Всего: 106 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Известно, что 
Найдите синус угла между диагоналями этого четырехугольника, если его площадь принимает наименьшее возможное значение при данных условиях.
— отрезки, на которые диагонали делятся их точкой пересечения. Обозначим угол между диагоналями через 
По условию площади треугольников ABO и CDO равны, то есть 
Отсюда 
и, следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по первому признаку подобия: две стороны 
и 
треугольника BOC пропорциональны двум сторонам 
и 
треугольника AOD, а углы, образованные этими сторонами 
и 
равны. Пусть 
— коэффициент подобия треугольников BOC и 
Обозначим через S площади треугольников ABO и CDO (по условию 
Тогда 
и 
В итоге, площадь четырехугольника ABCD может быть представлена в виде:
минимальное значение выражения 
достигается при 
Значит, 
и 
то есть диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому ABCD — параллелограмм. Его площадь 
(1)
Дан правильный треугольник ABC со стороной 2. Точка K лежит на продолжении стороны AC за точку A, точка N лежит на прямой, параллельной прямой AC и проходящей через точку B, причем |AK| = 2, |BN| = 1. Рассматриваются такие ломаные KLMN, что точка L лежит на стороне AB, точка M лежит на стороне BC, а отрезок LM параллелен стороне AC. Найдите наименьшее возможное значение суммы |KL| + |MN|, если |AN| > |CN|.
AB = AD. Найдите длину диагонали AC.
Поэтому
то 
Тогда 
По условию задачи 2hc = ka, 2hb = kb, 2ha = kc, где — коэффициент подобия. Следовательно,
тогда
радиус равен a; у второй окружности: центр — точка 
радиус равен b; у третьей окружности: центр — точка 
радиус равен c. Так как точки A, B, C являются точками касания двух окружностей из трех, то эти точки лежат на отрезках 
Не теряя общности, можно считать, что точка A лежит на отрезке 
точка B — на 
точка C — на 
Tor да по теореме косинусов для треугольника 
Тогда
и 
и 
Тогда по формуле Герона, где S — площадь треугольника ABC: 
Окружности 
и 
касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
следовательно, 
Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH получаем 
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, 
Окружности и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, 
Окружности и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
и 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH получаем 
и 
Опуская из точки Q высоту QH на основание AO, получаем прямоугольный треугольник OHQ, в котором 
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, что 
и 
Окружности и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также пересекает в точках D и E (точка D расположена между C и E). Общая касательная окружностей, проходящая через точку F, пересекает прямые AB и BE в точках P и H соответственно (точка H лежит между точками P и F). Известно, что 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
и 
Опуская из точки Q высоту QH на основание AO, получаем прямоугольный треугольник OHQ, в котором 
По теореме Пифагора получаем 
Решая эту систему уравнений, находим, что 
и 
В треугольнике ABC сторона AC равна 6, а угол ABC равен 120° Окружность радиуса 3 касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC. Найдите длины отрезков CL, MK, AB и площадь треугольника ANL.
следовательно, треугольник MOL — равносторонний, 
и 
Отсюда
откуда 
У треугольников 
и 
общая высота, проведённая из вершины L, поэтому их площади относятся как основания, т. е. как 
Следовательно, 
Отсюда следует, что 
Окружность радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, 
Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника CMN.
через 
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому 
Так как угол 
лежит напротив меньшей стороны треугольника, то он острый. Из треугольника ACH получаем, что 
отсюда 
Отсюда следует, что 
В треугольнике ABC известно, что 
угол 
Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C (O — центр окружности, описанной около треугольника ABC).
—
который по условию равен 
поэтому 
Тогда площадь треугольника 
равна 
Углы 
и 
равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, поэтому 
Значит, 
— равносторонний и найдена его площадь — 1 балл.
— 3 балла.В треугольнике ABC известно, что 
угол 
Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C (O — центр окружности, описанной около треугольника ABC).
равносторонний, поэтому 
получим: 
и x не может быть рациональным числом. Положим теперь, что равны между собою какие-либо два из неизвестных x, y, z. Допустим, 
Тогда имеем 
Откуда: 
Решив это неравенство, найдем 
Но при 
не получается целых значений a, b, c. 
то 
и подстановка дает 
и 
Пусть 
Тогда 
и 
и 
и 
При больших значениях y будет уже 
что противоречит предположению. Вычислив стороны, получаем три треугольника, удовлетворяющих условию задачи: (6; 25; 29), (7; 15; 20), (9; 10; 17). Проверка показывает, что все они тупоугольные. Например, у первого треугольника косинус угла, лежащего против большей стороны, отрицательный: по теореме косинусов 
и 
и 
При больших значениях y получаем 
что противоречит предположению. Две правильные треугольные пирамиды имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. В пирамиды вписаны шары радиуса r. Третий шар радиуса R касается внешним образом обеих пирамид и вписанных в них шаров. Найдите плоский угол при вершине пирамид, если R : r = 2 : 1.
Пусть M — точка касания с гранью ASB шара, вписанного в первую пирамиду. В этой же точке касается ASB и внешний шар. Поэтому точка M лежит на отрезке OO1, причем 
Аналогично получается, что 
Выберем точку N на отрезке OK так, что отрезок NM перпендикулярен OO1, и положим 
(см. верхний рисунок). Тогда 
откуда 
—
и 
Опустим из точек A и C перпендикуляры на ребро BS. Они придут в одну точку L, так как треугольники ASB и BSC равны. По доказанному 
Заметим, что 
Даны две правильные четырехугольные пирамиды с плоским углом при вершине 
Они имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. В пирамиды вписаны шары радиуса r. Третий шар радиуса R касается внешним образом обеих пирамид и вписанных в них шаров. Найдите отношение R к r.
Заметим, что 
Даны две шестиугольные пирамиды и одна треугольная, причем боковые грани всех пирамид одинаковы. Пирамиды удалось склеить внешним образом «без зазоров», то есть так, что любые две пирамиды имеют общую грань. Найдите плоский угол при вершине пирамид.
и ψ. Ввиду отсутствия «зазоров» 
откуда 
O —
так как треугольники ASB и BSC равны. 
Тогда по теореме косинусов 
Из металла отлито m одинаковых правильных пирамид (
). Их удалось склеить так, что у них есть общее ребро и каждая пирамида имеет общую боковую грань ровно с двумя из остальных. Найдите минимальное значение плоского угла при вершине пирамид.
мы получаем 
где 
Тогда 
и 
реализуется при 
и 
В этом случае 
Даны две правильные треугольные пирамиды с вершиной S и плоским углом при вершине 
Они имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. Конус с вершиной S касается внешним образом обеих пирамид. Найдите максимально возможный угол при вершине конуса, при котором это возможно. (Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении).
Кроме того, плоскость A1MA2 перпендикулярна граням A1SB и A2SB. Конус касается этих граней, поэтому можно выбрать точки K на A1M и N на A2M так, что SK и SN — образующие конуса.
Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника A1MC: 
Тогда 
получаем
