Всего: 102 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Парабола 
пересекается с некоторой окружностью в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на параболе, задаваемой уравнением вида 
Уравнение окружности в имеет вид 
для некоторых чисел a, b, c. Поскольку точки пересечения окружности и и параболы удовлетворяют двум уравнениям, они удовлетворяют также любой их комбинации. В частности,
Это уравнение задаёт параболу требуемого вида.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено доказательство в общем случае. | 20 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |
Найти значение параметра p, при котором уравнение 
имеет ровно три решения.
Заметим, что при p < 0 данное уравнение не имеет решений, а при p = 0 — имеет единственное решение x = 1. Следовательно, p > 0.
Данное уравнение будет иметь три корня, если парабола 
имеет ровно три общие точки с графиком функции 
Поскольку левая ветвь графика при p > 0 пересекает параболу ровно в двух точках, то правая ветвь должна касаться параболы.
Последнее выполняется тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет ровно одно решение, то есть когда дискриминант равен 0:
Ответ: при 
При каких значениях параметра a система уравнений
имеет единственное решение?
Первое уравнение системы задает ГМТ точек 
на плоскости сумма расстояний от которых до точек A(6,13) и B(18,4) равна 15. Заметим, что
Поэтому согласно неравенству треугольника, ГМТ таких точек суть точки отрезка 
Второе уравнение есть уравнение окружности с центром в точке 
радиуса 
Единственность решения системы возможна в том и только в том случае, когда окружность
пересекает отрезок AB ровно в одной точке.
Очевидно, что гарантированно единственная точка пересечения будет в случае касания окружности отрезком. Это произойдет тогда, когда расстояние от точки до прямой, содержащей отрезок AB, будет равно радиусу окружности, и точка касания будет попадать в отрезок Уравнение прямой, содержащей AB, как нетрудно установить, имеет вид 
Согласно формуле расстояния от точки до прямой (один из вариантов решения):
Отсюда получим два возможных значения параметра 
Центр окружности лежит на прямой 
Точка M 
пересечения прямых 
и 
лежит на отрезке Угол OMB острый, поэтому точка касания прямой и окружности, центр которой лежит под отрезком AB, заведомо на отрезок AB попадет.
Это происходит при 
Если же центр S окружности лежит выше отрезка AB (это происходит при 
то требуются дополнительные рассуждения. Точка касания H есть проекция точки 
на прямую, содержащую отрезок H попадет в отрезок AM, если 
Имеем:
Следовательно, 
и точка касания H лежит на отрезке
В то же время, поскольку 
постольку единственность решения возможна, когда
окружность пересекает отрезок AB, но при этом точка A попадает во внутрь круга. Так будет происходить с момента пересечения окружности и отрезка в точке A до момента повторного пересечения в той же точке A (не включая данные моменты).
Найдем такие положения точки 
при которых расстояние от нее до точки A равно
Имеем:
Отсюда
Значит, при 
точка пересечения будет единственна, как и решение системы уравнений.
Ответ: 
Найдите наименьшее значение параметра a, при котором система уравнений
имеет единственное решение.
Первое уравнение системы задает ГМТ точек 
на плоскости, сумма расстояний от которых до точек 
и 
равна 15. Заметим, что
Поэтому согласно неравенству треугольника, ГМТ таких точек суть точки отрезка
Второе уравнение есть уравнение окружности с центром в точке 
радиуса
Единственность решения системы возможна в том и только в том случае, когда окружность пересекает отрезок 
ровно в одной точке. Очевидно, что гарантированно единственная точка пересечения будет в случае касания окружности отрезком. Это произойдет тогда, когда расстояние от точки до прямой, содержащей отрезок AB, будет равно радиусу окружности, и точка касания будет попадать в отрезок Уравнение прямой, содержащей AB, как нетрудно установить, имеет вид
Согласно формуле расстояния от точки до прямой (один из вариантов решения):
Отсюда получим два возможных значения параметра
Центр окружности лежит на прямой Точка 
пересечения прямых и лежит на отрезке Угол OMB острый, поэтому точка касания прямой и окружности, центр которой лежит под отрезком AB, заведомо на отрезок AB попадет. Это происходит при Если же цент S окружности лежит выше отрезка AB (это происходит при то требуются дополнительные рассуждения. Точка касания H есть проекция точки 
на прямую, содержащую отрезок H попадет в отрезок AM, если 
Имеем:
Следовательно 
и точка касания H лежит на отрезке
В то же время, поскольку постольку единственность решения возможна, когда окружность пересекает отрезок AB, но при этом точка A попадает во внутрь круга. Так будет происходить с момента пересечения окружности и отрезка в точке A до момента повторного пересечения в той же точке A (не включая данные моменты).
Найдем такие положения точки 
при которых расстояние от нее до точки A равно
Имеем:
Отсюда
Значит, при 
точка пересечения будет единственна, как и решение системы уравнений.
Ответ: 
Окружность, центр которой лежит на прямой 
пересекает параболу 
хотя бы в трёх точках; одна из этих точек – начало координат, а две из оставшихся лежат на прямой 
Найдите все значения b, при которых описанная конфигурация возможна.
Рассмотрим сначала 
Обозначим начало координат через 
центр окружности через 
(так как он лежит на прямой его ордината равна b); точки пересечения прямой с параболой через 
и 
Пусть также 
— точка пересечения данной прямой с осью ординат, C — точка пересечения окружности с осью ординат, отличная
Треугольник QOC равнобедренный 
как радиусы), QT — его высота, следовательно, QT также и медиана, 
поэтому точка C имеет координаты 
Опустим из точки A перпендикуляр AH на ось ординат. Тогда 
есть угол наклона прямой, его тангенс равен 
Отсюда 
и
Аналогично находим, что 
Прямые AB и OC — две хорды данной окружности. По теореме о пересекающихся хордах*
то есть
Абсциссы 
и 
точек пересечения прямой 
и параболы 
определяются уравнением
По теореме Виета 
Значит,
Значение 
не подходит, так как при этом заданная прямая принимает вид 
то есть проходит через начало координат.
При 
(естественно, мы рассматриваем только те b, при которых прямая и парабола имеют две точки пересечения) оба числа и положительны. Точка T является серединой отрезка OC (сохраняем все обозначения первого случая). Тогда с одной стороны выходит, что точка T — середина хорды OC, то есть лежит внутри окружности. С другой стороны, точки A и B лежат на окружности, поэтому AB является хордой этой окружности, а точка T лежит на продолжении хорды AB, то есть вне окружности. Получаем противоречие, и этот случай невозможен.
Ответ: 
*Заметим, что для отрезков AB и OC, пересекающихся в точке T, условие 
является необходимым и достаточным условием того, что четыре точки A, B, C, O лежат на одной окружности.
Составлено уравнение хотя бы одного серединного перпендикулярна — 1 балл.
За нахождение координат точек пересечения прямой и параболы — баллы не добавляются.
Окружность, центр которой лежит на прямой y = b, пересекает параболу 
хотя бы в трёх точках; одна из этих точек – начало координат, а две из оставшихся лежат на прямой 
Найдите все значения b, при которых описанная конфигурация возможна.
Рассмотрим сначала Обозначим начало координат через центр окружности через (так как он лежит на прямой его ордината равна b); точки пересечения прямой с параболой через и 
Пусть также — точка пересечения данной прямой с осью ординат, C — точка пересечения окружности с осью ординат,
Треугольник QOC равнобедренный как радиусы), QT — его высота, следовательно, QT также и медиана, поэтому точка C имеет координаты 
Опустим из точки A перпендикуляр 
на ось ординат. Тогда есть угол наклона прямой, его тангенс равен 
Отсюда 
и
Аналогично находим, что 
Прямые AB и OC — две хорды данной окружности. По теореме о пересекающихся хордах*
то есть
Абсциссы и точек пересечения прямой 
и параболы 
определяются уравнением
По теореме параболы определяются уравнением
По теореме Виета 
Значит,
откуда 
Значение не подходит, так как при этом заданная прямая принимает вид 
то есть проходит через начало координат.
При (естественно, мы рассматриваем только те b, при которых прямая и парабола имеют две точки пересечения) оба числа и положительны. Точка T является серединой отрезка 
(сохраняем все обозначения первого случая). Тогда с одной стороны выходит, что точка T — середина хорды OC, т. е. лежит внутри окружности. С другой стороны, точки A и B лежат на окружности, поэтому AB является хордой этой окружности, а точка T лежит на продолжении хорды AB, то есть вне окружности. Получаем противоречие, и этот случай невозможен.
Ответ:
*Заметим, что для отрезков AB и OC, пересекающихся в точке T, условие является необходимым и достаточным условием того, что четыре точки A, B, C, O лежат на одной окружности.
Составлено уравнение хотя бы одного серединного перпендикулярна — 1 балл.
За нахождение координат точек пересечения прямой и параболы — баллы не добавляются.
а) Решите уравнение 
б) Найдите множество всех точек плоскости, являющихся серединами отрезков, концы которых лежат на 
в) Найдите все такие a, при которых функция 
нечетная.
г) Найдите все такие b, что при любом a уравнение 
имеет решение.
а) Перепишем уравнение в виде 
и преобразуем при условии 
Ответ: 
б) Точка с координатами
является серединой отрезка, концы которого лежат на кривой 
тогда и только тогда, когда найдутся такие числа a и b, что
Исключая очевидное решение 
приходим к уравнению 
которое разрешимо при 
Пункт 1б) не обнаружен в файле. Решения нет.
Ответ: на рисунке.
в) При 
получаем 
Но если нечетная функция 
определена при 
то 
поэтому либо 
либо 
Итак, остается проверить 
и 
При получим
что определено при 
и не определено при 
поэтому функция не будет нечетной.
При 
получим
и 
при всех x. Решим
что верно. Осталось еще объяснить, что и 
определены при одних и тех же x. Ясно, что при всех 
а при 
Поскольку произведение этих выражений всегда положительно, то на самом деле оба они всегда одного знака, то есть оба положительны. Значит, логарифмы определены.
Ответ: 
г) Изобразим график 
(см. рис.). Прямые 
проходят через точку 
на оси ординат. Поэтому вопрос сводится к такому — какие точки на оси ординат обладают таким свойством — любая невертикальная прямая, проведенная через них, пересекает график 
Очевидно при можно провести горизонтальную прямую и она не пересечет график, при точка 
лежит на графике, а при 
прямые с неотрицательным k пересекают график во второй четверти, а с отрицательным k — в первой четверти (возможно есть и второе пересечение, но это неважно).
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
на рисунке.
г) Изобразим график (см. рис.). Прямые проходят через точку на оси ординат. Поэтому вопрос сводится к такому — какие точки на оси ординат обладают таким свойством — любая невертикальная прямая, проведенная через них, пересекает график Очевидно при можно провести горизонтальную прямую и она не пересечет график, при точка лежит на графике, а при прямые с неотрицательным k пересекают график во второй четверти, а с отрицательным k — в первой четверти (возможно есть и второе пересечение, но это неважно).
Пусть 
а) Решите неравенство 
б) Найдите множество значений функции f.
в) Найдите число положительных решений уравнения 
а) Сделаем сразу замену 
тогда 
и 
Пусть 
Отметим также, что каждому 
соответствует ровно одно 
и наоборот. Тогда неравенство примет вид
а учитывая условие —
Тогда 
или 
где 
Ответ:
б) Очевидно это множество совпадает с множеством значений функции 
при 
то есть квадратного трехчлена 
с отрицательным старшим коэффициентом. Наибольшее его значение достигается при 
и равно 
поэтому множество значений его 
Ответ: 
в) Рассмотрим функцию
которая связана с f соотношением 
Имеется взаимно однозначное соответствие 
между положительными решениями уравнения 
и решениями уравнения 
лежащими на луче 
График 
для 
изображен на рисунке, откуда и получаем ответ: уравнение имеет один корень при 
и два — при 
После той же замены мы получим уравнение 
при условии 
Функция 
убывает при 
причем 
Значит, функция 
убывает до корня уравнения 
а затем возрастает. Поэтому она принимает все значения на промежутке 
а потом — на промежутке 
Поэтому уравнение имеет единственный корень при 
два корня при 
один корень при и не имеет корней при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Докажите, что уравнение 
имеет два различных действительных корня, если 
Верно ли обратное утверждение?
б) Решите уравнение 
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
действительных чисел, что функция 
монотонна на всей числовой прямой.
г) Абсциссы двух точек пересечения некоторой прямой с графиком функции 
равны 
и 
Найдите абсциссы остальных точек пересечения.
а) Пусть
Так как 
то 
значит, парабола, являющаяся графиком функции p, пересечет ось абсцисс в двух разных точках. Обратное утверждение неверно, пример — на рисунке.
б) Из цепочки
следует, что 
и 
или 
Ответ: 
в) На рисунке изображено множество пар
заданное неравенством 
так как производная 
данной функции должна сохранять знак на всей оси.
Ответ: см. рисунок.
г) Абсциссы точек пересечения прямой 
с графиком функции являются корнями уравнения
следовательно, их сумма равна нулю.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
см. рисунок. а) Докажите, что уравнение имеет два различных действительных корня, если 
Верно ли обратное утверждение?
б) Решите уравнение
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
действительных чисел, что неравенство 
верно при всех 
г) Существует ли прямая, пересекающая кривую 
в трех различных точках?
а) Пусть 
Заметим, что
то есть 
и 
имеют разные знаки. Значит, на отрезке 
есть один корень уравнения 
а всего корней два (если бы он был один, то график 
касался бы оси абсцисс и функция не принимала бы значений разных знаков). Обратное утверждение неверно, если, например, оба корня не лежат на этом отрезке, как у трехчлена 
тогда корнями будут 
и 
а
б) Так как 
то равенство возможно лишь в тех случаях, когда 
откуда 
Для решений первой системы имеем 
откуда 
Поскольку k и l — целые числа, а 
получаем следующие варианты: 
или 
или 
или, наконец, 
и 
Ответ: 
в) Неравенство
задает множество пар лежащих в квадрате со сторонами, параллельными биссектрисам координатных углов, имеющем центр в точке с координатами 
Множество пар лежащих в каждом таком квадрате при 
является прямоугольником.
Ответ: см. рисунке.
г) Возьмем для примера прямую, проходящую через точки с координатами 
и 
(смотрите решение соответствующего пункта варианта 9).
Ответ: да, существует.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
см. рисунке. да, существует.a) Постройте эскиз графика функции 
б) Изобразите на плоскости множество точек 
координаты которых удовлетворяют равенству
в) Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет два решения.
г) Докажите, что 
при 
а) Ясно, что вначале следует строить график функции
Вместо того чтобы проделать стандартное исследование при помощи производной, поступим по-другому. Поскольку 
где
то, построив (при помощи двух параллельных переносов) график функции g (см. рис.), далее будем рассуждать следующим образом. Функция 
монотонно возрастает, значит, функция 
убывает: от −1 до 
на интервале 
и от 
до −1 на луче 
Ответ: см. рис.
б) Поскольку отрезок 
является областью значений и синуса и косинуса, то 
Заметим, что наибольшее значение 
при 
не всегда равно a (типичная ошибка!), поскольку
(кстати, по определению степени с произвольными показателями, 
). Поэтому равенство имеет место при 
где 
и ветви гиперболы 
Ответ: см. рис.
в) Эта задача интересна тем, что естественный подход — посмотреть на картинки — может привести к неверному предположению.
Если 
то каждое из уравнений данной системы задает параболу с фиксированной вершиной. На рисунках изображены параболы для «очень отрицательного» значения a, когда система решений не имеет, и «очень положительного», когда ясно, что решений четыре (можно использовать непрерывность функций 
и характер их монотонности). Если 
то из симметричности картинки ясно, что возможные точки пересечения лежат на прямой откуда 
и 
Таким образом, похоже, что при 
система имеет одно решение (параболы касаются), а если 
то два. Случай 
несколько более загадочен. Опять-таки ясно, что при 
система имеет четыре решения, но что происходит, если 
Оказывается, параболы могут пересечься в четырех точках (см. рис.). Проделаем вычисления. Вычитая первое уравнение системы из второго, получаем 
откуда 
(этот случай был разобран), или же 
В последнем случае приходим к уравнению 
в котором удобно сделать замену 
Полученное уравнение 
имеет решение при 
Заметим, что если 
то 
и 
то 
Ответ: 
г) Решение основано на идее оценки подынтегрального выражения:
поэтому данный интеграл также стремится к нулю.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите все такие значения a и b, что система неравенств
имеет единственное решение.
б) Докажите, что кривая
делит единичную окружность на восемь равных дуг.
в) Докажите, что при любом натуральном k уравнение 
разрешимо в целых числах.
а) Изобразим на плоскости множества, заданные неравенствами
и 
(замена 
). Ясно (см. рис.), что они имеют единственную общую точку лишь при 
Ответ: и b — любое.
б) Перейдя к полярным координатам 
и 
после несложных преобразований получим уравнение 
поэтому данная кривая состоит из восьми проходящих через начало координат прямых. Угол между соседними прямыми равен 
в) Пусть 
тогда числа 
и 
целые.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и b — любое.а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции 
которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение 
имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение 
?
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в)?
а) Вычисление стандартно.
Ответ: 
б) Запишем уравнение в виде
и исследуем функцию 
при 
при 
при 
Ответ ясен из приведенного на рисунке графика.
Ответ: 
в) Эта задача характерна тем, что бездумное использование графической интерпретации может привести к ошибке. На рисунке показаны эскизы графиков при не очень больших значениях аргумента. Ясно, что эти графики имеют одну точку пересечения с отрицательной абсциссой (монотонность и непрерывность), но не совсем понятно, что происходит на
Это уравнение имеет очевидное решение 
и, как следует из рисунке, существует и еще одно его решение на интервале 
Ответ: три решения.
г) Так как при нецелых x число 6x иррационально, то среди натуральных чисел решением может быть только (см. решение предыдущего пункта), которое таковым не является.
Ответ: одно рациональное решение 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
три решения. одно рациональное решение а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции 
которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение 
имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение 
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в?
а) Поскольку 
касательная в точке 
имеет уравнение 
то есть 
Если эта прямая проходит через начало координат, то 
откуда 
и уравнение касательной имеет вид 
Ответ: 
б) Если 
то 
—
поэтому графики 
и обязательно пересекутся где-то в области 
Если то корней очевидно нет. Пусть теперь 
Функция является выпуклой вниз (ее вторая производная 
), поэтому прямые, проходящие ниже касательной при положительных x не будут пересекать ее график, а проходящие выше касательной — будут (см. рис.). При имеем 
поэтому там пересечений не будет. Окончательно 
Ответ: 
в) Запишем уравнение в виде 
Ясно, что не было корнем исходного уравнения. Тогда
Исследуем теперь функцию в левой части. При 
она примет вид 
поэтому
что положительно при 
и отрицательно при 
значит, эта функция возрастает при 
и убывает 
(мы использовали правило Лопиталя) и
Итак, функция принимает все значения из промежутка 
при и принимает все значения из промежутка 
при 
В частности 
поэтому такое значение при положительных x функция принимает дважды. Если же
то 
то есть функция нечетна. Значит, она при принимает значение 
столько же раз, сколько при принимает значение 
Это, очевидно, происходит один раз. Итого имеется три корня уравнения — по одному на промежутках 
Ответ: три решения.
г) Пусть 
— Имеем 
отсюда ясно, что 
тогда 
Если 
то в левой части записано целое число, тогда в правой тоже должно быть целое число. Однако при возведении несократимой дроби в степень она не может стать сократимой, поэтому знаменатель ее будет равен 
а должен быть единицей, откуда 
и 
— то аналогично можно записать уравнение в виде 
откуда ясно, что (а значит 
).
Итак, либо x натуральное число, либо 
где b — натуральное. Ясно что 
подходит в уравнение. Это корень, лежавший на 
На 
есть всего два натуральных числа и 
они корнями не являются.
Наконец пусть 
и уравнение 
принимает вид 
что невозможно, поскольку 
тоже иррациональный. Итого один рациональный корень.
Ответ: одно решение 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
три решения. одно решение а) Решите неравенство 
б) Верно ли, что при всех 
справедливо неравенство 
в) Изобразите на координатной плоскости множество всех точек 
таких что уравнение 
)
а) Ответ: 
б) Данное неравенство можно, к примеру, преобразовать к виду
Осталось решить неравенство
с 
и 
Ответ: Да, верно.
в) Действительно, поскольку график функции 
есть верхняя половина гиперболы, то при 
прямая пересекается с этим графиком тогда и только тогда, когда 
Если же 
то они пересекаются при 
Ответ: 
или 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Да, верно. или а) Решите неравенство 
б) Найдите все числа 
для которых верно неравенство 
в) Изобразите на координатной плоскости множество всех точек таких что уравнение 
)
Ответ: а) 
б) 
в) 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все b, при которых система неравенств
имеет единственное решение.
а) Область определения неравенства — луч Поскольку 
то
значит,
Решением первой системы неравенств является отрезок 
решение второй — отрезок 
— не лежит в области определения исходного неравенства.
Ответ: 
б) Выражение 
при помощи преобразования произведения косинусов в сумму и наоборот может быть приведено к виду 
откуда 
или 
Ответ: 
в) Первое из неравенств системы задает множество точек, лежащих не ниже параболы 
второе — множество точек, лежащих, не левее симметричной ей относительно прямой параболы 
Ясно, что эти множества имеют единственную общую точку тогда и только тогда, когда первая парабола касается прямой поскольку тогда вторая парабола также касается этой прямой, причем в той же самой точке. Парабола 
касается прямой если квадратное уравнение 
имеет единственное решение. Приравняв нулю дискриминант этого уравнения, получим ответ.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Нарисуйте график функции 
б) Решите уравнение 
в) Решите неравенство 
г) Задумав жениться, Иван открыл счет в банке и решил ежегодно вносить на него 10 000 рублей. Сколько денег на семейный отдых он сможет тратить через 8 лет, если будет брать только проценты с накопленной за это время суммы? Банк дает 30% годовых, а 
а) Функция
— возрастающая и ее корень — 
Ответ: См. рисунок.
б) Возведя в квадрат, получим уравнение 
из корней которого следует взять лишь те, для которых 
в) Решение: Заметим прежде всего, что записать верное решение этой задачи, не используя ее геометрической интерпретации, достаточно трудно, что видно хотя бы из ответа. Положим для краткости его записи: 
Итак, ответ: 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
решение понятно из следующей серии графиков.
Ответ: 
г) (Прочитав формулировку задачи, один из моих коллег сказал, что ответ в ней — «ничего», поскольку банк, который выплачивает такой процент, заведомо прогорит. И, как мы увидели на практике, он оказался прав. Но это уже совсем другая наука...). Конечно, можно прямо подсчитать, сколько же денег на счету окажется у Ивана через 8 лет. Заметим, что проделать аналогичное вычисление при решении задачи 2г) следующего варианта будет более затруднительно, не говоря уже о том, что делать это без калькулятора просто глупо.
Мы проведем вычисления в общем виде, воспользовавшись численными данными лишь на заключительном этапе решения. Итак, пусть a — вносимая Иваном ежегодно сумма, а 
— начисляемый годовой процент. В первый год он внес a рублей, так что после начисления годовых процентов через год у него на счету будет
Удобно ввести дополнительное обозначение 
так что если некто имел на счету в начале года s рублей, то после начисления процентов у него окажется sq рублей. Вернемся к Ивану. После того, как он в конце первого года внес снова свои a рублей, у него на счету стало их 
далее, в конце второго года их станет (после очередного
В нашем случае 
так как 
Поэтому имеется по крайней
Ответ: 90 000 рублей.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
90 000 рублей.а) Нарисуйте график функции 
б) Решите уравнение 
в) Решите неравенство 
г) Для того, чтобы обеспечить себя в старости, Джон открыл счет в банке и решил ежегодно вносить на 
а) См. рисунок
б) Возводя уравнение в квадрат, получим
Теперь нужно выбрать из этих ответов только те, для которых 
Например для 
нужно выбирать только четные k, 
аналогично и для 
нужно выбирать четные k.
в) Перепишем неравенство в виде 
Построим сначала график функции 
отразим его относительно вертикальной оси (получим график 
), сдвинем вправо на 
(получим график 
) и вниз на 
Теперь рассмотрим прямые, проходящие через начало координат и выясним, при каких x точка на прямой лежит выше соответствующей точки на графике или совпадает с ней. Пусть для начала a сильно отрицательное число. Тогда, очевидно, ответом будет 
Будем теперь увеличивать a. Ситуация будет меняться следующим образом. При некотором 
прямая пройдет через точку 
и к ответу добавится 
Затем прямая будет пересекать обе ветви графика и появится еще небольшой отрезок между точками пересечения. Затем при некотором 
прямая коснется левой ветви графика и ответом будут все x до точки пересечения с правой ветвью. Затем появится вторая точка пересечения с левой ветвью а ответом будут все x левее этой точки и все от 0 до точки пересечения с правой ветвью.
Это будет продолжаться, пока a не станет нулем и первый промежуток не пропадет. Затем a станет положительно. подходить уже не будут, зато появится вторая точка пересечения с правой ветвью и к ответу добавятся все точки правее этой точки пересечения.
Это будет продолжаться, пока прямая не станет касательной к правой ветви при некотором 
С этого момента будут подходить все 
Осталось найти все эти точки пересечения и определить конкретные значения 
Решим уравнение 
для поиска точек пересечения с левой ветвью, получим
Иногда этот корень будет посторонним, но нам это неважно, поскольку мы уже определили по рисунку ситуации, когда он будет на самом деле.
Решим уравнение 
для поиска точек пересечения с правой ветвью, тогда
Из этих двух корней иногда нужен только один — тогда это меньший корень, 
Второй соответствует пересечению с нижней ветвью параболы 
которая не относится к графику (на рисунке показана пунктиром) можно найти из уравнения 
откуда 
и равно угловому коэффициенту касательной к линии 
в точке то есть производной от данной функции в точке 
Решим
что при дает 
Наконец 
должно быть таким положительным числом, при котором склеиваются точки пересечения прямой с правой ветвью графика, откуда
Поскольку 
следует выбрать 
Теперь можно написать ответ.
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
г) На первые его 2 000 банк начислит проценты 26 раз, на вторые −25 и так далее, поэтому общий размер его вклада составит
Если вычесть из этой суммы 20000 долларов и потом начислить на остаток 
то вклад составит
и нужно сравнить это число с предыдущим остатком по вкладу. Докажем, что оно больше, тогда он сможет жить на проценты с вклада. Сравним
Заметим, что
поэтому
Знание 
не пригодилось. Чтобы его нормально использовать, нужно, кажется, тратить по 18 тысяч. Тогда надо будет доказывать, что 
что верно поскольку 
Ответ:
б) 
в) 
при 
при 
при 
при 
при 
при где 
г) да, достаточно.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б)
в) при при при при при при где
г) да, достаточно.
Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики 
и 
— параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции 
касается графика функции 
Найдите все значения A такие, что график функции 
касается графика функции 
Решение. Пусть 
где 
Касание графиков 
и 
эквивалентно тому, что уравнение 
имеет ровно одно решение. Получаем
Дискриминант этого уравнения равен
откуда 
Аналогично, касание графиков 
и 
означает, что уравнение 
имеет единственное решение. Это уравнение равносильно следующим:
Дискриминант равен
Он обращается в ноль при 
и 
Ответ: 
Найдено значение —
Найдено значение A, отличное от нуля — 4 балла.
При исследовании случая 
найдена константа 
и других продвижений в этом случае нет — 3 балла за этот случай.
Наверх