Всего: 33 1–20 | 21–33
Добавить в вариант
Вокруг треугольника ABC с углом ∠B = 60° описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке B1. На лучах AB и CB отметили точки A0 и C0 соответственно так, что AA0 = AC = CC0. Докажите, что точки A0, C0, B1 лежат на одной прямой.
то получим:
т. е. точка A0 расположена внутри ∠AB1C, см. рис. слева. Аналогично треугольник C0CB1 равнобедренный, и 
Сумма этих углов равна:
получаем:
Вокруг треугольника ABC с углом ∠B = 60° описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке B1. На лучах AB и CB отметили точки A0 и C0 соответственно так, что AA0 = AC = CC0. Докажите, что точки A0, C0, B1 лежат на одной прямой.
От домика Тофслы и Вифслы отходят 6 прямых дорог, разделяющих окрестное круглое поле на 6 равных секторов. Тофсла и Вифсла отправляются в путешествие из своего домика в центре поля со скоростью 5 км/ч случайно независимо друг от друга выбрав себе дорогу, по которой идти. С какой вероятностью расстояние между ними через час составит более 7 км?
км и 10 км соответственно для выбора одной дороги, двух соседних, двух, расходящихся под углом 120° и противоположных. Превышают 7 расстояния 10 и 
Расстояние 10 получается в 6 случаях, расстояние 
От домика Тофслы и Вифслы отходят 6 прямых дорог, разделяющих окрестное круглое поле на 6 равных секторов. Тофсла и Вифсла отправляются в путешествие из своего домика в центре поля со скоростью 5 км/ч случайно независимо друг от друга выбрав себе дорогу, по которой идти. С какой вероятностью расстояние между ними через час составит более 7 км?
Дан треугольник ABC с углом C = 120°. Точка D — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на сторону AB; точки E и F — основания перпендикуляров, опущенных из точки D на стороны AC и BC соответственно. Найдите, чему равен периметр треугольника ABC, если известно, что треугольник EFC равнобедренный и его площадь равна 
в нём тупой, точка C является его вершиной, значит, 
Но тогда прямоугольные треугольники ECD и FCD равны по катету и гипотенузе, следовательно, 
то есть точка D лежит на биссектрисе угла C, откуда треугольник ABC также равнобедренный. Значит, треугольники ABC и EFC подобны. Найдём коэффициент подобия. Во-первых, 
Далее, 
Отсюда 
Значит, 
Дан треугольник ABC площадью 
с углом C = 120°. Точка D — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на сторону AB; точки E и F — основания перпендикуляров, опущенных из точки D на стороны AC и BC соответственно. Найдите, чему равен периметр треугольника EFC, если оказалось, что он равнобедренный.
Отсюда 
Значит, 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Внутри угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 от нее расположена точка M. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны этого угла.
г) Сколько сторон имеет сечение куба 
плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
получаем уравнение 
т. е. 
При 
имеем 
т. е. 
Вообще, 
есть решение только при 
Поэтому в дальнейшем будем считать, что 
После 
откуда 
Случай 
Из условий 
получаем, что 
Таким образом, 
при 
при 
так что 
Для определения коэффициентов уравнения 
плоскости 
получаем систему 
и 
Найдем координаты точки P пересечения прямой 
и плоскости KLM: 
так 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) На сторонах угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
и 
не подходят в неравенство. При прочих x можно домножить неравенство на 
и получить
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
поэтому он всегда положителен. Сократив его, получим 
откуда 
или 
и 
получаем 
Тогда 
и уравнение примет вид
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, получим
При прочих a можно сократить на 
получим
поэтому такой корень подходит.
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, отсюда
тогда 
При 
это невозможно (правая часть неположительная, а левая положительна). При 
получим
при условии 
то есть 
Итак, такой корень подходит при 
при прочих отрицательных a нет корней.
то есть 
в случаях 
Во всех случаях 
при 
и 
при 
при 
нет корней; при 
при 
и 
при 
при 
при 
при 
при 
тогда 
откуда 
Аналогично по теореме синусов для треугольника MKL получаем 
тогда 
и 
Отметим кроме того точку 
для которой 
Тогда 
и 
- параллелограмм (его стороны 
и AK равны и параллельны), поэтому 
и 
и 
поэтому 
—
и 
и 
поэтому точки K, L, M, D лежат в одной плоскости (и образуют там вершины параллелограмма). Этот параллелограмм и будет сечением куба, поэтому сечение имеет 4 стороны.В треугольнике ABC сторона AC равна 6, а угол ABC равен 120° Окружность 
радиуса 3 касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC. Найдите длины отрезков CL, MK, AB и площадь треугольника ANL.
следовательно, треугольник MOL — равносторонний, 
и 
Отсюда
откуда 
У треугольников 
и 
общая высота, проведённая из вершины L, поэтому их площади относятся как основания, т. е. как 
Следовательно, 
Отсюда следует, что 
В треугольнике ABC известно, что 
угол 
Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C, где O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
—
который по условию равен 
поэтому 
Тогда площадь треугольника 
равна 
Углы 
и 
равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, поэтому 
Значит, 
— равносторонни и найдена его площадь — 1 балл.
— 3 балла.В треугольнике ABC известно, что AB = 4, AC = 6, угол BAC = 60°. Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C, где O – центр окружности, описанной около треугольника ABC.
равна 
В треугольнике ABC известно, что 
угол 
Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C (O — центр окружности, описанной около треугольника ABC).
Тогда площадь треугольника 
Углы 
В треугольнике ABC известно, что 
угол Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C (O — центр окружности, описанной около треугольника ABC).
равносторонний, поэтому 
Точка K лежит на стороне AB треугольника ABC с углом 120° при вершине C. В треугольники AKC и BKC вписаны окружности с центрами O и Q соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника OQC, если 
и тогда по теореме Пифагора находим, что 
Точка P лежит на стороне BC треугольника ABC с углом 60° при вершине A. В треугольники APB и APC вписаны окружности с центрами D и T соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADT, если 
и тогда по теореме Пифагора находим, что 
проведены биссектрисы AA1 и BB1. Докажите, что 
и 
Тогда 
Тогда 
Треугольники AB1I и AKI равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
и, значит, 
и 
) проведены биссектрисы LA и KB углов KLM и LKM соответственно. Найдите величину угла KBA.
2.3 Дан неравнобедренный треугольник ABC с углом 
Докажите, что точка пересечения прямых OI и BC равноудалена от точек A и I.
вертикальный уже посчитанному, 
т. к. стягивает две половинки дуг в сумме равных 240). Тогда серпер к AI — радикальная ось описанных окружностей XYOI и ABC, BC радикальная ось описанных окружностей ABC и BIOC, OI — радикальная ось описанных окружностей XYOI и BIOC. Как известно, они действительно пересекаются в одной точке.
а так же, по условию, 
Следовательно, 
то есть, 
При этом
проведены биссектрисы AA1, BB1, CC1. Отрезок A1B1 пересекает биссектрису CC1 в точке M. Найти градусную меру угла B1MC.
а значит точка A1 равноудалена от сторон B1B и BK. Учитывая, что точка A1 лежит на биссектрисе 
а значит и равноудалена от его сторон получаем, что A1 равноудалена от сторон B1B и B1C, а значит лежит на биссектрисе 
Аналогично доказываем, что B1C1 биссектриса 
Следовательно, 
как угол между биссектрисами смежных углов.
следовательно, 
Далее, 
как опирающиеся на одну дугу. 
Найти 
