Всего: 84 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
для некоторых целых чисел x и y. Строго обоснуйте ответ.
По модулю 4 или 0 или 3. 3 может быть: 
Возьмём любое простое число p и докажем, что степень его вхождения в z делится на 3. Понятно, что из этого следует, что z является кубом целого числа.
равно k, если n делится на pk и не делится на pk+1 (будем считать, что 
). Сгруппируем слагаемые:
на 3. 
Тогда z2 делится на p6k+2, а степень p, на которую делится x3, делится на 3. Таким образом, два слагаемых в левой части и правая часть делятся на попарно разные степени p, так как остатки этих степеней по модулю 3 различны (так как 
и 
не делятся на p). Тогда равенство не может быть выполнено. В случае 
аналогично равенство не может быть выполнено. Значит, остаётся только случай, где По координатной плоскости, стартуя в начале координат, прыгает кузнечик. Первый прыжок длины один см направлен вдоль оси ОХ, каждый следующий прыжок на 1 см длиннее предыдущего, и направлен перпендикулярно предыдущему в одну из двух сторон по его выбору. Сможет ли кузнечик после сотого прыжка оказаться в начале координат?
известно, что все они — различные простые числа. Найти все значения, которые может принимать наименьшее из этих семи чисел.
Если два из них равны, а третье имеет противоположный знак, то на 3 будет будет делиться одно из чисел 
В обоих случаях одно из семи чисел делится на 3 и по предположению больше 3, что противоречит его простоте. Следовательно, минимальное из семи чисел в условии может быть равно только 3. Пример таких чисел: 
Сначала шарики были разложены по нескольким белым и чёрным коробкам так, что в каждой белой было по 31 шарику, а в каждой чёрной — по 26 шариков. Затем принесли ещё три коробки и разложили шарики так, что в каждой белой коробке стало по 21 шарику, а в каждой чёрной — по 16 шариков. Можно ли принести ещё несколько коробок и разложить шарики так, чтобы в каждой белой коробке стало по 15 шариков, а в каждой чёрной — по 10 шариков?
Чётное число 2N > 2 называется подходящим, если оно делится на модуль разницы между наибольшим из своих чётных делителей, отличных от 2N, и наибольшим из своих нечётных делителей. Сколько существует подходящих чётных чисел, не превосходящих 2018?
что возможно только при условии k = 2. Если k = 1 и m = ps, где p минимальный простой нечетный делитель m, то 2ps делится на 2s − ps = (2 − p)s, откуда имеем p−2|p, значит, p = 3. Число N или имеет остаток 2 по модулю 4 или имеет остаток 3 по модулю 6. Тем самым число 2N является подходящим, если число N может иметь остаток 2, 3, 6, 9, 10 по модулю 12. Это значит, что в каждом ряду из 12 последовательных четных чисел ровно пять подходящих. Используя равенство 2018 = 2 · (12 · 84 + 1), получаем ответ 420 = 5 · 84.Последовательность чисел τ (1), τ (2), ..., τ (n) называется перестановкой длины n, если каждое из
• Числа τ (i) − i для всех i от 1 до n включительно имеют попарно различные остатки от деления на n.
• Числа τ (i) − 2i для всех i от 1 до n включительно имеют попарно различные остатки от деления на n.
• Числа τ (i) − 3i для всех i от 1 до n включительно имеют попарно различные остатки от деления на n.
• Числа τ (i) − 4i для всех i от 1 до n включительно имеют попарно различные остатки от деления на n.
все остатки различны. Индекс j пробегает значения 
и 
Предположим обратное, зафиксируем наименьшее такое p и обозначим через k максимальную степень p, на которую делится n.
по модулю n. Посчитаем двумя способами остаток суммы 
по модулю n. С одной стороны, все слагаемые дают разные остатки, значит, сумма 
С другой стороны, по тем же соображениям у суммы отдельно 
такой остаток, и у суммы 
такой же, значит, их разность имеет остаток 0. Заметим, что 
не делится на 2k. Предположение приведено к противоречию.
обозначим
и 
Достаточно доказать этот факт для 
поскольку 
рассмотрим сумму
Итак, мы хотим найти такой набор αj, чтобы домножив на него сравнимости 
и сложив мы смогли бы прийти к противоречию. Сделать это поможет вторая лемма.
то по Лемме 2 перед каждым членом коэффициент, равный нулю по модулю pk. Тогда:
видим, что все члены вида 
сократились с правой частью, итак
). Тогда числа с номерами 8k + 1, . . . , 8k + 8 будут иметь следующие остатки: a, a, 2a, 3a, 5a, a, 6a, 0.
на 9.
делится на 9, а 20 дает остаток 2. Тогда 
дает остаток 1 и 
даёт такой же остаток, что 
определите, у скольких из чисел 1, 5, 25, ..., 5n, ..., 5100 десятичная запись начинается с единицы.
лежащего на отрезке 
состоит из 70 цифр и, вследствие неравенства 100,8 · 1069 > 2 · 1069, начинается не с единицы. Заметим, что при любом натуральном k среди k-значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы степень пятёрки. Поэтому записи ровно 70 чисел из набора {1, 5, 25, ..., 5n, ..., 5100} начинаются с цифр, отличных от единицы. С единиц же начинаются записи остальных 101 − 70 = 31 чисел.
даёт такой же остаток при делении на 3, что и 
Таким образом,
Аналогично переходим к 
Докажите, что при n = 3002 сумма биномиальных коэффициентов с шагом 6, то есть 
дает остаток 1 при делении на 3. Где 
— количество способов выбрать из n предметов k, что составляет 
если 
и 0 в остальных случаях.
Таким образом, 
Аналогично переходим к 
В пространстве расположен куб 
с вершиной в начале координат и гранями, параллельными координатным плоскостям. Из начала координат проведены векторы во все целочисленные точки внутри и на гранях куба. Найдите остаток от деления суммы длин всех этих векторов на 13.
В пространстве расположен куб с вершиной в начале координат и гранями, параллельными координатным плоскостям. Из начала координат проведены векторы во все целочисленные точки внутри и на гранях куба. Найдите остаток от деления суммы длин всех этих векторов на 11.
а) Какое из чисел больше, 
или 
б) Представьте число 1997 в виде суммы нескольких натуральных слагаемых с максимально возможным произведением.
в) Докажите, что произведение нескольких положительных чисел, сумма которых равна 1997, не превосходит 
поэтому второе число больше. 
Идея рассуждения: если 
где 
то 
(докажите это). Поэтому произведение 
в котором хотя бы одно из чисел ni больше четырех, не может быть наибольшим. Так как 
то четверки можно из рассмотрения исключить. Таким образом, наибольшее произведение натуральных чисел с заданной суммой следует искать среди произведений двоек и троек. Осталось заметить, что в силу утверждения предыдущего пункта двоек должно быть как можно меньше. 
которое, в свою очередь, не превосходит наибольшего значения функции 
(при 
). Дифференцируя, получаем 
равно 
(здесь мы воспользовались тем, что 
).
откуда получаем линейное диофантово уравнение 
Легко подбирая частное решение 
получаем общее решение в виде 
Перебирая 
получим все искомые числа 
Перебирая 
получим все искомые числа {13; 23; 43; 58; 73; 88}.
(P − 1) (P строк и P − 1 столбец) так, чтобы у каждого числа остаток от деления на P был таким же, как и у суммы соседних с ним по стороне чисел.
Чему может быть равно P?
то P не может быть больше 5. Нетрудно заметить, что среди 
подходит только 
а его сосед из второй строчки 
Далее из условия на сумму мы получаем очередное число первой строки, из доп. условия второго пункта — очередное число второй строки. После заполнения первых двух строк остальные строки заполняется однозначно: