сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 5 6 7 8 9

Всего: 84    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Най­ди­те наи­мень­шее целое по­ло­жи­тель­ное число, пред­ста­ви­мое в виде 20x в квад­ра­те плюс 80xy плюс 95y в квад­ра­те для не­ко­то­рых целых чисел x и y. Стро­го обос­нуй­те ответ.


Трой­ка целых чисел (x, y, z), наи­боль­ший общий де­ли­тель ко­то­рых равен 1, яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния

y в квад­ра­те z плюс yz в квад­ра­те = x в кубе плюс x в квад­ра­те z минус 2xz в квад­ра­те .

До­ка­жи­те, что z яв­ля­ет­ся кубом це­ло­го числа.


По ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти, стар­туя в на­ча­ле ко­ор­ди­нат, пры­га­ет куз­не­чик. Пер­вый пры­жок длины один см на­прав­лен вдоль оси ОХ, каж­дый сле­ду­ю­щий пры­жок на 1 см длин­нее преды­ду­ще­го, и на­прав­лен пер­пен­ди­ку­ляр­но преды­ду­ще­му в одну из двух сто­рон по его вы­бо­ру. Смо­жет ли куз­не­чик после со­то­го прыж­ка ока­зать­ся в на­ча­ле ко­ор­ди­нат?


Трой­ка целых чисел (x, y, z), наи­боль­ший общий де­ли­тель ко­то­рых равен 1, яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния

y в квад­ра­те z плюс yz в квад­ра­те = x в кубе плюс x в квад­ра­те z минус 2xz в квад­ра­те .

До­ка­жи­те, что z яв­ля­ет­ся кубом це­ло­го числа.


Про семь на­ту­раль­ных чисел a, b, c, a плюс b минус c, a плюс c минус b, b плюс c минус a, a плюс b плюс c из­вест­но, что все они  — раз­лич­ные про­стые числа. Найти все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать наи­мень­шее из этих семи чисел.


Сна­ча­ла ша­ри­ки были раз­ло­же­ны по не­сколь­ким белым и чёрным ко­роб­кам так, что в каж­дой белой было по 31 ша­ри­ку, а в каж­дой чёрной  — по 26 ша­ри­ков. Затем при­нес­ли ещё три ко­роб­ки и раз­ло­жи­ли ша­ри­ки так, что в каж­дой белой ко­роб­ке стало по 21 ша­ри­ку, а в каж­дой чёрной  — по 16 ша­ри­ков. Можно ли при­не­сти ещё не­сколь­ко ко­ро­бок и раз­ло­жить ша­ри­ки так, чтобы в каж­дой белой ко­роб­ке стало по 15 ша­ри­ков, а в каж­дой чёрной  — по 10 ша­ри­ков?


Чётное число 2N > 2 на­зы­ва­ет­ся под­хо­дя­щим, если оно де­лит­ся на мо­дуль раз­ни­цы между наи­боль­шим из своих чётных де­ли­те­лей, от­лич­ных от 2N, и наи­боль­шим из своих нечётных де­ли­те­лей. Сколь­ко су­ще­ству­ет под­хо­дя­щих чётных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 2018?


По­сле­до­ва­тель­ность чисел τ (1), τ (2), ..., τ (n) на­зы­ва­ет­ся пе­ре­ста­нов­кой длины n, если каж­дое из чисел 1, 2, ..., n встре­ча­ет­ся в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти ровно один раз. На­при­мер, τ (1)  =  3, τ (2)  =  2, τ (3)  =  1  — пе­ре­ста­нов­ка длины 3. Най­ди­те все n, для ко­то­рых найдётся пе­ре­ста­нов­ка τ (1), τ (2), ..., τ (n), удо­вле­тво­ря­ю­щая четырём усло­ви­ям:

• Числа τ (i) − i для всех i от 1 до n вклю­чи­тель­но имеют по­пар­но раз­лич­ные остат­ки от де­ле­ния на n.

• Числа τ (i) − 2i для всех i от 1 до n вклю­чи­тель­но имеют по­пар­но раз­лич­ные остат­ки от де­ле­ния на n.

• Числа τ (i) − 3i для всех i от 1 до n вклю­чи­тель­но имеют по­пар­но раз­лич­ные остат­ки от де­ле­ния на n.

• Числа τ (i) − 4i для всех i от 1 до n вклю­чи­тель­но имеют по­пар­но раз­лич­ные остат­ки от де­ле­ния на n.


В по­сле­до­ва­тель­но­сти чисел Фи­бо­нач­чи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . каж­дое сле­ду­ю­щее число, на­чи­ная с тре­тье­го, равно сумме двух преды­ду­щих. До­ка­жи­те, что среди чисел Фи­бо­нач­чи нет ни одной на­ту­раль­ной сте­пе­ни числа 7.


Най­ди­те оста­ток при де­ле­нии 20 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 16 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 201 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка на 9.


Зная, что 0,698 мень­ше де­ся­тич­ный ло­га­рифм 5 мень­ше 0,699, опре­де­ли­те, у сколь­ких из чисел 1, 5, 25, ..., 5n, ..., 5100 де­ся­тич­ная за­пись на­чи­на­ет­ся с еди­ни­цы.


До­ка­жи­те, что при n  =  6002 сумма би­но­ми­аль­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов с шагом 6, то есть C_n в сте­пе­ни 1 плюс C_n в сте­пе­ни 7 плюс ... плюс C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , дает оста­ток 1 при де­ле­нии на 3. Где C_n в сте­пе­ни k  — ко­ли­че­ство спо­со­бов вы­брать из n пред­ме­тов k, что со­став­ля­ет  дробь: чис­ли­тель: n!, зна­ме­на­тель: k! левая круг­лая скоб­ка n минус k пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби , если 0 мень­ше или равно k мень­ше или равно n и 0 в осталь­ных слу­ча­ях.


Аналоги к заданию № 791: 882 Все


До­ка­жи­те, что при n  =  3002 сумма би­но­ми­аль­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов с шагом 6, то есть C_n в сте­пе­ни 1 плюс C_n в сте­пе­ни 7 плюс ... плюс C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , дает оста­ток 1 при де­ле­нии на 3. Где C_n в сте­пе­ни k  — ко­ли­че­ство спо­со­бов вы­брать из n пред­ме­тов k, что со­став­ля­ет  дробь: чис­ли­тель: n!, зна­ме­на­тель: k! левая круг­лая скоб­ка n минус k пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби , если 0 мень­ше или равно k мень­ше или равно n и 0 в осталь­ных слу­ча­ях.


Аналоги к заданию № 791: 882 Все


В про­стран­стве рас­по­ло­жен куб 1000\times 1000\times 1000 с вер­ши­ной в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и гра­ня­ми, па­рал­лель­ны­ми ко­ор­ди­нат­ным плос­ко­стям. Из на­ча­ла ко­ор­ди­нат про­ве­де­ны век­то­ры во все це­ло­чис­лен­ные точки внут­ри и на гра­нях куба. Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния суммы длин всех этих век­то­ров на 13.


Аналоги к заданию № 892: 900 Все


В про­стран­стве рас­по­ло­жен куб 1000\times 1000\times 1000 с вер­ши­ной в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и гра­ня­ми, па­рал­лель­ны­ми ко­ор­ди­нат­ным плос­ко­стям. Из на­ча­ла ко­ор­ди­нат про­ве­де­ны век­то­ры во все це­ло­чис­лен­ные точки внут­ри и на гра­нях куба. Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния суммы длин всех этих век­то­ров на 11.


Аналоги к заданию № 892: 900 Все


а)  Какое из чисел боль­ше, 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 300 пра­вая круг­лая скоб­ка или 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 200 пра­вая круг­лая скоб­ка ?

б)  Пред­ставь­те число 1997 в виде суммы не­сколь­ких на­ту­раль­ных сла­га­е­мых с мак­си­маль­но воз­мож­ным про­из­ве­де­ни­ем.

в)  До­ка­жи­те, что про­из­ве­де­ние не­сколь­ких по­ло­жи­тель­ных чисел, сумма ко­то­рых равна 1997, не пре­вос­хо­дит e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 800 пра­вая круг­лая скоб­ка .


Из­вест­но, что дву­знач­ное число при де­ле­нии на 4 дает в остат­ке 3, а при де­ле­нии на 3 дает в остат­ке 2. Най­ди­те все такие числа.


Из­вест­но, что дву­знач­ное число при де­ле­нии на 3 дает в остат­ке 1, а при де­ле­нии на 5 дает в остат­ке 3. Най­ди­те все такие числа.


Развернуть

2.1 Пусть в пер­вой стро­ке стоят по по­ряд­ку числа от 1 до P минус 1. Чему может быть равно P?


Аналоги к заданию № 2256: 2564 Все

1

2.2 Пусть P = 7, а каж­дое число во вто­рой стро­ке в три раза боль­ше сво­е­го со­се­да из пер­вой стро­ки. До­ка­жи­те, что числа в двух цен­траль­ных клет­ках де­лят­ся на 7.


Можно ли все на­ту­раль­ные числа от 1 до 2018 так рас­ста­вить по кругу, что все суммы по 8 сто­я­щих под­ряд чисел да­ва­ли раз­лич­ные остат­ки от де­ле­ния на 2018?

Всего: 84    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80