Всего: 134 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Числа P1, . . . , Pn являются перестановкой набора чисел {1, . . . , n} (то есть каждое Pi равно одному из 1, . . . , n, и все Pi различны). Докажите неравенство:
По неравенству о среднем арифметическом и среднем гармоническом имеем:
В нашем случае слагаемых 
Сумма в знаменателе содержит каждое из чисел 1, . . . , n по два раза, кроме двух чисел, которые в ней участвуют по одному разу. Тогда эта сумма меньше 
Отсюда:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Неравенство полностью доказано. | 20 |
| Доказано нестрогое неравенство. | 17 |
| Рассмотрена идея использования неравенства между средним арифметическим и среднем гармоническим. | 6 |
| Неверный переход в доказательстве по индукции ИЛИ решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |
Числа P1, . . . , Pn являются перестановкой набора чисел {1, . . . , n} (то есть каждое Pi равно одному из 1, . . . , n, и все Pi различны). Докажите неравенство:
По неравенству о среднем арифметическом и среднем гармоническом имеем:
В нашем случае слагаемых Сумма в знаменателе содержит каждое из чисел 1, . . . , n по два раза, кроме двух чисел, которые в ней участвуют по одному разу. Тогда эта сумма меньше Отсюда:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Неравенство полностью доказано. | 20 |
| Доказано нестрогое неравенство. | 17 |
| Рассмотрена идея использования неравенства между средним арифметическим и среднем гармоническим. | 6 |
| Неверный переход в доказательстве по индукции ИЛИ решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |
Найти все целые положительные решения уравнения 
Перепишем уравнение в виде 
Преобразовывая правую часть, получим 
Последняя дробь будет целым числом при n = 3 и n = 8, но последнее число не является решением (подставьте!).
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Приобретение лишних решений. | 4 |
| Угадан и проверен ответ. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Найти x и y, которые удовлетворяют следующему уравнению:
Пусть
Тогда 
и исходное уравнение примет вид
Рассматривая последнее уравнение как квадратное относительно v, и учитывая не отрицательность дискриминанта, 
Тогда 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите систему
Рассмотрим неравенство системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
и 
Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки посчитать знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке выражение 
положительно, а 
отрицательно. Таким образом, неравенство принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит область, лежащая выше прямой 
и ниже прямых и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге в точках 
Рассмотрим уравнение системы. При 
и 
оно принимает вид
и мы получаем окружность радиуса 5 с центром в точке (3; 4) (точнее её часть, лежащую в первой четверти). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на (−x) и/или y на (−y), множество точек, заданное уравнением системы, симметрично относительно обеих осей координат. Отражая полученную дугу относительно обеих осей координат и точки (0; 0), получаем искомое множество. Обратите внимание, что оно состоит из четырёх дуг окружностей и начала координат.
Теперь становится видно, что множества имеют ровно две общие точки — т. е. система имеет два решения (0; 0) и (6; 0).
Ответ: (0; 0) и (6; 0).
Изображено множество точек, удовлетворяющих неравенству системы — 3 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат не более 2 баллов за задачу.
Изображено множество точек, удовлетворяющих уравнению системы — 2 балла.
Если при этом потеряно начало координат, то 1 балл вместо 2 баллов.
Неверный ответ вследствие неарифметической ошибки — не более 4 баллов за задачу.
Решите систему
Рассмотрим неравенство системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
и 
Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки посчитать знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке выражение 
положительно, а 
отрицательно. Таким образом, неравенство принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит область, лежащая выше прямой 
и ниже прямых и Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем квадрат K с вершинами в точках 
и 
(см. рисунок).
Рассмотрим уравнение системы. При и оно принимает вид
и мы получаем окружность радиуса 13 с центром в точке (5; 12) (точнее её часть, лежащую в первой четверти). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на 
и/ или y на (−y), множество точек, заданное уравнением системы, симметрично относительно обеих осей координат. Отражая полученную дугу относительно обеих осей координат и точки (0 ; 0), получаем искомое множество. Обратите внимание, что оно состоит из четырёх дуг окружностей и начала координат.
Теперь становится видно, что множества имеют ровно две общие точки — то есть система имеет два решения (0; 0) и (−10; 0).
Ответ: (0; 0) и (−10; 0).
Изображено множество точек, удовлетворяющих неравенству системы — 3 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат не более 2 баллов за задачу.
Изображено множество точек, удовлетворяющих уравнению системы — 2 балла.
Если при этом потеряно начало координат, то 1 балл вместо 2 баллов.
Неверный ответ вследствие неарифметической ошибки — не более 4 баллов за задачу.
Решите неравенства:
а) 
б) 
в) Найдите все такие целые k, что уравнение 
не имеет решений.
а) Неравенство определено при 
и при таких x можно домножить его на 
и возвести потом в квадрат (обе части будут неотрицательны)
Корнями уравнения 
будут 
поэтому множеством решения неравенства будут 
Ясно, что 
поэтому учитывая условие 
получим окончательный ответ 
Ответ: 
б) Найдем область определения неравенства. Требуется выполнение следующих условий: 
и 
Последнее условие дает 
и 
Вместе с первыми получим область определения 
Теперь преобразуем неравенство и сделаем замену 
тогда 
и
Неравенство примет вид
С помощью метода интервалов получим ответ 
Отсюда 
где 
Поскольку все такие x входят в ОДЗ неравенства, это и есть окончательный ответ.
Ответ: 
в) Преобразуем уравнение
Обозначим 
тогда уравнение примет вид 
и нам нужно, чтобы это уравнение не имело корней на промежутке 
Для этого достаточно, чтобы были положительны значения в концах этого отрезка и при 
если 
то есть при 
Подставляя 
получим 
т. е. 
где 
Подставляя 
получим 
т. е. 
где 
Подставляя 
получим
Первым двум условиям удовлетворяют 
При этом для 
этих условий достаточно. Для прочих k еще нужно выполнение условий 
поэтому 
не подходит. Окончательно 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Решите неравенство 
в) Докажите, что не существует прямых, касающихся графика функции 
в двух разных точках.
а)Преобразуем неравенство
Поскольку знак выражения 
совпадает со знаком выражения 
можно записать неравенство в виде
Первый множитель положителен при 
отрицателен при 
и равен нулю при 
Второй множитель, 
представляет собой убывающую функцию (
убывает, x возрастает, равную нулю при 
поэтому он положителен при 
и отрицателен при 
а при 
он не определен. Нужно, чтобы множители имели одинаковый знак, поэтому ответом будет 
Ответ:
б) Обозначим 
тогда
Поскольку 
тогда 
Поделим на него 
получим 
или 
В первое неравенство годятся только x, при которых 
то есть 
Неравенство 
имеет решения
при 
Окончательно 
Ответ: 
в) Если бы такая прямая существовала, то ее угловой коэффициент был бы равен значению производной функции 
в двух различных точках. Поскольку
квадратный трехчлен, его значения одинаковы в точках, симметричных относительно 
Допустим это точки 
причем 
Тогда уравнения касательных будут
и, аналогично, 
Тогда получим
Поскольку 
можно разделить на 
тогда
Значит 
и 
должны быть корнями уравнения
Но это уравнение можно записать в виде 
поэтому у него нет двух различных корней. Кубический многочлен не может делиться 
—
Теорема. Пусть 
— многочлен и 
Тогда делится на 
Действительно, так как 
то 
где 
— многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем 
откуда 
значит, 
и 
Следствие. Если прямая, заданная уравнением 
касается графика многочлена в точке 
то разность 
делится на
Докажем теперь, что график многочлена четвертой степени имеет не более одной прямой, касающейся его в двух различных точках. Если прямая 
(
— линейная функция) касается графика 
в точках с абсциссами 
и 
то разность 
делится на 
значит,
где 
— квадратный трехчлен. Пусть 
— еще одна двойная касательная. Тогда 
откуда
Если 
то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
a) Решите неравенство 
б) Решите неравенство 
в) Найдите все прямые, касающиеся графика функции 
в двух различных точках.
Два первых пункта этой задачи абсолютно стандартны.
а) Решите неравенство 
Ответ: 
б) После замены 
и обычных преобразований получаем неравенство 
значит, (учитывая, что 
или 
Ответ: 
в) Решение задачи этого пункта уже не является стандартным. Целесообразно записать
График 
касается оси абсцисс в точках 
и 
(см. рис.), поэтому график данной функции касается прямой 
в точках с такими же абсциссами. Этот факт очевиден с геометрической точки зрения. Пусть два графика имеют общую касательную. Если добавить к каждой из данных функций одно и то же слагаемое, то новые графики также будут иметь общую касательную. Приведем в нашем случае и формальное доказательство.
Пусть 
и 
Имеем: 
и 
поэтому 
Остается открытым вопрос о единственности такой «двойной» касательной. С геометрической точки зрения все очевидно, достаточно взглянуть на эскиз графика функции g (см. рис.). Для аккуратного доказательства единственности следовало бы использовать выпуклость этого графика, поэтому мы изберем другой, алгебраический, подход.
Поскольку утверждение, которое мы сейчас докажем, имеет общий характер, сформулируем его в виде теоремы.
Теорема. Пусть — многочлен и Тогда делится на
Действительно, так как то где — многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем откуда значит, и
Следствие. Если прямая, заданная уравнением касается графика многочлена в точке то разность делится на (Попробуйте доказать это следствие самостоятельно).
Докажем теперь, что график многочлена четвертой степени имеет не более одной прямой, касающейся его в двух различных точках.
Если прямая ( — линейная функция) касается графика в точках с абсциссами и то разность делится на значит,
где — квадратный трехчлен. Пусть — еще одна двойная касательная. Тогда откуда
Если то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке 
в) Решите уравнение 
а) Решение стандартно, геометрическая интерпретация — на рисунке.
Ответ: 
б) После разложения на множители получаем, что
или 
откуда 
при Осталось определить те решения, которые попадают в указанный отрезок, для чего удобно рассмотреть график функции 
при 
(см. рисунок).
Ответ: 
при любых a, 
при 
при 
в) Так как
то 
Это уравнение имеет очевидное решение осталось доказать, что других решений у него нет. Заметим, что в обеих частях этого уравнения стоят возрастающие функции, поэтому прямая ссылка на монотонность недоказательна, однако ясно (доказательство — далее), что 
«растет быстрее», чем 
Действительно,
при значит, функция 
возрастает на 
и более одного нуля не имеет. Если 
Ответ: 1.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любых a, при при 1.а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке 
в) Решите уравнение 
а) Преобразуем неравенство 
т. е. 
При 
получаем неравенство 
или 
У многочлена в левой части есть корень поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Оба множителя неотрицательны при 
поэтому подходит только 
При 
получаем неравенство 
то есть 
или 
Второй множитель всегда положителен, значит, 
Окончательно 
Ответ:
б) Преобразуем уравнение
Второй множитель дает
Если же нулю равен первый множитель, то
Функция 
на отрезке 
убывает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
а на промежутке 
возрастает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
Теперь можно написать ответ. При 
и при 
решений нет. При 
получим 
При 
получим 
поэтому уравнение имеет два корня, а именно 
и 
откуда 
При 
получим 
поэтому уравнение имеет один корень, а 
Осталось добавить корень 
везде, где его еще нет и можно написать окончательный ответ. При одно решение При одно решение При три решения 
и При 
два решения
(не сошлось с ответом, стоит проверить!)
Ответ: 
при любом b, 
при 
при 
в) Преобразуем уравнение 
или 
Поделив на 
получим 
откуда 
Функция в левой части уравнения возрастает, а в правой — убывает, поэтому их графики пересекутся не более одного раза. Один корень можно угадать, это
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любом b, при при а) Решите неравенство 
б) Верно ли, что при всех 
справедливо неравенство 
в) Изобразите на координатной плоскости множество всех точек 
таких что уравнение 
)
а) Ответ: 
б) Данное неравенство можно, к примеру, преобразовать к виду
Осталось решить неравенство
с 
и 
Ответ: Да, верно.
в) Действительно, поскольку график функции 
есть верхняя половина гиперболы, то при 
прямая 
пересекается с этим графиком тогда и только тогда, когда 
Если же 
то они пересекаются при 
Ответ: 
или 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Да, верно. или а) Решите неравенство 
б) Найдите все числа 
для которых верно неравенство 
в) Изобразите на координатной плоскости множество всех точек 
таких что уравнение 
)
Ответ: а) 
б) 
в) 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) Решите неравенство
Так ОДЗ неравенства определяется условием
С помощью метода интервалов получаем 
На промежутке 
левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, поэтому оно выполняется.
Рассмотрим промежуток 
Тогда обе части неравенства неотрицательны, и их можно возвести в квадрат:
Так как рассматриваются значения x, большие 2, то знаменатель дроби отрицателен - можно умножить на него обе части неравенства и поменять знак. Кроме того, модуль можно опустить. Получаем
Одним из корней многочлена в левой части является 
Выделяем множитель 
и тогда неравенство принимает вид
откуда 
Значит, в этом случае 
и окончательно 
Ответ: 
За каждый из случаев 
— по 3 балла.
Неэквивалентные преобразование — 0 баллов за задачу или рассматриваемый случай.
Ответ отличается от верного конечным числом точек — снять 1 балл.
Решите неравенство
Так ОДЗ неравенства определяется условием
С помощью метода интервалов получаем 
На промежутке 
левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, поэтому оно выполняется.
Рассмотрим промежуток 
Тогда обе части неравенства неотрицательны, и их можно возвести в квадрат:
Так как рассматриваются значения x, большие 3, то знаменатель дроби положителен — можно умножить на него обе части неравенства. Кроме того, модуль можно опустить. Получаем
Одним из корней многочлена в левой части является 
Выделяем множитель 
и тогда неравенство принимает вид
откуда 
Значит, в этом случае 
и окончательно 
Ответ: 
За каждый из случаев 
и — по 3 балла.
Неэквивалентные преобразование — 0 баллов за задачу или рассматриваемый случай.
Ответ отличается от верного конечным числом точек — снять 1 балл.
Решите неравенство
Перепишем неравенство в виде
Сгруппировав первый член с третьим, а второй — с четвёртым, раскладываем левую часть неравенства на множители:
Далее возможны два случая:
Ответ: 
Грубая ошибка в работе с логарифмами (неверная формула; не рассмотрены случаи основание > 1, основание < 1 для неравенства и т. п. — 0 баллов за все дальнейшие действия (или за рассматриваемый случай).
Получено верное неравенство относительно 
(или 
и т. д.) — 2 балла.
Получено верное решение этого неравенства относительно t — 2 балла.
Совершен верный возврат к переменной x — 2 балла. (Если при этом не учтено ОДЗ, то эти 2 балла не ставятся!)
При другом способе решения. Левая часть разложена на множители 
—
За рассмотрение каждого из случаев 
или 
— по 2 балла.
Если при этом в одном из случаев нестрогие неравенства заменены строгими (что, например, может привести к потере изолированной точки), то снять 1 балл.
Решите неравенство
Перепишем неравенство в виде
Сгруппировав первый член с третьим, а второй — с четвёртым, раскладываем левую часть неравенства на множители:
Далее возможны два случая:
Объединяя результаты, получаем 
Ответ:
Грубая ошибка в работе с логарифмами (неверная формула; не рассмотрены случаи основание > 1, основание < 1 для неравенства и т. п. — 0 баллов за все дальнейшие действия (или за рассматриваемый случай).
Получено верное неравенство относительно (или и т. д.) — 2 балла.
Получено верное решение этого неравенства относительно t — 2 балла.
Совершен верный возврат к переменной x — 2 балла. (Если при этом не учтено ОДЗ, то эти 2 балла не ставятся!)
При другом способе решения. Левая часть разложена на множители —
За рассмотрение каждого из случаев или — по 2 балла.
Если при этом в одном из случаев нестрогие неравенства заменены строгими (что, например, может привести к потере изолированной точки), то снять 1 балл.
Решите уравнение
Логарифмируя по основанию 3, получаем уравнение, равносильное исходному:
Обозначим 
и 
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых уравнение принимает вид
Решаем квадратное уравнение относительно y:
Находим x: если 
то 
и 
если 
то 
и 
Ответ: 
Уравнение приведено квадратному относительно логарифма по постоянному основанию — 3 балла.
Получен ответ в неупрощенном виде — 1 балл.
Получен ответ в упрощенном виде — 4 балла.
Уравнение приведено к виду 
или 
— 3 балла.
Если при таком способе решения рассмотрен только один из двух случаев 
или 
— 1 балл.
Решите уравнение
Логарифмируя по основанию 2, получаем уравнение, равносильное исходному:
Обозначим 
и 
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых уравнение принимает вид
Решаем квадратное уравнение относительно y:
Находим x : если 
то 
и 
если 
то 
и 
Ответ: 
Уравнение приведено квадратному относительно логарифма по постоянному основанию — 3 балла.
Получен ответ в неупрощенном виде — 1 балл.
Получен ответ в упрощенном виде — 4 балла.
Уравнение приведено к виду или — 3 балла.
Если при таком способе решения рассмотрен только один из двух случаев или —
Найдите наименьшее из решени неравенства:
Обозначим 
Тогда, с учетом условия 
исходное неравенство можно переписать в виде
Для функции 
имеем
точкой глобального минимума функции 
будет 
и
Для функции 
очевидно, справедливо 
Таким образом, при всех допустимых x выражения
лежат в множестве 
на котором функция 
убывает и отрицательна. Тогда
при всех допустимых x, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
которое, в свою очередь, эквивалентно системе
Первое неравенство этой системы из-за отрицательности выполнено при всех допустимых x, второе из-за ее убывания равносильно неравенству
Его можно переписать в виде 
что эквивалентно системе
решениями которой будут 
Ответ: 
Наверх