сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 8 9

Всего: 253    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Тип 0 № 6760
i

Фо­кус­ник вы­кла­ды­ва­ет в ряд ко­ло­ду из 52 карт и объ­яв­ля­ет, что 51 из них будут вы­ки­ну­ты со стола, а оста­нет­ся трой­ка треф. Зри­тель на каж­дом шаге го­во­рит, какую по счёту с края карту надо вы­ки­нуть, а фо­кус­ник вы­би­ра­ет, с ле­во­го или с пра­во­го края счи­тать, и вы­ки­ды­ва­ет со­от­вет­ству­ю­щую карту. При каких на­чаль­ных по­ло­же­ни­ях трой­ки треф можно га­ран­ти­ро­вать спех фо­ку­са?

 

(Алек­сей Во­ро­па­ев)


Дана окруж­ность \omega с цен­тром 0 и две её раз­лич­ные точки А и С. Для любой дру­гой точки P на \omega от­ме­тим се­ре­ди­ны X и Y от­рез­ков AP и CP и по­стро­им точку H пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ОХҮ. До­ка­жи­те, что по­ло­же­ние точки Н не за­ви­сит от вы­бо­ра точки Р.

 

(Ар­те­мий Со­ко­лов)


Тип 0 № 6762
i

В каж­дой клет­ке по­лос­ки длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль по­ме­нять ме­ста­ми любые две со­сед­ние фишки, а также можно бес­плат­но по­ме­нять ме­ста­ми любые две фишки, между ко­то­ры­ми стоят ровно три фишки. За какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство руб­лей можно пе­ре­ста­вить фишки в об­рат­ном по­ряд­ке?

 

(Егор Ба­ка­ев)


Даны целые числа a1, ..., a1000. По кругу за­пи­са­ны их квад­ра­ты a в квад­ра­те _1, ..., a_1000 в квад­ра­те . Сумма каж­дых 41 под­ряд иду­щих квад­ра­тов на круге де­лит­ся на 412. Верно ли, что каж­дое из чисел a_1, ..., a_1000 де­лит­ся на 41?

 

(Борис Френ­кин)


У Васи есть не­огра­ни­чен­ный запас брус­ков 1 \times 1 \times 3 и угол­ков из трёх ку­би­ков 1 \times 1 \times 1. Вася це­ли­ком за­пол­нил ими ко­роб­ку m \times n \times k, где m, n и k  — целые числа, боль­шие 1. До­ка­жи­те, что можно было обой­тись лишь угол­ка­ми.

 

(Ми­ха­ил Ев­до­ки­мов)


Тип 0 № 6765
i

В стро­ку за­пи­са­но 2020 на­ту­раль­ных чисел. Каж­дое из них, на­чи­ная с тре­тье­го, де­лит­ся и на преды­ду­щее, и на сумму двух преды­ду­щих. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать по­след­нее число в стро­ке?

 

(А. Гри­бал­ко)


На вы­со­тах AA0, BB0, CC0 ост­ро­уголь­но­го не­рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­ти­ли со­от­вет­ствен­но точки A1, B1, C1 так, что AA_1 = BB_1 = CC_1 = R, где R  — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. До­ка­жи­те, что центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка A_1B_1C_1 сов­па­да­ет с цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

 

(Е. Ба­ка­ев)


На клет­ча­той плос­ко­сти от­ме­ти­ли 40 кле­ток. Все­гда ли найдётся клет­ча­тый пря­мо­уголь­ник, со­дер­жа­щий ровно 20 от­ме­чен­ных кле­ток?

 

(М. Ев­до­ки­мов)


Для бес­ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти a_1, a_2, ... её пер­вая про­из­вод­ная  — это по­сле­до­ва­тель­ность a′n=a_n плюс 1 минус a_n, (где n=1, 2, ... пра­вая круг­лая скоб­ка , а её k-я про­из­вод­ная  — это пер­вая про­из­вод­ная её (k−1)-й про­из­вод­ной  левая круг­лая скоб­ка k = 2, 3, ... пра­вая круг­лая скоб­ка . Назовём по­сле­до­ва­тель­ность хо­ро­шей, если она и все её про­из­вод­ные со­сто­ят из по­ло­жи­тель­ных чисел. До­ка­жи­те, что если a_1, a_2, ... и b_1, b_2, ...  — хо­ро­шие по­сле­до­ва­тель­но­сти, то и a_1 умно­жить на b_1, a_2 умно­жить на b_2,...  — хо­ро­шая по­сле­до­ва­тель­ность.

 

(Р. Са­ли­мов)


На сфере ра­ди­у­са 1 дан тре­уголь­ник, сто­ро­ны ко­то­ро­го  — дуги трёх раз­лич­ных окруж­но­стей ра­ди­у­са 1 с цен­тром в цен­тре сферы, име­ю­щие длины мень­ше π, а пло­щадь равна чет­вер­ти пло­ща­ди сферы. До­ка­жи­те, что че­тырь­мя ко­пи­я­ми та­ко­го тре­уголь­ни­ка можно по­крыть всю сферу.

 

(А. За­слав­ский)


Тип 0 № 6770
i

Дан бес­ко­неч­ный запас белых, синих и крас­ных ку­би­ков. По кругу рас­став­ля­ют любые N из них. Робот, став в любое место круга, идёт по ча­со­вой стрел­ке и, пока не оста­нет­ся один кубик, по­сто­ян­но по­вто­ря­ет такую опе­ра­цию: уни­что­жа­ет два бли­жай­ших ку­би­ка перед собой и ста­вит по­за­ди себя новый кубик того же цвета, если уни­что­жен­ные оди­на­ко­вы, и тре­тье­го цвета, если уни­что­жен­ные двух раз­ных цве­тов. Назовём рас­ста­нов­ку ку­би­ков хо­ро­шей, если цвет остав­ше­го­ся в конце ку­би­ка не за­ви­сит от места, с ко­то­ро­го стар­то­вал робот. Назовём N удач­ным, если при любом вы­бо­ре N ку­би­ков все их рас­ста­нов­ки хо­ро­шие. Най­ди­те все удач­ные N.

 

(И. Бог­да­нов)


Тип 0 № 6771
i

Назовём слож­но­стью це­ло­го числа n боль­ше 1 ко­ли­че­ство со­мно­жи­те­лей в его раз­ло­же­нии на про­стые (на­при­мер, слож­ность чисел 4 и 6 равна 2). Для каких n все числа между n и 2n имеют слож­ность

а) не боль­ше, чем у n;

б) мень­ше, чем у n?

 

(Борис Френ­кин)


Два ост­ро­уголь­ных тре­уголь­ни­ка ABC и A_1B_1C_1 та­ко­вы, что точки B1 и C1 лежат на сто­ро­не BC, а точка A1 лежит внут­ри тре­уголь­ни­ка ABC. Пусть S и S1  — со­от­вет­ствен­но пло­ща­ди этих тре­уголь­ни­ков. До­ка­жи­те, что

 дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: AB плюс AC конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: S_1, зна­ме­на­тель: A_1B_1 плюс A_1C_1 конец дроби .

 

(Наири Седра­кян, Илья Бог­да­нов)


Тип 0 № 6773
i

Есть 100 внеш­не не­раз­ли­чи­мых монет трёх типов: зо­ло­тые, се­реб­ря­ные и мед­ные (каж­дый тип встре­ча­ет­ся хотя бы раз). Из­вест­но, что зо­ло­тые весят по 3 грам­ма, се­реб­ря­ные  — по 2 грам­ма, мед­ные  — по 1 грам­му. Как на ча­шеч­ных весах без гирек га­ран­ти­ро­ван­но опре­де­лить тип у всех монет не более, чем за 101 взве­ши­ва­ние?

 

(Вла­ди­слав Но­ви­ков)


Из цен­тра O опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры OP и OQ на бис­сек­три­сы внут­рен­не­го и внеш­не­го углов при вер­ши­не B. До­ка­жи­те, что пря­мая PQ делит по­по­лам от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны сто­рон CB и AB.

 

(Ар­те­мий Со­ко­лов)


Назовём пару (m, n) раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел m и n хо­ро­шей, если mn и  левая круг­лая скоб­ка m плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка   — точ­ные квад­ра­ты. До­ка­жи­те, что для каж­до­го на­ту­раль­но­го m су­ще­ству­ет хотя бы одно такое n боль­ше m, что пара (m, n) хо­ро­шая.

 

(Юрий Мар­ке­лов)


Тип 21 № 6776
i

У Пети было не­сколь­ко сто­рублёвок, дру­гих денег не было. Петя стал по­ку­пать книги (каж­дая книга стоит целое число руб­лей) и по­лу­чать сдачу ме­ло­чью (мо­не­та­ми в 1 рубль). При по­куп­ке до­ро­гой книги (не де­шев­ле 100 руб­лей) Петя рас­пла­чи­вал­ся толь­ко сто­рублёвками (ми­ни­маль­ным не­об­хо­ди­мым их ко­ли­че­ством), а при по­куп­ке дешёвой (де­шев­ле 100 руб­лей) рас­пла­чи­вал­ся ме­ло­чью, если хва­та­ло, а если не хва­та­ло  — сто­рублёвкой. К мо­мен­ту, когда сто­рублёвок не оста­лось, Петя по­тра­тил на книги ровно по­ло­ви­ну своих денег. Мог ли Петя по­тра­тить на книги хотя бы 5000 руб­лей?

 

(Та­тья­на Ка­зи­цы­на)


Тип 0 № 6777
i

В клет­ча­том де­ре­вян­ном квад­ра­те 102 клет­ки на­ма­за­ны чёрной крас­кой. Петя, ис­поль­зуя квад­рат как пе­чать, 100 раз при­ло­жил его к бе­ло­му листу, и каж­дый раз эти 102 клет­ки (и толь­ко они) остав­ля­ли чёрный от­пе­ча­ток на бу­ма­ге. Мог ли в итоге на листе по­лу­чить­ся квад­рат 101 · 101, все клет­ки ко­то­ро­го, кроме одной уг­ло­вой, чёрные?

 

(Алек­сандр Гри­бал­ко)


Мно­го­член P левая круг­лая скоб­ка x, y пра­вая круг­лая скоб­ка таков, что для вся­ко­го це­ло­го n боль­ше или равно 0 каж­дый из мно­го­чле­нов P левая круг­лая скоб­ка n, y пра­вая круг­лая скоб­ка и P левая круг­лая скоб­ка x, n пра­вая круг­лая скоб­ка либо тож­де­ствен­но равен нулю, либо имеет сте­пень не выше n. Может ли мно­го­член P левая круг­лая скоб­ка x,x пра­вая круг­лая скоб­ка иметь нечётную сте­пень?

 

(Борис Френ­кин)


От­рез­ки AA', BB' и CC' с кон­ца­ми на сто­ро­нах ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P внут­ри тре­уголь­ни­ка. На каж­дом из этих от­рез­ков как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность, в ко­то­рой пер­пен­ди­ку­ляр­но этому диа­мет­ру про­ве­де­на хорда через точку P. Ока­за­лось, что три про­ведённые хорды имеют оди­на­ко­вую длину. До­ка­жи­те, что P  — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC.

 

(Г. Галь­пе­рин)

Всего: 253    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80