Всего: 306 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
и 
дают одинаковую сумму 
Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при выписывании его цифр в обратном порядке (например, числа 4, 55, 626 — палиндромы, а 20, 201, 2016 — нет). Докажите, что любое число вида 2016...2016 (группа цифр 2016 повторена несколько раз) можно представить в виде произведения двух палиндромов.
произведение двух палиндромов. Умножив правое число на один из этих палиндромов, по-прежнему получим палиндром. Отсюда два возможных варианта в общем случае: 
— один балл. Для полного балла достаточно только одного ответа.Дан равнобедренный треугольник ABC. На боковой стороне AB отметили такую точку M, что CM = AC. Затем на боковой стороне BC отметили такую точку N, что BN = MN, и провели биссектрису NH в треугольнике CNM. Докажите, что H лежит на медиане BK треугольника ABC.
и 
Значит, 
поэтому сумма абсцисс равна сумме ординат. Через точку (9, 9) 
пересекает 19 из них. Для каждой точки на прямой 
всех шашек, то есть не менее 43. Значит, не менее 
шашек — в полных рядах. Тогда полных рядов — не менее 9. Но всего рядов 8, значит, есть особый ряд, куда попали по 4 шашки из обеих кучек. Свободные поля разных цветов лежат по разные стороны особого ряда, и между собой не соприкасаются. Разложим на них шашки третьей кучки.
показывает, что она непрерывна, возрастает 
убывает 
—
—
функция принимает все значения от 0 до 2, в том числе и значение 0,08192. Оно, очевидно, принимается при нецелом х. Итак, значение 0,08192 принимается как при нецелом отрицательном числе −0,8, так и при некотором нецелом полодительном числе. Значит, по значению знак определить нельзя! 
имеет как положительный, так и отрицательный корень, но не доказано, что оба корня не целые.Дан треугольник ABC. Из точки P внутри него опущены перпендикуляры PA', PB', PC' на стороны BC, CA, AB соответственно. Затем из точки P опущены перпендикуляры PA'', PB'' на стороны B'C' и C'A'
соответственно. Докажите, что PA · PA' · PA'' = PB · PB' · PB''.
Поэтому прямоугольные треугольники PB'A'' и PAC' подобны и 
Это равносильно 
Картинка станет симметрична относительно прямой 
пересекает 17 из них. Для каждой точки на прямой 
и 
возведя в квадрат, получим 2P. Но зная сумму и произведение чисел а и b, мы можем найти их как корни квадратного уравнения с соответствующими коэффициентами. По заданным площади и периметру коэффициенты определяются однозначно. Значит, катеты тоже определяются однозначно, и треугольники равны.
следует, что 
или 
где k — целое. У нас 
и 
следовательно, 
Поскольку 403 и 72 взаимно просты, то n кратно 72. Значит, наименьшее 
где 2017n кратно 180. Поскольку 2017 и 180 взаимно просты, то n кратно 180. Значит, наименьшее 
Имеется 288 внешне одинаковых монет весами 7 и 8 грамм (есть и те, и другие). На чаши весов положили по 144 монеты так, что весы в равновесии. За одну операцию можно взять с чаш любые две группы из одинакового числа монет и поменять их местами. Докажите, что можно не более, чем за 11 операций сделать так, чтобы весы не были в равновесии.
одинаковых монет, а на другой — 
таких же монет, 
—Назовем натуральное число модным, если в его записи встречается группа цифр 2016 (например, числа 32016, 1120165 модны, а 3, 216, 20516 — нет). Докажите, что всякое натуральное число можно получить как частное от деления модного числа на модное.
Пусть 
—У куба выбрали две противоположные вершины M и M' и плоскими сечениями ABC и A'B'C' отрезали от него две треугольные пирамиды MABC и M'A'B'C'. Получился восьмигранник (см. рис.) Три расстояния оказались попарно различны: между прямыми AB и A'B', между прямыми BC и B'C' и между прямыми AC и A'C'. Докажите, что у прямых AA', BB' и CC' есть общая точка.
Тогда по признаку параллельности плоскостей параллельны плоскости ABC и A'B'C'. Но тогда параллельны между собой и прямые ВC и B'C'. Иначе получилось бы, что через пару скрещивающихся прямых ВС и В B'C' проходят две пары параллельных плоскостей: пара противоположных граней и пара ABC и A'BC'. А такое невозможно. Итак, все три пары состоят из параллельных прямых. Значит, прямые АВ и А'В' лежат в одной плоскости и имеют общую точку X, прямые ВС и B'C' лежат в одной плоскости и имеют общую точку Y и, наконец, прямые АС и А'C' лежат в одной плоскости и имеют общую точку Z. Но, если среди этих точек есть различные, то все три точки различны, и все три прямые лежат в одной плоскости XYZ, что неверно. Значит, все эти прямые проходят через одну точку.
Докажите, что найдется такое иррациональное x, при котором значение 
— рационально.
были два корня: x1 и x2. Тогда по теореме Виета 
—
получим 
—Муравей Андрюша двигается по координатной плоскости, стартуя из точки P0 = (0, 0), двигаясь к точке P1 = (1, 0), и далее по спирали против часовой стрелки (см. рис.). Точки с целочисленными координатами, в которые он попадает, образуют последовательность Pn. Найдите координаты точки P2017.
по ломаной составляет 
что есть разность между 
и 
Аналогично, расстояние от 
до 
равно 
что есть разность между 
и 
По индукции получаем, что 
и 
Значит, точка P2025 имеет координаты (23, −22). Точка P2017 на 8 правее ее, то есть имеет координаты (15, −22).
как вписанные. С другой стороны, углы P H A и HBA равны, так как они оба дополняют угол BAH до прямого. Углы AQP и ABC равны, а значит, четырехугольник BPQC можно вписать в окружность. Тогда равны и углы BPC и BQC как вписанные. Искомое равенство получается, если из каждого из них вычесть 90°.
делится на 
делится на 
поэтому условие задачи равносильно 
верно неравенство 
Осталось перебрать девять вариантов и получить ответ.
при 
без доказательства баллы не снижаются.
или аналогичная делимость, где делимое обычно меньше делителя — 3 балла. 
следовательно, указанная плоскость задается уравнением 
Рассмотрим один из 125 кубиков. Пусть ближняя к точке O вершина имеет координаты 
где целые числа k, m, n удовлетворяют неравенствам 
и 
Дальняя от точки O вершина имеет координаты 
получаем лишь три варианта: 
или 
Вычислим количество кубиков каждого из трех типов. 
Перечислим способы разбить 5 на три слагаемых, и укажем количество различных перестановок этих слагаемых: 
то 
относительно центра куба — всего 18. 