При удво­е­нии сти­пен­дии Маши общий доход семьи уве­ли­чи­ва­ет­ся ровно на ве­ли­чи­ну этой сти­пен­дии, по­это­му она со­став­ля­ет 5% от до­хо­да. Ана­ло­гич­но, зар­пла­ты мамы и папы со­став­ля­ют 15% и 25%. Зна­чит, пен­сия де­душ­ки со­став­ля­ет и если её удво­ят, то доход семьи вы­рас­тет на 55%.

Ответ: на 55%.

Пусть объём ванны равен V, тогда к мо­мен­ту её на­пол­не­ния в ней долж­но быть хо­лод­ной воды и го­ря­чей. Ско­рость на­пол­не­ния ванны хо­лод­ной и го­ря­чей водой равны и со­от­вет­ствен­но. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое время равно раз­но­сти времён на­пол­не­ния ванны го­ря­чей водой и на­пол­не­ния ванны хо­лод­ной водой, то есть

Ответ: Через 5 минут.

Обо­зна­чим рас­сто­я­ние между де­рев­ней и го­ро­дом за S км, ско­ро­сти Ви­кен­тия и Афа­на­сия за x и y, и по­счи­та­ем время, по­тра­чен­ное пут­ни­ка­ми в пер­вом и вто­ром слу­ча­ях.

По­лу­чим в пер­вом слу­чае: во вто­ром От­сю­да, ис­клю­чая x и y, имеем от­ку­да км.

Ответ: 6 км.

Обо­зна­чим рас­сто­я­ние между А и Б за S км, ско­ро­сти Па­ра­мо­на, Со­ло­мо­на и Ага­фо­на со­от­вет­ствен­но за

x, y, z км в час. Тогда из усло­вия по­лу­ча­ем: от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, Па­ра­мон и Со­ло­мон встре­тят­ся через час после по­лу­дня, то есть в 13 часов.

Ответ: В 13 часов.

Ука­за­ния. Ответ с про­вер­кой: 1 балл. Со­став­ле­ние урав­не­ний: 3 балла.

После k уве­ли­че­ний цены и l умень­ше­ний на n% цена будет такой:

где P  — на­чаль­ная цена акций. Если пред­по­ло­жить, что цена два­жды при­ни­ма­ет одно и то же зна­че­ние, то по­лу­чит­ся

или

Пра­вая часть этого ра­вен­ства де­лит­ся на 10, по­это­му и n долж­но быть крат­но 10. Пред­по­ло­жим, что n не крат­но 4, тогда тоже не крат­но 4, по­это­му левая часть крат­на и не крат­на а пра­вая часть де­лит­ся на По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие. Сле­до­ва­тель­но, n крат­но 4. Ана­ло­гич­но, можно по­ка­зать, что n крат­но 25. По­это­му n де­лит­ся на 100, что не­воз­мож­но, по­сколь­ку цена не может умень­шит­ся более, чем на 100%.

Ответ: не су­ще­ству­ет.

Обо­зна­чим время подъ­ема от под­но­жия до вер­ши­ны горы через x. Из усло­вий за­да­чи сле­ду­ет, что впер­вые у под­но­жия горы они встре­ти­лись через 130 минут. Зна­чит, впер­вые на вер­ши­не горы они встре­тят­ся через 130 + x минут. В таком слу­чае x  — это такое ми­ни­маль­ное на­ту­раль­ное число, что (5 + x)  — де­ли­тель (130 + x) и (10 + x)  — де­ли­тель (130 + x). Пе­ре­бо­ром уста­нав­ли­ва­ем, что

Ответ: 20 минут.

Пусть n  — ко­ли­че­ство биз­не­сме­нов и d₁  — при­быль i-го ди­рек­то­ра, i = 1, ..., n.

По усло­вию тогда

Таким об­ра­зом,

Пе­ре­мно­жая эти ра­вен­ства, по­лу­чим:

По усло­вию то есть от­ку­да n = 19.

Ответ: 19.

Обо­зна­чим время подъ­ема от под­но­жия до вер­ши­ны горы через Из усло­вий за­да­чи сле­ду­ет, что впер­вые у под­но­жия горы они встре­ти­лись через 345 ми­ну­ты. Зна­чит, впер­вые на вер­ши­не горы они встре­тят­ся через минут. В таком слу­чае x  — это такое ми­ни­маль­ное на­ту­раль­ное число, что   — де­ли­тель и   — де­ли­тель Пе­ре­бо­ром уста­нав­ли­ва­ем, что

Ответ: 19.

Обо­зна­чим массу 5%-ого рас­тво­ра за x кг, масса 20%-ого рас­тво­ра будет кг, а общая масса соли в 5%-ом и 20%-ом рас­тво­рах равна массе соли в 90 кг 7%-ого рас­тво­ра: от­ку­да и

Ответ: 78 кг 5%-ого и 12 кг 20%-ого рас­тво­ров.

На­ри­су­ем гра­фик за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни ко­ор­ди­нат спортс­ме­нов от­но­си­тель­но пунк­та А, затем вы­де­лим те части пря­мых, когда со­от­вет­ству­ю­щий спортс­мен вла­дел эс­та­фет­ной па­лоч­кой. Пря­мую для пер­во­го спортс­ме­на обо­зна­чим как L, участ­ки пря­мых для вто­ро­го спортс­ме­на  — как

Точки пе­ре­да­чи эс­та­фет­ной па­лоч­ки (они же точки пе­ре­се­че­ния со­от­вет­ству­ю­щих пря­мых) обо­зна­чим как

Тогда ис­ко­мая ве­ли­чи­на S₀ пред­став­ля­ет собой сумму про­ек­ций вы­де­лен­ных фраг­мен­тов на ось ор­ди­нат, а имен­но:

Урав­не­ние пря­мой L имеет вид Урав­не­ние пря­мой L₁ имеет вид (его можно найти, на­при­мер, под­ста­вив в урав­не­ние пря­мой ко­ор­ди­на­ты двух край­них точек от­рез­ка и решив си­сте­му от­но­си­тель­но k и Со­ста­вив си­сте­му из урав­не­ний для пря­мых L и L₁, най­дем ор­ди­на­ту точки A₁:

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем Не­труд­но уви­деть, что для всех ин­те­ре­су­ю­щих нас точек По­это­му

Ответ:

На­ри­су­ем гра­фик за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни ко­ор­ди­нат спортс­ме­нов от­но­си­тель­но пунк­та А, затем вы­де­лим те части пря­мых, когда со­от­вет­ству­ю­щий спортс­мен вла­дел эс­та­фет­ной па­лоч­кой. Пря­мую для пер­во­го спортс­ме­на обо­зна­чим как L, участ­ки пря­мых для вто­ро­го спортс­ме­на  — как

Точки пе­ре­да­чи эс­та­фет­ной па­лоч­ки (они же точки пе­ре­се­че­ния со­от­вет­ству­ю­щих пря­мых) обо­зна­чим как

Тогда ис­ко­мая ве­ли­чи­на S₀ пред­став­ля­ет собой сумму про­ек­ций вы­де­лен­ных фраг­мен­тов на ось ор­ди­нат, а имен­но:

Урав­не­ние пря­мой L имеет вид Урав­не­ние пря­мой L₁ имеет вид (его можно найти, на­при­мер, под­ста­вив в урав­не­ние пря­мой ко­ор­ди­на­ты двух край­них точек от­рез­ка и решив си­сте­му от­но­си­тель­но k и Со­ста­вив си­сте­му из урав­не­ний для пря­мых L и L₁, най­дем ор­ди­на­ту точки A₁:

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем Не­труд­но уви­деть, что для всех ин­те­ре­су­ю­щих нас точек По­это­му

Ответ:

До­пол­ни­тель­но по­тра­чен­ные во вто­рой раз 100 руб­лей при­нес­ли купцу до­пол­ни­тель­ные 20 руб­лей при­бы­ли. Зна­чит, в пер­вый раз, чтобы по­лу­чить 5 · 20  =  100 руб­лей при­бы­ли, купец дол­жен был за­пла­тить 5 · 100  =  500 руб­лей.

Вто­рое ре­ше­ние. Обо­зна­чим сумму пер­вой по­куп­ки за x, тогда на вло­жен­ный в Твери рубль он по­лу­чит в Москве руб­лей. Сле­до­ва­тель­но, после вто­рой по­куп­ки-про­да­жи он по­лу­чит руб­лей. Решая, по­лу­чим

Ответ:500 руб­лей.

Пусть X  — наи­боль­шее из вы­пи­сан­ных чисел. Остав­ши­е­ся числа разо­бьем на 3 трой­ки "со­се­дей". Сумма чисел в каж­дой такой трой­ке не мень­ше 29, сле­до­ва­тель­но, При­мер на­бо­ра с мак­си­маль­ным чис­лом 13: 13, 9, 10, 10, 9, 10, 10, 9, 10, 10.

Ответ:

Обо­зна­чим ко­ли­че­ство ры­ба­ков в груп­пах через x, y, z со­от­вет­ствен­но. По усло­вию, Вы­чи­та­ем учет­верённое пер­вое урав­не­ние из вто­ро­го, по­лу­ча­ем от­ку­да зна­чит, С дру­гой сто­ро­ны, зна­чит, от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, под­хо­дить может един­ствен­ный ва­ри­ант: Про­ве­ря­ем его под­ста­нов­кой во вто­рое урав­не­ние и убеж­да­ем­ся, что это ре­ше­ние.

Ответ: В пер­вой груп­пе 5 ры­ба­ков, во вто­рой груп­пе 4 ры­ба­ка, в тре­тьей груп­пе 7 ры­ба­ков.

По­сколь­ку у каж­до­го школь­ни­ка в день по 5 уро­ков, то если бы в клас­се был один уче­ник, то общее число уро­ков в день было бы равно 5 · 1200 = 6000. Так как в клас­се 30 уче­ни­ков, то ко­ли­че­ство уро­ков, ко­то­рые про­во­дят­ся в школе каж­дый день равно Сле­до­ва­тель­но, число учи­те­лей в школе равно

Ответ: 50.

Если цена была равна s, то после из­ме­не­ния она долж­на со­ста­вить или При любом дру­гом из­ме­не­нии новая цена долж­на де­лить­ся на 11. Число 2017 на 11 не де­лит­ся, а по­то­му оно не может быть по­лу­че­но с по­мо­щью не­сколь­ких таких из­ме­не­ний.

Ответ: прав бо­ярин.

В про­шлом году од­но­го би­до­на яб­лоч­но­го сока хва­та­ло на 6 банок кок­тей­ля, зна­чит, каж­дая банка со­дер­жа­ла би­до­на яб­лоч­но­го сока. Ана­ло­гич­но, од­но­го би­до­на ви­но­град­но­го сока хва­та­ло на 10 банок, зна­чит, каж­дая банка со­дер­жа­ла би­до­на ви­но­град­но­го сока. Сле­до­ва­тель­но, ёмкость банки со­став­ля­ет стан­дарт­но­го би­до­на. После из­ме­не­ния про­пор­ции в новом году, каж­дая банка со­дер­жит би­до­на яб­лоч­но­го сока, зна­чит, ви­но­град­но­го сока в ней стало би­до­на. Сле­до­ва­тель­но, би­до­на ви­но­град­но­го сока те­перь хва­та­ет на 15 банок кок­тей­ля.

Ответ: На 15 банок.

Обо­зна­чим длину до­рож­ки ста­ди­о­на за S мет­ров, а ско­ро­сти пер­во­го и вто­ро­го бе­гу­нов за x и y мет­ров в се­кун­ду со­от­вет­ствен­но. Тогда из пер­во­го усло­вия: а из вто­ро­го так как при этом пер­вый до­го­ня­ет вто­ро­го с на­чаль­ным от­ста­ва­ни­ем S мет­ров. Из вто­ро­го урав­не­ния вы­ра­жа­ем под­став­ля­ем в пер­вое, вво­дим за­ме­ну пе­ре­мен­ной и по­лу­ча­ем урав­не­ние от­ку­да Вы­ра­жа­ем под­став­ля­ем во вто­рое урав­не­ние, имеем то есть

Если же бе­гу­ны по­бе­гут в про­ти­во­по­лож­ных на­прав­ле­ни­ях, то их ско­ро­сти будут скла­ды­вать­ся и они про­бе­гут до встре­чи до­рож­ку за се­кунд.

Ответ: Через 6 се­кунд.

Обо­зна­чим ско­ро­сти пер­во­го и вто­ро­го лыж­ни­ков за x и y ки­ло­мет­ров в ми­ну­ту со­от­вет­ствен­но. Из усло­вия по­лу­ча­ем: вы­чи­тая пер­вое урав­не­ние из вто­ро­го, имеем зна­чит, Под­став­ляя в пер­вое, по­лу­ча­ем км в ми­ну­ту, что равно 15 км в час. Вто­рой лыж­ник бежит со ско­ро­стью 12 км в час.

Ответ: 15 км в час.

Обо­зна­чим вес каж­до­го из от­пи­лен­ных кус­ков за x кг, а доли олова в пер­вом и вто­ром слит­ках за со­от­вет­ствен­но. Тогда доля олова после пе­ре­плав­ки в пер­вом слит­ке будет а во вто­ром слит­ке и они, по усло­вию, равны. Решая по­лу­чен­ное урав­не­ние, на­хо­дим при всех

Ответ: 4 ки­ло­грам­ма.