сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 8 9

Всего: 306    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Из­вест­на сумма куба и квад­ра­та не­ко­то­ро­го не­це­ло­го числа. Все­гда ли можно опре­де­лить знак ис­ход­но­го числа?


На­ту­раль­ное число на­зы­ва­ет­ся па­лин­дро­мом, если оно не из­ме­ня­ет­ся при вы­пи­сы­ва­нии его цифр в об­рат­ном по­ряд­ке (на­при­мер, числа 4, 55, 626  — па­лин­дро­мы, а 20, 201, 2016  — нет). До­ка­жи­те, что любое число вида 2016...2016 (груп­па цифр 2016 по­вто­ре­на не­сколь­ко раз) можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния двух па­лин­дро­мов.


Дан рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC. На бо­ко­вой сто­ро­не AB от­ме­ти­ли такую точку M, что CM  =  AC. Затем на бо­ко­вой сто­ро­не BC от­ме­ти­ли такую точку N, что BN  =  MN, и про­ве­ли бис­сек­три­су NH в тре­уголь­ни­ке CNM. До­ка­жи­те, что H лежит на ме­ди­а­не BK тре­уголь­ни­ка ABC.


Через точку с ко­ор­ди­на­та­ми (9, 9) про­ве­де­ны пря­мые (вклю­чая па­рал­лель­ные осям ко­ор­ди­нат), ко­то­рые делят плос­кость на углы в 9°. Най­ди­те сумму абс­цисс точек пе­ре­се­че­ния этих пря­мых с пря­мой y=10 минус x.


Есть 64 шашки трех цве­тов, раз­би­тые на пары так, что в каж­дой паре цвета шашек раз­лич­ны. До­ка­жи­те, что все шашки можно рас­ста­вить на шах­мат­ной доске так, чтобы шашки в каж­дом дву­кле­точ­ном пря­мо­уголь­ни­ке были раз­ных цве­тов.


Из­вест­на сумма чет­вер­той и пятой сте­пе­ни не­ко­то­ро­го не­це­ло­го числа. Все­гда ли можно опре­де­лить знак ис­ход­но­го числа?


Дан тре­уголь­ник ABC. Из точки P внут­ри него опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры PA', PB', PC' на сто­ро­ны BC, CA, AB со­от­вет­ствен­но. Затем из точки P опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры PA'', PB'' на сто­ро­ны B'C' и C'A'

со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что PA · PA' · PA''  =  PB · PB' · PB''.


Через точку с ко­ор­ди­на­та­ми (10, 9) про­ве­де­ны пря­мые (вклю­чая па­рал­лель­ные осям ко­ор­ди­нат), ко­то­рые делят плос­кость на углы в 10°. Най­ди­те сумму абс­цисс точек пе­ре­се­че­ния этих пря­мых с пря­мой y=101 минус x.


Есть 64 шашки не­сколь­ких цве­тов, раз­би­тые на пары так, что в каж­дой паре цвета шашек раз­лич­ны. До­ка­жи­те, что все шашки можно рас­ста­вить на шах­мат­ной доске так, чтобы шашки в каж­дом дву­кле­точ­ном пря­мо­уголь­ни­ке были раз­ных цве­тов.


У двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков сов­па­да­ют пло­ща­ди и пе­ри­мет­ры. Обя­за­тель­но ли эти тре­уголь­ни­ки равны?


Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное n такое, что  синус n гра­ду­сов = синус левая круг­лая скоб­ка 2016n гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка .


Тип 0 № 5812
i

Име­ет­ся 288 внеш­не оди­на­ко­вых монет ве­са­ми 7 и 8 грамм (есть и те, и дру­гие). На чаши весов по­ло­жи­ли по 144 мо­не­ты так, что весы в рав­но­ве­сии. За одну опе­ра­цию можно взять с чаш любые две груп­пы из оди­на­ко­во­го числа монет и по­ме­нять их ме­ста­ми. До­ка­жи­те, что можно не более, чем за 11 опе­ра­ций сде­лать так, чтобы весы не были в рав­но­ве­сии.


На­зо­вем на­ту­раль­ное число мод­ным, если в его за­пи­си встре­ча­ет­ся груп­па цифр 2016 (на­при­мер, числа 32016, 1120165 модны, а 3, 216, 20516  — нет). До­ка­жи­те, что вся­кое на­ту­раль­ное число можно по­лу­чить как част­ное от де­ле­ния мод­но­го числа на мод­ное.


У куба вы­бра­ли две про­ти­во­по­лож­ные вер­ши­ны M и M' и плос­ки­ми се­че­ни­я­ми ABC и A'B'C' от­ре­за­ли от него две тре­уголь­ные пи­ра­ми­ды MABC и M'A'B'C'. По­лу­чил­ся вось­ми­гран­ник (см. рис.) Три рас­сто­я­ния ока­за­лись по­пар­но раз­лич­ны: между пря­мы­ми AB и A'B', между пря­мы­ми BC и B'C' и между пря­мы­ми AC и A'C'. До­ка­жи­те, что у пря­мых AA', BB' и CC' есть общая точка.


Дан квад­рат­ный трех­член x в квад­ра­те плюс bx плюс c. До­ка­жи­те, что най­дет­ся такое ир­ра­ци­о­наль­ное x, при ко­то­ром зна­че­ние x в квад­ра­те плюс bx плюс c  — ра­ци­о­наль­но.


Му­ра­вей Ан­дрю­ша дви­га­ет­ся по ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти, стар­туя из точки P0  =  (0, 0), дви­га­ясь к точке P1  =  (1, 0), и далее по спи­ра­ли про­тив ча­со­вой стрел­ки (см. рис.). Точки с це­ло­чис­лен­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми, в ко­то­рые он по­па­да­ет, об­ра­зу­ют по­сле­до­ва­тель­ность Pn. Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точки P2017.


Аналоги к заданию № 5816: 5827 Все


В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на вы­со­та AH. Пусть P и Q  — ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров, опу­щен­ных из точки H на сто­ро­ны AB и AC со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что  \angle BQH= \angle CPH.


Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное число k такое, что при вы­бо­ре любых k раз­лич­ных чисел от 1 до 20, среди вы­бран­ных чисел га­ран­ти­ро­ван­но можно вы­де­лить пару раз­лич­ных с про­стой сум­мой.


Най­ди­те все на­ту­раль­ные n такие, что число 8 в сте­пе­ни n плюс n де­лит­ся на 2 в сте­пе­ни n плюс n.


Куб со сто­ро­ной 5 сло­жен из 125 ку­би­ков со сто­ро­ной 1. Сколь­ко ма­лень­ких ку­би­ков пе­ре­се­ка­ет плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ная одной из диа­го­на­лей куба и про­хо­дя­щая через ее се­ре­ди­ну?

Всего: 306    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80