Всего: 34 1–20 | 21–34
Добавить в вариант
Через вершины треугольника ABC проведены три параллельные прямые a, b, c соответственно, не параллельные сторонам треугольника. Пусть A0, B0, C0 — середины сторон BC, CA, AB. Пусть A1, B1, C1 — точки пересечения пар прямых a и B0C0, b и C0A0, c и A0B0 соответственно. Докажите, что прямые A0A1, B0B1 и C0C1 пересекаются в одной точке.
Обозначим 
где знак плюс берётся, если r и s расположены в одной паре вертикальных углов относительно p и q, а знак минус — иначе.
равно двойному отношению прямых (a, p; c', b'). Аналогично 
и 
равны двойным отношениям (b, q; a', c') и (c, r; b', a'). Но из параллельности
Известно, что при перестановке прямых c' и b' двойное отношение x заменяется на 
а при перестановке прямых a' и b' — на 1 − x. Значит, 
и 
Получаем 
Точки P и Q лежат соответственно на сторонах BC и CD квадрата ABCD. Прямые AP и AQ пересекают BD в точках M и N соответственно, а прямые PN и QM пересекаются в точке H. Докажите, что AH ⊥ PQ тогда и только тогда, когда точки P, Q, M, N лежат на одной окружности.
поскольку BD – биссектриса треугольника ABP, она делит AP в отношении боковых сторон, то есть 
и 
Аналогично 
и 
Таким образом, т. Чевы гласит:
мы позволим себе вольность записывать это соотношение как 
поскольку все переменные положительны из картинки. 
что равносильно 
(для прямоугольных треугольников APR и AQR с общим катетом разность квадратов других катетов равна разности квадратов гипотенуз). Обратное тоже верно: запишем теорему косинусов для треугольников APR и AQR и вычтем равенства. Имеем:
как выразить y2 − z2 через a, b? Очевидно 
Подставив a2 и b из первого и второго уравнения системы соответственно,
после преобразований получаем 
– то есть то же, что и в левой системе, с точностью до домножения на константу. Итак, системы действительно равносильны – задача решена. 
в более геометрических терминах: когда PQ виден из точки A под углом 45°.Плоскость пересекает ребра тетраэдра ABCD, выходящие из вершины D, и делает их в отношении 5 : 1 (не обязательно от вершины D). Так же эта плоскость пересекает прямые AB и AC в точках E и F. Найдите отношение площадей треугольников AEF и ABC.
и 
соответственно. Если 
и 
параллельны, а значит, плоскость 
не пересекается с прямой AB. Аналогичные рассуждения проведём для прямой AC. Значит, 
При этом точка E оказывается на луче 
за точкой A, откуда 
Аналогично 
и отношение площадей равно 
(т. к. у искомых треугольников равны углы при вершине A).
При этом точка E оказывается на луче 
Аналогично 
и отношение площадей равно 
Плоскость пересекаю ребре тетраэдра ABCD, выходящие из вершины C, и делает их в отношении 4 : 1 (не обязательно от вершины C). Так же эта плоскость пересекает прямые AB и BD в точках E и F. Найдите отношение площадей треугольников BEF и ABD.
соответственно. Если 
При этом точка E оказывается на луче 
Аналогично 
и отношение площадей равно 
(т. к. у искомых треугольников равны углы при вершине B).
При этом точка E оказывается на луче BA за точкой A, откуда 
Аналогично 
и отношение площадей равно 
(т. к. у искомых треугольников равны углы при вершине B).На высоте BH треугольника ABC отмечена некоторая точка D. Прямая AD пересекает сторону BC в точке E, прямая CD пересекает сторону AB в точке F. Точки G и J являются проекциями соответственно точек F и E на сторону AC. Площадь треугольника HEJ вдвое больше площади треугольник HFG. В каком отношении высота BH делит отрезок FE?
Тогда 
откуда
считая от точки E. 
и 
где K — точка пересечения BH и FE. Заметим, что 
откуда вытекает подобие прямоугольных треугольников HEJ и HFG. В силу теоремы Фалеса 
Пусть все углы треугольника ABC меньше 120° и 
Рассмотрим точку внутри треугольника, для которой
Пусть прямая BT пересекает сторону AC в точке E, а прямая CT пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC пересекаются в некоторой точке M, причём MB : MC = TB : TC.
и треугольник TBC — равнобедренный (с основанием BC). Поэтому его биссектриса TD является также медианой и высотой. Значит, AD — медиана и высота треугольнкие ABC. т. е. 
—
По свойству биссектрисы, 
откуда 
Пусть все углы треугольника ABC меньше 120° и Рассмотрим точку внутри треугольника, для которой
Пусть прямая BT пересекает сторону AC в точке E, а прямая CT пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC пересекаются в некоторой точке M, причём MB : MC = TB : TC.
мы получим 
откуда 
и 
то есть AKMN — ромб. Значит, AM — биссектриса угла BAD.В треугольнике ABC проведена медиана AM, точка O — центр описанной около него окружности, точка Q — центр вписанной в него окружности. Отрезки AM и OQ пересекаются в точке S, при этом
Найдите сумму синусов величин углов ABC и ACB, если известно, что 
Ответ при необходимости округлите до сотых.
дуги BL и CL равны и имеют меры 
Значит, 
треугольник BLC — равнобедренный, поэтому его медиан а LM будет и его высотой, то есть прямая LM является серединным перпендикуляром к стороне BC. Стало быть, точка O тоже лежит на прямой LM, причем, в силу того, что дуга BLC меньше π, точки O и L лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BC.
поэтому он равносторонний; CM — его высота, поэтому CM и его медиана, стало быть, 
С учетом этого равенство (*) принимает вид 
тогда 
По свойствам вписанных углов 
Тогда, пользуясь теоремой синусов для треугольника ALC, имеем 
В треугольнике KLM проведена медиана KM, точка O — центр описанной около него окружности, точка Q — центр вписанной в него окружности. Отрезки KP и OQ пересекаются в точке S, при этом 
Найдите сумму синусов величин углов KLM и KML, если известно, что 
Ответ при необходимости округлите до сотых.
Выразите вектор 
через 
и 
тогда из условия симметрии точек A, B, C, D и Е следует, что 
Решим полученное однородное уравнение и получим 
через 
то получаем ответ 
через 
тогда из условия симметрии точек A, B, C, D и Е следует, что 
через 
то получаем ответ 
если 
и 
и 
то 
Поэтому 
Точки M и N — проекции точки P на стороны AC и BC соответственно, D — середина AB. Докажите, что DM = DN.
Кроме того, по свойству секущих, 
что и требовалось доказать.Внутри четырехугольника ABCD взяли точку P. Прямые BC и AD пересекаются в точке X. Оказалось, что прямая XP является внешней биссектрисой углов APD и 
Пусть PY и PZ — биссектрисы треугольников APB и DPC. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.
а 
Найдите величину угла LOM.
Например, поскольку в треугольнике KSM медиана SH совпала с высотой.
а значит 
а значит 
треугольник KOL — равнобедренный. Значит, угол 
Докажем, что 
а 
Для этого воспользуемся тригонометрической формой теоремы Чевы. В соответствии с этой теоремой нам достаточно проверить, что 
Это очевидно: 
из треугольника LOM.
а 
Найдите величину угла QOR.
Например, поскольку в треугольнике PSR медиана SH совпала с высотой.
а значит 
а значит 
треугольник POQ — равнобедренный. Значит, угол 
Докажем, что 
а 
Для этого воспользуемся тригонометрической формой по тереме Чевы. В соответствии с этой теоремой нам достаточно проверить, что 
из треугольника QOR.В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны точки D и E соответственно так, что AD : DB = 2 : 1 и AE : EC = 3 : 1. Пусть отрезки BE и CD пересекаются в точке F. Найти площадь треугольника ABC, если площадь четырехугольника ADFE равна SADFE = 7.
Треугольники ABC и BCD имеют общую высоту, проведенную из вершины C, поэтому их площади относятся как отношение оснований AB и BD: 
или 
Тогда 
по условию, то 
откуда по теореме Фалеса следует параллельность прямых AC и LH. Тогда 
как накрест лежащие, а также 
из чего следует, что 
Из этого также следует, что 
Так как 
то 
Из последних двух равенств имеем 
что и требовалось доказать.