Всего: 35 1–20 | 21–35
Добавить в вариант
Решить в действительных числах систему уравнений: 
Рассмотрим случаи.
1) Пусть 
тогда 
откуда 
— первые три решения.
2) Пусть 
тогда 
откуда 
— первое и два последних решения. Покажем, что других решений нет.
3) Пусть 
и 
Вычтем из первого второе уравнение и разделим на 
получим 
Сложим первое и второе уравнение и разделим на 
получим 
Следовательно, 
откуда 
то есть что в данном случае невозможно. Новых решений не получается.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Рассмотрены первые два случая. | 2 |
| Угаданы с проверкой все решения. | 1 |
| Потеряна часть решений. | 3-6 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Восемь чисел 
и 
удовлетворяют соотношениям:
Известно, что 
Найдите 
Докажем, что 
Умножим уравнение (а) исходной системы
на 
и вычтем из него уравнение (б), умноженное на 
В результате получим
Здесь 
Аналогично, из (в) и (г) находим, что
Заметим, что 
так как в противном случае из (3) следовало бы, что 
а значит и 
что противоречит условию задачи. Остается выразить 
и 
из (2) и (3) и подставить полученные выражения в (1). Справедливость соотношения (1) будет тем самым доказана. Далее из уравнения (г) и равенства (1), следует, что 
Ответ: 
Комментарий: система уравнений в задаче – это покомпонентная запись матричного равенства:
Хорошо известно, что если произведение двух матриц равно единичной, то такие матрицы коммутируют, а значит система уравнений в задаче останется справедливой, если в ней все ai заменить на bi и наоборот. Из этого наблюдения равенство (1) следует немедленно.
Найдите все точки плоскости (x, y) координаты которых удовлетворяют соотношению
Поскольку
и
то рассмотрев все участки, получим для первого соотношения:
и для второго соотношения:
Эти два набора точек пересекаются в двух местах: в квадрате, где 
и 
получаем систему
Вторая точка пересечения при 
определяется решением системы
Эти системы приводят к уравнениям 4 порядка, которые можно решить методом Кардано.
Найдите решение системы
Рассмотрим систему с такими же коэффициентами, но без степеней. Сложим первое уравнение с четвертым, а второе — с третьим.
Откуда 
и 
Подставляя в предыдущую систему, имеем
Следовательно, 
и 
далее, 
и 
Теперь, чтобы получить «настоящее» решение, остается вычислить корни соответствующих степеней из найденных величин.
Ответ: 
1. Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.
2. Задача оценивается по
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.
Негрубые ошибки — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки.
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
3. Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.
4. По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.
5. Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.
Усеченной разностью чисел x и y называется операция результат которой равен обычной разности если 
и нулю, если 
Решите систему уравнений:
Первое уравнение системы эквивалентно неравенству 
Выразим из второго уравнения 
и подставим в неравенство. Тогда
Таким образом, система имеет бесконечное количество решений, лежащих на луче
Если решать начальное неравенство относительно y, то получится альтернативная запись ответа
Ответ: 
1. Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.
2. Задача оценивается по
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.
Негрубые ошибки — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки.
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
3. Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.
4. По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.
5. Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.
Усеченной разностью чисел x и y называется операция результат которой равен обычной разности если и нулю, если Решите систему уравнений:
Первое уравнение системы эквивалентно неравенству 
Выразим y из второго уравнения 
и подставим в неравенство.
Таким образом, система имеет бесконечное количество решений, лежащих на луче
Если решать начальное неравенство относительно y, то получится альтернативная запись ответа
Ответ: 
1. Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.
2. Задача оценивается по
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.
Негрубые ошибки — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки.
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
3. Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.
4. По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.
5. Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.
Решите систему уравнений:
(Р. Алишев)
Рассмотрим функцию
Она приводится к виду
Очевидно, что 
и равенство достигается только в точке 
Если сложим левые и правые стороны нашей системы, то получим уравнение
которая имеет решение только при 
Ответ: 
Найти все решения системы уравнений в действительных числах:
Вычтем второе уравнение из первого, третье из второго, четвёртое из третьего, первое из четвёртого, разложим каждую разность на множители и получим:
Из второго равенства 
поэтому из четвёртого равенства 
Из первого и третьего равенств 
и 
откуда 
Подставим найденные выражения в первое и второе уравнения исходной системы, получим 
откуда 
Таким образом, получаем единственное решение системы: (1, 0, −1, 2).
Ответ: (1, 0, −1, 2).
Угадан ответ с проверкой: 1 балл. Сделаны вычитания уравнений и решение доведено до стадии 
...:
ещё 1 балл.
Про положительные числа a, b, c известно, что
и 
Докажите, что 
Рассмотрим равенство
Заметим, что если 
то 
и равенство
выполняется, так как обе его части будут равны нулю. Поэтому в дальнейшем рассматриваем случай 
Раскроем скобки в первом равенстве и преобразуем его к виду
или
Аналогично, преобразуем равенство
к виду
Перемножим два полученных равенства и получим
Если 
то равенство
равносильно
Поскольку 
то значит, 
откуда 
и условие задачи не выполняется. Поэтому 
и можно сократить обе части равенства (*) на 
В итоге получаем
что равносильно
| Полное решение | 20 баллов |
| Отсутствие решения | 0 баллов |
Решите систему уравнений в действительных числах
Применим дробную часть к обеим частям каждого уравнения, используя тождество 
Получаем, что 
и 
Сложим первое со вторым и вычтем третье, получим, что 
Отсюда либо 
либо 
В первом случае получаем, что 
и 
когда дробные части чисел известны, целые части однозначно извлекаются из уравнений: получаем 
Во втором случае получаем 
и 
тогда 
Осталось заметить, что обе полученные тройки подходят в исходную систему.
Ответ: 
либо
Найдены оба решения (в решении есть понимание того, что случаев два), но в результате арифметической ошибки одно из них неправильное — 6 баллов.
Найдены оба решения (в решении есть понимание того, что случаев два), но арифметические ошибки не позволили найти ни один правильный ответ — 4 балла.
Получено только одно решение — 3 балла.
Установлено, что сумма дробных частей a и c равна 1, но к решению это не приводит — 2 балла.
либо Пусть x и y удовлетворяют системе:
Вычислить, какое наименьшее значение может принимать выражение 
Система неравенств на плоскости задает внутренность треугольника с вершинами A(1; 8), B(7; 5) и C(6; −2).
откуда 
Ответ: 4.
Профессор А. С. Климчик предлагает вам решить следующую задачу:
Дана система уравнений, описывающая положение и ориентацию исполнительного механизма робота на плоскости вида
Найдите конфигурацию 
для заданного положения и ориентации 
а также известных a, b, c. При каких a, b, c задача имеет решение?
Professor A. Klimchik suggests you the following problem:
A system of equations is given that describes the position and orientation of the robot’s actuator on the plane
Find the configuration for a given position and orientation 
as well as known a, b, c. For what a, b, c does the problem have a solution?
Изобразим на координатной плоскости трехзвенный манипулятор (звенья длин |a|, |b|, |c|), первое звено AB которого — отрезок с началом в 
а третье — отрезок с концом 
Тогда 
—
—
(третье звено манипулятора) образует известный угол γ — таким образом, точка C имеет координаты
Изобразим окружность ωC с центром в точке C и радиусом |b|.
Количество общих точек окружностей ωA и ωC равно количеству решений задачи. Задача не имеет решений, если треугольника (пусть и вырожденного) со сторонами |AC|, |a|, |b| не существует. Найдем одно из решений задачи. Рассмотрим треугольник ABC (BC — второе звено манипулятора). В нем 
и
Зная стороны треугольника, найдем его углы (используя теоремы синусов и косинусов). Так,
причем
Аналогично,
Наконец, 
We represent on the coordinate plane a three-link manipulator (links of lengths |a|, |b|, |c|), the first link AB of which is a segment with the origin at and the third one is a segment with the end Then 
is the angle formed by the first link and the x axis, 
and 
are the angles between the first and second, and the second and third links of the manipulator, respectively, and 
is the angle between the directed third link and the positive direction of the x axis. Draw circles ωA and ωD with centers at points A and D and radii |a| and |c|, respectively. The vector (the third link of the manipulator) forms the known angle γ — thus the point C has coordinates
Draw the circle ωC centered at C with radius of |b|. The number of common points of the circles ωA and ωC is equal to the number of solutions to the problem. The problem has no solutions if a triangle (even if it has angle of 0) with sides |AC|, |a|, |b| does not exist.
Let's find one of the solutions to the problem. Consider triangle ABC (BC is the second link of the manipulator). In it and
Knowing the sides of the triangle, we find its angles (using al-Kashi's theorem and law of sines). So,
and
Similarly,
Finally, 
Ответ: 
Описание системы баллов за решение задач
I. Первичная оценка решения каждой задачи выставляется по 5-балльной шкале, где
0 — задача не решена или решена неверно из-за грубых ошибок в рассуждениях;
1 — задача решена неверно, но присутствует плодотворная идея, применимая для решения задачи;
2 — задача решена неверно, но присутствует и частично применена плодотворная идея, достигнут некоторый прогресс в решении;
3 — задача решена частично либо полностью, но с существенными арифметическими ошибками при наличии правильного хода рассуждений;
4 — задача решена верно, но с незначительными ошибками;
5 — задача полностью решена.
II. Для каждой задачи вычисляется средний балл (M) по результатам ее решения всеми участниками.
III. Весовой коэффициент (K) каждой задачи вычисляется по простой формуле:
Таким образом, весовой коэффициент задачи может изменяться в пределах от 1 до 10 в зависимости от среднего балла участников за эту задачу.
IV. Балл каждого участника за каждую задачу умножается на весовой коэффициент этой задачи.
V. Баллы, набранные участником, суммируются с округлением до ближайшего целого в большую сторону.
Specification of the score system
I. Pre-score of the solution to each problem is set on a 5-point scale, where
0 — a task was not solved or solved incorrectly due to gross reasoning blunder;
1 — a task was solved incorrectly but there is a fruitful idea that can be used to solve the task;
2 — a task was solved incorrectly but a fruitful idea is present and partially applied, some progress has been made in the solution;
3 — a task was solved partially or completely but with significant arithmetic errors in the presence of the correct line of reasoning;
4 — a task was solved correctly but with minor errors;
5 — a task was solved completely.
II. An average score (M) is calculated based on the results of all participants for each task.
III. The weighting factor (K) of each task is calculated using a simple formula:
Thus, the weighting coefficient of a task can vary from 1 to 10 , depending on the average score of the participants for this task.
IV. Each participant's score for each task is multiplied by the weighting factor of that task.
V. The points scored by the participant are summed and rounded up to the nearest integer.
Придумайте какую-нибудь систему из двух уравнений с двумя неизвестными x и y, чтобы ее решениями были только следующие три пары чисел: 
и 
В записи уравнений системы, помимо чисел и собственно неизвестных x и y, разрешается использовать скобки, знак =, стандартные арифметические операции и элементарные функции.
Например,
Решить систему уравнений:
Преобразуем исходную систему:
где x, y — корни уравнения. Тогда
Для существования решения 
Тогда 
то есть 
Ответ: 
Решите систему уравнений
Отметим, что числа x, y, z одного знака, при этом если т ройка (x; y; z) — решение системы, то (–x; –y; –z) также решение.
Пусть числа x, y, z положительны. Из неравенства о средних 
следует, что 
Следовательно, каждое из чисел числа x, y, z не больше 
Перемножив все уравнения системы, получим
Но сумма любых двух из чисел 
не превосходит 1. Следовательно, 
Значит, 
Так как 
Ответ: 
Докажите, что система уравнений не имеет решений:
Заметим, что
что противоречит третьему равенству системы. Что требовалось доказать.
Последовательность целых чисел такова, что 
и 
для всех натуральных n от 1 до 100. Какое наименьшее положительное значение может принимать выражение 
Возведём в квадрат соотношения для всех натуральных n от 1 до 100.
Складывая эти равенства, получим
то есть 
Заметим, что числа последовательности (xn) с нечётными номерами n принимают только нечётные значения, а с чётными номерами n — только чётные значения. Поэтому положительный минимум выражения S достигается в том случае, когда слагаемое 
— ближайшее к 100 чётное число. Число 100 находится между квадратами чётных чисел 
и 
причём 
Значит, наименьшее положительное значение S будет равно 
если удастся доказать, что квадрат числа 
может равняться 
Покажем один из способов построения последовательности (xn) для которой этот случай возможен. Выберем
Тогда 
и, значит, 
Ответ: 18.
Решите для положительных 
Solve for positive
Согласно неравенству Коши, для положительных a, b выполнено 
причем равенство достигается при 
Значит, 
и равенство достигается при 
Складывая уравнения исходной системы, получим
где 
то есть 
Левая часть полученного равенства не меньше 12 · 2021 согласно неравенству Коши, а правая не больше 21 · 2021. Значит, для достижения равенства необходимо 
что дает 
Легко убедиться, что указанные значения переменных подходят.
According to the Cauchy inequality, 
holds for positive a, b, and the equality holds for Thus, and equality holds for By adding the equations of the original sestem we get
with The left side of the obtained equality is not less than 12 · 2021 according to the Cauchy inequality, and the right side is not more than 21 · 2021. This means that to achieve equality we need which gives It is easy to verify that the specified variable values are appropriate.
Ответ: 
Сколько решений имеет система уравнений
Рассмотрим функцию 
Тогда система эквивалентна следующей
Количество решений этой системы совпадает с количеством различных решений уравнения 
Если 
то решений уравнение не имеет, поскольку 
При 
функция f(x) возрастает, и 
для 
Следовательно,
уравнение 
не имеет решений при Рассмотрим это уравнение при 
График функции 
имеет два перехода от 0 до 2 и обратно, уравнение 
будет иметь 4 решения. График функции 
имеет 8 переходов от 0 до 2 и обратно, уравнение 
будет иметь 16 решений. График функции 
имеет 32 перехода от 0 до 2 и обратно, уравнение 
будет иметь 64 решения.
График функции 
имеет 128 переходов от 0 до 2 и обратно, уравнение 
будет иметь 256 решений.
Ответ: 256.
Сколько решений имеет система уравнений
Рассмотрим функцию 
Тогда система эквивалентна следующей
Количество решений этой системы совпадает с количеством различных решений уравнения Если 
то решений уравнение не имеет, поскольку 
При функция f(x) возрастает, и для Следовательно,
уравнение не имеет решений при Рассмотрим это уравнение при 
График функции имеет два перехода от 0 до 4 и обратно, уравнение будет иметь 4 решения. График функции
имеет 8 переходов от 0 до 4 и обратно, уравнение будет иметь 16 решений. График функции имеет 32 перехода от 0 до 4 и обратно, уравнение будет иметь 64 решения.
График функции имеет 128 переходов от 0 до 4 и обратно, уравнение будет иметь 256 решений.
Ответ: 256.
Наверх