сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 7 8 9

Всего: 25    1–20 | 21–25

Добавить в вариант

Таб­ли­ца n × n за­пол­ня­ет­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми от 1 до 10 так, чтобы ни в одной стро­ке и ни в одном столб­це не было двух оди­на­ко­вых чисел. Сов­па­де­ние чисел, сто­я­щих в раз­ных стро­ках и столб­цах, до­пус­ка­ет­ся. Пусть f (n)  — ко­ли­че­ство таких рас­ста­но­вок. На­при­мер f (1) = 10, f (11) = 0.

а)  Что боль­ше, f (9) или f (10)?

б)  Что боль­ше, f (5) или f (6)?


Таб­ли­ца n × n за­пол­ня­ет­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми от 1 до 2016 так, чтобы ни в одной стро­ке и ни в одном столб­це не было двух оди­на­ко­вых чисел. Сов­па­де­ние чисел, сто­я­щих в раз­ных стро­ках и столб­цах, до­пус­ка­ет­ся. Пусть f (n)  — ко­ли­че­ство таких рас­ста­но­вок. На­при­мер f (1) = 2016, f (2017) = 0.

а)  Что боль­ше, f (2015) или f (2016)?

б)  Что боль­ше, f (1008) или f (1009)?


Слова языка ро­бо­тов пла­не­ты Ше­ле­зя­ка  — по­сле­до­ва­тель­но­сти стре­ло­чек «вверх», «вниз», «влево» и «впра­во», причём две про­ти­во­на­прав­лен­ные стре­лоч­ки не могут сто­ять рядом. Учи­тель на­пи­сал на доске 1000000 слов этого языка. Че­ты­ре уче­ни­ка пе­ре­пи­сы­ва­ют слова к себе в тет­радь, делая сле­ду­ю­щие из­ме­не­ния: уче­ник U при­пи­сы­ва­ет перед сло­вом стре­лоч­ку вверх, а если это за­пре­ще­но (слово на­чи­на­ет­ся с «вниз»), то уби­ра­ет это пер­вое «вниз», уче­ни­ки D, L, R де­ла­ют всё то же самое, толь­ко при­пи­сы­ва­ют со­от­вет­ствен­но стрел­ку вниз, влево или впра­во, и вычёрки­ва­ют пер­вый сим­вол, если он ока­зал­ся «вверх», «впра­во», «влево». До­ка­жи­те, что в одной из четырёх тет­ра­дей ми­ни­мум по­ло­ви­на (500 000) слов не будет встре­чать­ся среди слов на доске.


На доске на­пи­са­ны числа 1, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , ..., дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби . Раз­ре­ша­ет­ся сте­реть любые два числа a, b и на­пи­сать вме­сто них ab + a + b, затем по­сту­пить так же с ка­ки­ми-то двумя из остав­ших­ся, и так далее. Какое число может остать­ся по­след­ним?


Слова языка ро­бо­тов пла­не­ты Ше­ле­зя­ка  — по­сле­до­ва­тель­но­сти стре­ло­чек «вверх», «вниз», «влево» и «впра­во», причём две про­ти­во­на­прав­лен­ные стре­лоч­ки не могут сто­ять рядом. Учи­тель на­пи­сал на доске 1000000 слов этого языка. Че­ты­ре уче­ни­ка пе­ре­пи­сы­ва­ют слова к себе в тет­радь, делая сле­ду­ю­щие из­ме­не­ния: уче­ник U при­пи­сы­ва­ет перед сло­вом стре­лоч­ку вверх, а если это за­пре­ще­но (слово на­чи­на­ет­ся с «вниз»), то уби­ра­ет это пер­вое «вниз», уче­ни­ки D, L, R де­ла­ют всё то же самое, толь­ко при­пи­сы­ва­ют со­от­вет­ствен­но стрел­ку вниз, влево или впра­во, и вычёрки­ва­ют пер­вый сим­вол, если он ока­зал­ся «вверх», «впра­во», «влево». До­ка­жи­те, что в одной из четырёх тет­ра­дей ми­ни­мум по­ло­ви­на (500 000) слов не будет встре­чать­ся среди слов на доске.


Фо­на­ри рас­по­ла­га­ют­ся на плос­кость, осве­щая все точки угла южнее и за­пад­нее себя. (То есть фо­нарь в точке с ко­ор­ди­на­та­ми (a, b) осве­ща­ет точки (x, y) с ко­ор­ди­на­та­ми x мень­ше или равно a, y мень­ше или равно b.) На плос­кость уже вы­ста­ви­ли 2018 синих фо­на­рей, по­ме­стив их в раз­лич­ные точки. Можно ли до­рас­ста­вить на плос­ко­сти 2017 крас­ных фо­на­рей, так что любая точка плос­ко­сти, освещённая ровно k > 0 си­ни­ми фо­на­ря­ми, будет осве­ще­на ровно k − 1 крас­ным фонарём? (Крас­ные фо­на­ри можно рас­по­ла­гать в точки, за­ня­тые дру­ги­ми фо­на­ря­ми, пред­по­ла­гая, что это не ме­ша­ет осве­ще­нию).


Фо­на­ри рас­по­ла­га­ют­ся на плос­кость, осве­щая все точки угла южнее и за­пад­нее себя. (То есть фо­нарь в точке с ко­ор­ди­на­та­ми (a, b) осве­ща­ет точки (x, y) с ко­ор­ди­на­та­ми x мень­ше или равно a, y мень­ше или равно b.) На плос­кость уже вы­ста­ви­ли 2018 синих фо­на­рей, по­ме­стив их в раз­лич­ные точки. Можно ли до­рас­ста­вить на плос­ко­сти 2017 крас­ных фо­на­рей, так что любая точка плос­ко­сти, освещённая ровно k > 0 си­ни­ми фо­на­ря­ми, будет осве­ще­на ровно k − 1 крас­ным фонарём? (Крас­ные фо­на­ри можно рас­по­ла­гать в точки, за­ня­тые дру­ги­ми фо­на­ря­ми, пред­по­ла­гая, что это не ме­ша­ет осве­ще­нию).


По­сле­до­ва­тель­но вы­пи­са­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния все ше­сти­знач­ные числа, в за­пи­си ко­то­рых при­сут­ству­ют 0, 1, 2, 3. Какое число за­пи­са­но на 1993-ем месте?


Развернуть

2.1 Пусть N  =  2. До­ка­жи­те, что фо­кус­ник га­ран­ти­ро­ван­но может до­бить­ся того, чтобы в итоге хотя бы один шар ока­зал­ся не в своем из­на­чаль­ном со­су­де.

1

2.2 Пусть N  =  400. До­ка­жи­те, что фо­кус­ник может до­бить­ся того, чтобы га­ран­ти­ро­ван­но более по­ло­ви­ны шаров ле­жа­ли не в своём со­су­де.


Развернуть

2.2 Пусть N  =  400. До­ка­жи­те, что фо­кус­ник может до­бить­ся того, чтобы га­ран­ти­ро­ван­но более по­ло­ви­ны шаров ле­жа­ли не в своём со­су­де.

1

2.1 Пусть N  =  2. До­ка­жи­те, что фо­кус­ник га­ран­ти­ро­ван­но может до­бить­ся того, чтобы в итоге хотя бы один шар ока­зал­ся не в своем из­на­чаль­ном со­су­де.


Развернуть

2.3 Пусть N  =  400. Какое мак­си­маль­но воз­мож­ное ко­ли­че­ство шаров не в своём со­су­де может га­ран­ти­ро­вать фо­кус­ник?

1

2.1 Пусть N  =  2. До­ка­жи­те, что фо­кус­ник га­ран­ти­ро­ван­но может до­бить­ся того, чтобы в итоге хотя бы один шар ока­зал­ся не в своем из­на­чаль­ном со­су­де.


Развернуть

2.4 Пусть N  =  2. Фо­кус­ни­ку вы­да­ли по­сле­до­ва­тель­ность ко­манд. Он хочет по­вто­рить её не­сколь­ко раз (по сво­е­му усмот­ре­нию, но не более k раз) так, чтобы после этого га­ран­ти­ро­ван­но хотя бы один шар ока­зал­ся своём ис­ход­ном со­су­де. При каком наи­мень­шем k это воз­мож­но не­за­ви­си­мо от по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­дан­ных ко­манд?

1

1.1 Можно ли из трой­ки с чис­ла­ми 2, 4, 7 по­лу­чить трой­ку чисел 2, 6, 9 в каком-ни­будь по­ряд­ке?


Развернуть

3.1 Пусть N  =  8. До­ка­жи­те, что можно до­бить­ся того, чтобы оста­лось не более одной чер­ной фишки.

1

Пусть N  =  2018. До­ка­жи­те, что можно по­лу­чить пол­но­стью белую рас­ста­нов­ку.


Развернуть

Пусть N  =  2018. До­ка­жи­те, что можно по­лу­чить пол­но­стью белую рас­ста­нов­ку.

1

3.1 Пусть N  =  8. До­ка­жи­те, что можно до­бить­ся того, чтобы оста­лось не более одной чер­ной фишки.


Развернуть

3.3 Пусть N = 15, при­чем раз­ре­ше­на толь­ко вто­рая опе­ра­ция. До­ка­жи­те, что из любой рас­ста­нов­ки можно по­лу­чить менее 104 дру­гих.

1

3.1 Пусть N  =  8. До­ка­жи­те, что можно до­бить­ся того, чтобы оста­лось не более одной чер­ной фишки.


Развернуть

3.4 Пусть N  =  1000, и ровно одна из фишек чер­ная (снова раз­ре­ше­ны обе опе­ра­ции). Можно ли по­лу­чить рас­ста­нов­ку из одних чер­ных фишек?

1

3.1 Пусть N  =  8. До­ка­жи­те, что можно до­бить­ся того, чтобы оста­лось не более одной чер­ной фишки.


Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство на­ту­раль­ных чисел от 1 до 320 нужно по­кра­сить в крас­ный цвет, чтобы 1 и 320 были крас­ны­ми, а также для лю­бо­го крас­но­го числа a, боль­ше­го 1, на­шлись такие крас­ные числа b и c (воз­мож­но, оди­на­ко­вые), что a = b плюс c?


Аналоги к заданию № 2396: 2403 Все


Даны m на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих n, рас­по­ло­жен­ные в по­ряд­ке не­убы­ва­ния: a_1 мень­ше или равно a_2 мень­ше или равно ... мень­ше или равно a_m. Ана­ло­гич­но n на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих m, рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке не­убы­ва­ния: b_1 мень­ше или равно b_2 мень­ше или равно ... мень­ше или равно b_n. Верно ли, что все­гда най­дут­ся два но­ме­ра i и j такие, что a_i плюс i=b_j плюс j.


Петя за­ду­мал пять чисел. На доске он на­пи­сал их по­пар­ные суммы: 7, 9, 12, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 29. Какие числа за­ду­мал Петя?


Имеем n фишек с но­ме­ра­ми 1, 2, ..., n рас­став­ле­ны в ряд по воз­рас­та­нию. За один ход раз­ре­ша­ет­ся по­ме­нять ме­ста­ми любые две фишки, между ко­то­ры­ми либо две, либо пять фишек. Су­ще­ству­ет ли такое n, для ко­то­ро­го удаст­ся за не­сколь­ко ходов рас­ста­вить все фишки в об­рат­ном по­ряд­ке?

Всего: 25    1–20 | 21–25