Числа P1, . . . , Pn являются перестановкой набора чисел {1, . . . , n} (то есть каждое Pi равно одному из 1, . . . , n, и все Pi различны). Докажите неравенство:
Решение.
По неравенству о среднем арифметическом и среднем гармоническом имеем:
В нашем случае слагаемых Сумма в знаменателе содержит каждое из чисел 1, . . . , n по два раза, кроме двух чисел, которые в ней участвуют по одному разу. Тогда эта сумма меньше Отсюда:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Неравенство полностью доказано.
20
Доказано нестрогое неравенство.
17
Рассмотрена идея использования неравенства между средним арифметическим и среднем гармоническим.
6
Неверный переход в доказательстве по индукции
ИЛИ
решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
Известно, что уравнение не имеет решений в натуральных числах. Найдите все решения в натуральных числах уравнения
Решение.
Запишем уравнение в виде откуда В натуральных числах и z это уравнение решений не имеет (по условию задачи). Так как и z, и x (а значит и должны быть натуральными, единственный возможный случай — это случай то есть Но тогда
Функция f(x) задана на всей числовой оси, причём для всех x выполняются неравенства:
а) Придумайте хотя бы одну функцию f(x), удовлетворяющую этим условиям.
б) Докажите, что функция f(x) — периодическая.
Решение.
а) Например,
б) Представим в виде и применим первое неравенство из условия задачи, взяв в качестве x выражение Тогда и поскольку имеем Подставив в это неравенство вместо x, получим и, значит, Повторяя эти рассуждения, получим
Но по условию Значит, в приведённой цепочке все неравенства обращаются в равенства, то есть Другими словами, функция f(x) имеет период
Неотрицательные числа a, b, c и d таковы, что a + b + c + d = 4. Найдите наибольшее возможное значение суммы S = ab + bc + cd и определите все четвёрки (a, b, c, d) чисел, для которых это максимальное значение достигается.
Решение.
При и имеем Докажем, что это значение наибольшее. Оценим сумму S, добавив к ней неотрицательное число da:
Учтём, что и обозначим тогда Последнее неравенство легко доказывается, поскольку эквивалентно очевидному Знак равенства достигается при и то есть и Следовательно, наибольшее значение достигается только для четвёрок (a, b, c, d) вида где
Ответ: 4.
Критерии проверки:
Только пример — 5 баллов.
Оценка S — 15 баллов.
Правильно указаны все четвёрки (a, b, c, d) ещё 10 баллов.
Доказана оценка, но указаны не все четвёрки — не более 23 баллов.
Решите уравнение В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.
Решение.
Исходное уравнение равносильно уравнению
В данный в условии отрезок попадают корни и Их сумма равна
У Сережи больше 50 черных и белых шаров, причем белых больше, чем черных. Оказалось, что он может выложить шары 2016 способами в ряд так, что никакие два черных не лежали рядом. Сколько шаров было у Сергея?
Решение.
Пусть p — количество белых, а q — черных, — количество мест, на которые можно выложить черные шары. При получаем
Сумма в знаменателе содержит каждое из чисел 1, . . . , n по два раза, кроме двух чисел, которые в ней участвуют по одному разу. Тогда эта сумма меньше 
Отсюда:
и заменим согласно этому равенству каждое слагаемое в оцениваемой сумме:
следовательно, оцениваемая величина 
что и доказывает исходные неравенства.
не имеет решений в натуральных числах. Найдите все решения в натуральных числах уравнения 
откуда 
В натуральных числах 
и z это уравнение решений не имеет (по условию задачи). Так как и z, и x (а значит и 
должны быть натуральными, единственный возможный случай — это случай 
то есть 
Но тогда 
Докажите, что 
Вновь применяя это же неравенство, получаем 
в виде 
и применим первое неравенство из условия задачи, взяв в качестве x выражение 
Тогда 
и поскольку 
имеем 
Подставив в это неравенство 
и, значит, 
Повторяя эти рассуждения, получим 
Значит, в приведённой цепочке все неравенства обращаются в равенства, то есть 
Другими словами, функция f(x) имеет период 
и 
имеем 
Докажем, что это значение наибольшее. Оценим сумму S, добавив к ней неотрицательное число da: 
и обозначим 
тогда 
Последнее неравенство легко доказывается, поскольку эквивалентно очевидному 
Знак равенства достигается при 
и 
то есть 
и 
Следовательно, наибольшее значение 
достигается только для четвёрок (a, b, c, d) вида 
где 
В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку 
при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.
и 
Их сумма равна 
и 
Складывая и вы читая эти уравнения, находим 
откуда либо 
(этот вариант не подходит ввиду выписанных выше условий), либо 
соответственно (здесь знаки берутся либо верхние, либо нижние).
то подставляя в уравнение, получим 
чего быть не может. Разделим на 
—
получаем
то есть 
получаем
то есть 
получаем
Получаем, что 
всего 
шаров.
Многочлен 6 степени, следовательно, 6 корней. Если 
—
то 
то 
решение 
решение 
при 
Известно, что уравнение 
не имеет действительных корней. Доказать, что уравнение 
то 
в частности 
то 
следовательно, 
и 
Найдите все такие функции f(x).
при 
следует, что 
а из второго неравенства при 
имеем: 
и, значит, 
Отсюда и из неравенства 
при 
получим: 
или 
Значит, 
для всех x.