по­боч­ное ре­ше­ние n  =  5 с ри­сун­ком пруда в форме не­вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка с тре­уголь­ным ост­ро­вом, две сто­ро­ны ко­то­ро­го слу­жи­ли про­дол­же­ни­я­ми сто­рон четырёхуголь­ни­ка, угол между ко­то­ры­ми боль­ше 180° (в нём есть дву­смыс­лен­ность в подсчёте числа сто­рон бе­ре­го­вой линии).

Ответ: n  =  6 (или n  =  5).

Около лю­бо­го пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность. Из усло­вия имеем, что угол, вер­ши­на ко­то­ро­го в k-ой точке, равен 30°, т. е. он опи­ра­ет­ся на дугу в 60°.

Далее воз­мож­ны два слу­чая.

1)  Ко­неч­ная точка n при­над­ле­жит дуге в 60°. Тогда, дуга от точки 1 до точки 2011 по ча­со­вой стрел­ке равна 300° и де­лит­ся на 2010 рав­ных дуг (по числу сто­рон), т. е.   — одна дуга.

Дуга от точки 1 до точки 2011 про­тив ча­со­вой стрел­ки равна и де­лит­ся на дуг, т. е.

Зна­чит,

2)  Ко­неч­ная вер­ши­на n не лежит на дуге в 60°. Дуга от точки 1 до точки 2011 по ча­со­вой стрел­ке равен 60°, т. е. дуга между со­сед­ни­ми вер­ши­на­ми:

Дуга от точки 1 до точки 2011 про­тив ча­со­вой стрел­ки равна 300° и де­лит­ся на рав­ных дуг, т. е.

Ответ: 2412 или 12060.

Пе­ре­би­рая и обя­за­тель­но чет­ное, по­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Ответ: 439 (ос­но­ва­ние 6), 1033 (ос­но­ва­ние 8), 2011 (ос­но­ва­ние 10), 3469 (ос­но­ва­ние 12).

Ло­ма­ная со­сто­ит из 10 зве­ньев (она за­мкнет­ся при про­ве­де­нии 11-го от­рез­ка, вто­рая по­ло­ви­на ко­то­ро­го на­ло­жит­ся на пер­вый). Легко ви­деть, что у неё 16 точек са­мо­пе­ре­се­че­ния:

Ответ: 10 зве­ньев, 16 точек са­мо­пе­ре­се­че­ния.

Т. к. в боль­шом кубе у каж­дых двух со­сед­них ма­лень­ких ку­би­ков сов­па­да­ют по цвету две грани, и три грани каж­до­го ку­би­ка при­над­ле­жат трем гра­ням боль­шо­го куба, то по­ло­же­ние каж­до­го ку­би­ка од­но­знач­но (любой по­во­рот на­ру­шит усло­вие Коли), т. е. по­верх­ность боль­шо­го куба будет окра­ше­на во все 6 цве­тов.

Ответ: 6.

Пусть евро  — цена масла, евро  — цена сыра, ко­то­рые на­зна­чил пе­ре­куп­щик.

Ответ: 18,5 евро  — цена масла, 94,5 евро  — цена сыра.

Со­глас­но усло­вию за­да­чи, из каж­дой синей точки про­во­дят n_кр от­рез­ков, зна­чит, общее ко­ли­че­ство от­рез­ков равно А нам не­об­хо­ди­мо найти Так как 2011  — про­стое число, то зна­че­ние n_кр может быть либо 1, либо 2011. Сле­до­ва­тель­но:

Зна­чит

Ответ: 2012 точек.